2021版高考数学一轮复习选修4_5不等式选讲第1讲绝对值不等式教学案理北师大版.docx

第1讲绝对值不等式一、知识梳理1绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立定理2：如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立2绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解集不等式a0a0a0|x|ax|axax|xa或x0)和|axb|c(c0)型不等式的解法|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc3|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想法二：利用“零点分区间法”求解，体现了分类讨论的思想法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想常用结论1两个等价关系(1)|x|aax0)(2)|x|axa(a0)2掌握一组主要关系|ab|与|a|b|，|ab|与|a|b|，|a|b|之间的关系：(1)|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立(2)|a|b|ab|a|b|，当且仅当|a|b|且ab0时，左边等号成立，当且仅当ab0时，右边等号成立二、教材衍化1不等式3|52x|9的解集为_解析：由题意得即解得所以不等式的解集为(2，14，7)答案：(2，14，7)2不等式|x1|x5|2的解集是_解析：当x1时，原不等式可化为1x(5x)2，所以42，不等式恒成立，所以x1；当1x5时，原不等式可化为x1(5x)2，所以x4，所以1x4；当x5时，原不等式可化为x1(x5)2，该不等式不成立综上，原不等式的解集为x|x4答案：x|xc的解集为R，则c0.()(2)不等式|x1|x2|b0时等号成立()(4)对|a|b|ab|当且仅当|a|b|时等号成立()(5)对|ab|a|b|当且仅当ab0时等号成立()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、易错纠偏(1)含参数的绝对值不等式讨论不清；(2)存在性问题不能转化为最值问题求解1若不等式|kx4|2的解集为x|1x3，则实数k_解析：因为|kx4|2，所以2kx42，所以2kx6.因为不等式的解集为x|1x3，所以k2.答案：22若关于x的不等式|a|x1|x2|存在实数解，则实数a的取值范围是_解析：由于|x1|x2|(x1)(x2)|3，所以|x1|x2|的最小值为3.要使原不等式有解，只需|a|3，则a3或a3.答案：(，33，)含绝对值不等式的解法(师生共研) (2019高考全国卷)已知f(x)|xa|x|x2|(xa)(1)当a1时，求不等式f(x)0的解集；(2)若x(，1)时，f(x)0，求a的取值范围【解】(1)当a1时，f(x)|x1|x|x2|(x1)当x1时，f(x)2(x1)20；当x1时，f(x)0.所以，不等式f(x)0的解集为(，1)(2)因为f(a)0，所以a1.当a1，x(，1)时，f(x)(ax)x(2x)(xa)2(ax)(x1)0.所以，a的取值范围是1，)绝对值不等式常见的3种解法(1)零点分段讨论法含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段讨论法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)，一般步骤如下：令每个绝对值符号里的代数式为零，并求出相应的根；将这些根按从小到大排序，它们把实数集分为若干个区间；在所分的各区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，求所得的各不等式在相应区间上的解集；这些解集的并集就是原不等式的解集(2)利用绝对值的几何意义由于|xa|xb|与|xa|xb|分别表示数轴上与x对应的点到与a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|xa|xb|0)或|xa|xb|c(c0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观(3)数形结合法在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解提醒用零点分段法和几何意义求解绝对值不等式时，去绝对值符号的关键点是找零点，将数轴分成若干段，然后从左到右逐段讨论1设函数f(x)|x4|.(1)若yf(2xa)f(2xa)的最小值为4，求a的值；(2)求不等式f(x)1x的解集解：(1)因为f(x)|x4|，所以yf(2xa)f(2xa)|2xa4|2xa4|2xa4(2xa4)|2a|，又yf(2xa)f(2xa)的最小值为4.所以|2a|4，所以a2.(2)f(x)|x4|所以不等式f(x)1x等价于解得x2或x1x的解集为x|x2或x102已知函数f(x)|x4|x1|3.(1)求不等式f(x)2的解集；(2)若直线ykx2与函数f(x)的图象有公共点，求k的取值范围解：(1)由f(x)2，得或或解得0x5，故不等式f(x)2的解集为x|0x5(2)f(x)|x4|x1|3作出函数f(x)的图象，如图所示，易知直线ykx2过定点C(0，2)，当此直线经过点B(4，0)时，k；当此直线与直线AD平行时，k2.故由图可知，k(，2).绝对值不等式性质的应用(师生共研) 设不等式|x2|a(aN+)的解集为A，且A，A.(1)求a的值；(2)求函数f(x)|xa|x2|的最小值【解】(1)因为A，且A，所以a，且a，解得a，又因为aN+，所以a1.(2)因为f(x)|x1|x2|(x1)(x2)|3.当且仅当(x1)(x2)0即1x2时取到等号，所以f(x)的最小值为3.