2021版高考数学第一章集合与常用逻辑用第1讲集合及其运算教学案理北师大版.docx

第1讲集合及其运算一、知识梳理1集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号或表示(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN(或N*)ZQR2.集合间的基本关系表示关系 自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若xA，则xB)AB(或BA)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中AB(或BA)集合相等集合A，B中元素相同AB3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言ABx|xA，或xBABx|xA，且xBUAx|xU，且xA常用结论1三种集合运算的性质(1)并集的性质：AA；AAA；ABBA；ABABA.(2)交集的性质：A；AAA；ABBA；ABAAB.(3)补集的性质：A(UA)U；A(UA)；U(UA)A；U(AB)(UA)(UB)；U(AB)(UA)(UB)2集合基本关系的四个结论(1)空集是任意一个集合的子集，是任意一个非空集合的真子集(2)任何一个集合是它本身的子集，即AA.空集只有一个子集，即它本身(3)集合的子集和真子集具有传递性：若AB，BC，则AC；若AB，BC，则AC.(4)含有n个元素的集合有2n个子集，有2n1个非空子集，有2n1个真子集，有2n2个非空真子集二、教材衍化1已知集合Ax|x是平行四边形，Bx|x是矩形，Cx|x是正方形，Dx|x是菱形，则()AAB BCB CDC DAD答案：B2集合Ax|xy26，xN，yN的真子集的个数为()A9 B8 C7 D6解析：选C.当y0时，x6；当y1时，x5；当y2时，x2；当y3时，xN，故集合A2，5，6，共含有3个元素，故其真子集的个数为2317.3已知集合A1，3，a2，B1，a2，若BA，则实数a_解析：因为BA，所以a23或a2a2(此方程无实根)，所以a1，此时A1，3，1，B1，3答案：1一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)x|yx21y|yx21(x，y)|yx21()(2)若x2，10，1，则x0，1.()(3)x|x1t|t1()(4)对于任意两个集合A，B，(AB)(AB)恒成立()(5)若ABAC，则BC.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、易错纠偏(1)忽视集合中元素的互异性致误；(2)忽视空集的情况致误；(3)忽视区间端点值致误1已知集合A1，3，B1，m，若BA，则m_解析：因为BA，所以m3或m，即m3或m0或m1，根据集合元素的互异性可知，m1，所以m0或3.答案：0或32已知集合Mx|x20，Nx|ax10，若MNN，则实数a的值是_解析：易得M2因为MNN，所以NM，所以N或NM，所以a0或a.答案：0或3已知集合Ax|x24x30，Bx|2x4，则AB_，AB_，(RA)B_解析：由已知得Ax|1x3，Bx|2x4，所以ABx|2x3，ABx|1x4，(RA)Bx|x1或x2答案：(2，3)(1，4)(，1(2，)学生用书P2集合的概念(自主练透)1设集合AxZ|x|2，By|yx21，xA，则B中的元素有()A5个B4个C3个 D无数个解析：选C.依题意有A2，1，0，1，2，代入yx21得到B1，2，5，故B中有3个元素2若集合AxR|ax23x20中只有一个元素，则a_解析：当a0时，显然成立；当a0时，(3)28a0，即a.答案：0或 3.已知集合AxN|1xlog2k，集合A中至少有3个元素，则k的取值范围为_解析：因为集合A中至少有3个元素，所以log2k4，所以k2416.答案：(16，)4已知集合Am2，2m2m，若3A，则m的值为_解析：由题意得m23或2m2m3，则m1或m.当m1时，m23且2m2m3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m时，m2，而2m2m3，符合题意，故m.答案：求解与集合中的元素有关问题的注意事项(1)如果题目条件中的集合是用描述法表示的集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合(2)如果是根据已知列方程求参数值，一定要将参数值代入集合中检验是否满足元素的互异性 集合的基本关系(典例迁移) (1)已知集合Ax|x23x20，xR，Bx|0x5，xN，则()ABABABCAB DBA(2)已知集合Ax|x23x20，xR，Bx|0x5，xN，则满足条件ACB的集合C的个数为()A1 B2C3 D4(3)已知集合Ax|2x5，Bx|m1x2m1，若BA，则实数m的取值范围为_【解析】(1)由x23x20得x1或x2，所以A1，2由题意知B1，2，3，4，比较A，B中的元素可知AB，故选C.