两数和与差的绝对值不等式的性质(1)对绝对值三角不等式定理|a|b|ab|a|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时(2)该定理可强化为|a|b|ab|a|b|，经常用于证明含绝对值的不等式 1若对于实数x，y有|1x|2，|y1|1，求|2x3y1|的最大值解：因为|2x3y1|2(x1)3(y1)|2|x1|3|y1|7，所以|2x3y1|的最大值为7.2设函数f(x)x2x15，且|xa|5；(2)求证：|f(x)f(a)|5，所以x2x155，即x2x100，解得x或x5，所以不等式|f(x)|5的解集为.(2)证明：因为|xa|1，所以|f(x)f(a)|(x2x15)(a2a15)|(xa)(xa1)|xa|xa1|1|xa1|xa2a1|xa|2a1|1|2a1|1|2a|12(|a|1)，即|f(x)f(a)|2(|a|1)恒成立与存在性问题(师生共研) (2020玉溪模拟)已知函数f(x)|x1|2x1|.(1)解不等式f(x)x3；(2)若g(x)|3x2m|3x2|，对任意的x1R，存在x2R，使得f(x1)g(x2)成立，求实数m的取值范围【解】(1)原不等式等价于或或得x，故原不等式的解集为.(2)由f(x)|x1|2x1|可知当x时，f(x)最小，无最大值，且f(x)minf.设Ay|yf(x)，By|yg(x)，则Ay|y，因为g(x)|3x2m|3x2|(3x2m)(3x2)|2m2|，所以By|y|2m2|由题意知AB，所以|2m2|，所以m.故实数m的取值范围为.(1)研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后数形结合是常用的思维方法(2)对于求y|xa|xb|或y|xa|xb|型的最值问题，利用绝对值三角不等式更方便形如y|xa|xb|的函数只有最小值，形如y|xa|xb|的函数既有最大值又有最小值 1(2020陕西彬州质监)已知函数f(x)|x3|x2|.(1)求函数f(x)的值域；(2)若存在x2，1，使f(x)x2a成立，求a的取值范围解：(1)依题意可得f(x)当2x3时，52x15，所以f(x)的值域为5，5(2)因为2x1，所以f(x)x2a可化为2x1x2a，得存在x2，1，使得ax22x1成立令g(x)x22x1(x1)22，则当x2，1时，g(x)max2，所以a的取值范围为(，22已知函数f(x)|xa|2xa|(aR)(1)若f(1)11，求a的取值范围；(2)若对任意的aR，f(x)x2x3恒成立，求x的取值范围解：(1)f(1)|1a|2a|当a1时，32a4，所以4a1；当1a2时，111恒成立；当a2时，2a311，解得a7，所以2a7.综上，a的取值范围是(4，7)(2)因为任意的aR，f(x)x2x3恒成立，又f(x)|xa|2xa|xa(2xa)|x|，所以|x|x2x3，所以或解得0x3或x0，所以x的取值范围为，3 基础题组练1(2020商洛模拟)已知不等式|2x3|2x1|a的解集为M.(1)若a6，求集合M；(2)若M，求实数a的取值范围解：(1)当a6时，原不等式为|2x3|2x1|6，当x时，原不等式化为2x312x2，所以2x；当x时，原不等式化为2x312x6，解得46，所以x；当x时，原不等式化为2x32x16，解得x1，所以x1.综上所述，集合Mx|2x1(2)因为M，所以不等式|2x3|2x1|4，即实数a的取值范围是(4，)2(2020贵州质量测评)已知函数f(x)|x3|x1|.(1)若对任意的xR，f(x)5aa2恒成立，求实数a的取值范围；(2)求函数yf(x)的图象与直线y6围成的封闭图形的面积解：(1)f(x)|x3|x1|(x3)(x1)|4，所以f(x)min4.对任意的xR，f(x)5aa2恒成立，所以f(x)min5aa2，所以45aa2a25a40，解得a1或a4，所以实数a的取值范围是(，14，)(2)f(x)|x3|x1|当f(x)6时，x4或x2.画出图象可得(图略)，围成的封闭图形为等腰梯形，且一条底边长为6，一条底边长为4，高为2，所以封闭图形的面积S(64)210.3(2020四川绵阳一诊)已知函数f(x)|2x1|xm|(mR)(1)当m1时，解不等式f(x)2；(2)若关于x的不等式f(x)|x3|的解集包含3，4，求m的取值范围解：(1)当m1时，f(x)|2x1|x1|，当x时，f(x)2x1(x1)x2，由f(x)2得x4，综合得x4；当x1时，f(x)(2x1)(x1)3x，由f(x)2得x，综合得x9；(2)对任意的x1R，存在x2R，使得f(x1)g(x2)，求实数a的取值范围解：(1)f(x)f(x)9等价于或或综上，原不等式的解集为x|x3或x3(2)因为|xa|xa|2|a|.由(1)知f(x)f，所以2|a|，即|a|，所以a，所以实数a的取值范围是.综合题组练1已知函数f(x)|x1|x|a.(1)若a0，求不等式f(x)0的解集；(2)若方程f(x)x有三个不同的实数解，求实数a的取值范围解：(1)当a0时，f(x)|x1|x|所以当x1时，f(x)10，不合题意；当1x0时，f(x)2x10，解得x0，符合题意综上可得f(x)0的解集为.(2)设u(x)|x1|x|，yu(x)的图象和yx的图象如图所示易知yu(x)的图象向下平移1个单位以内(不包括1个单位)，与yx的图象始终有3个交点，从而1a5|x2|的解集；(2)若g(x)f(xm)f(xm)的最小值为4，求实数m的值解：(1)因为f(x)5|x2|可化为|2x3|x2|5，所以当x时，原不等式化为(2x3)(x2)5，解得x2，所以x2；当2x5，解得x0，所以2x5，解得x5|x2|的解集为(，0)(2，)(2)因为f(x)|2x3|，所以g(x)f(xm)f(xm)|2x2m3|2x2m3|(2x2m3)(2x2m3)|4m|.所以依题意有4|m|4，解得m1.3设函数f(x)|2x3|x1|.(1)解不等式f(x)4；(2)若存在x使不等式a1f(x)成立，求实数a的取值范围解：(1)由已知，得f(x)所以f(x)4或或x2或01.综上，不等式f(x)4的解集为(，2)(0，)(2)若存在x使不等式a1f(x)成立a1f(x)min，由(1)得，x时，f(x)x4，f(x)min，所以a1，所以a，所以实数a的取值范围为.4已知函数f(x)|x2|k|x1|，kR.(1)当k1时，若不等式f(x)4的解集为x|x1xx2，求x1x2的值；(2)当xR时，若关于x的不等式f(x)k恒成立，