(2)因为A1，2，B1，2，3，4，ACB，则集合C可以为1，2，1，2，3，1，2，4，1，2，3，4，共4个(3)因为BA，所以若B，则2m1m1，此时m2.若B，则解得2m3.由可得，符合题意的实数m的取值范围为m3.【答案】(1)C(2)D(3)(，3【迁移探究1】(变条件)本例(3)中，若BA，求m的取值范围？解：因为BA，若B，成立，此时m2.若B，则且边界点不能同时取得，解得2m3.综合，m的取值范围为(，3【迁移探究2】(变条件)本例(3)中，若AB，求m的取值范围解：若AB，则即所以m的取值范围为.【迁移探究3】(变条件)若将本例(3)中的集合A改为Ax|x5，试求m的取值范围解：因为BA，所以当B时，2m1m1，即m4.综上可知，实数m的取值范围为(，2)(4，)(1)判断两集合关系的方法对描述法表示的集合，把集合化简后，从表达式中寻找两集合间的关系；对于用列举法表示的集合，从元素中寻找关系(2)根据两集合间的关系求参数的方法已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题提醒空集是任何集合的子集，当题目条件中有BA时，应分B和B两种情况讨论1(2020西安模拟)设集合Mx|x2x0，N，则()AMN BNMCMN DMNR解析：选C.集合Mx|x2x0x|x1或x1或x0，所以MN.故答案为C.2设M为非空的数集，M1，2，3，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有()A6个 B5个C4个 D3个解析：选A.由题意知，M1，3，1，2，1，3，2，3，1，2，3，共6个3若集合A1，2，Bx|x2mx10，xR，且BA，则实数m的取值范围为_解析：若B，则m240，解得2m2，符合题意；若1B，则12m10，解得m2，此时B1，符合题意；若2B，则222m10，解得m，此时B，不合题意综上所述，实数m的取值范围为2，2)答案：2，2)集合的基本运算(多维探究)角度一集合的运算 (1)(2019高考全国卷)已知集合Mx|4x2，Nx|x2x60，则MN()Ax|4x3 Bx|4x2Cx|2x2 Dx|2x0，By|y2，则(RA)B()A. BC0，) D(0，)【解析】(1)通解：因为Nx|2x3，Mx|4x2，所以MNx|2x2，故选C.优解：由题可得Nx|2x0，所以RA，又By|y2，所以(RA)B0，)故选C.【答案】(1)C(2)C角度二利用集合的运算求参数 (1)(2020江西上饶重点中学六校联考)已知A1，)，B0，3a1，若AB，则实数a的取值范围是()A1，) BC. D(1，)(2)集合A0，2，a，B1，a2，若AB0，1，2，4，16，则a的值为_(3)已知集合Ax|x2x120，Bx|xm若ABx|x4，则实数m的取值范围是_【解析】(1)由题意可得3a11，解得a，即实数a的数值范围是.故选C.(2)根据并集的概念，可知a，a24，16，故只能是a4.(3)集合Ax|x3或x4，因为ABx|x4，所以3m4.【答案】(1)C(2)4(3)3，4 (1)集合运算的常用方法若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解；若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况(2)利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解提醒在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性) 1(2020江西吉安一中、新余一中等八所中学联考)已知集合M1，1，Ny|yx2，xM，则MN()A0，1 B1，1C0，1) D(0，1解析：选A.由于M1，1，Ny|yx2，xM，所以N0，1，所以MN0，1故选A.2.(2020安徽宣城八校联考)如图，设全集UN，集合A1，3，5，7，8，B1，2，3，4，5，则图中阴影部分表示的集合为() A2，4 B7，8C1，3，5 D1，2，3，4，5解析：选A.由题图可知阴影部分表示的集合为(UA)B，因为集合A1，3，5，7，8，B1，2，3，4，5，UN，所以(UA)B2，4故选A.3已知集合Ax|1x2，Bx|y，则AB()Ax|1x0 Bx|1x0Cx|0x2 Dx|0x2解析：选B.因为函数y有意义，所以x22x0，解得2x0，所以集合Bx|2x0又集合Ax|1x2，所以ABx|1x0故选B.学生用书P4集合新定义问题中的核心素养 (1)(2020河南南阳第一中学第十四次考试)定义集合运算：ABZ|Zxy，xA，yB，设集合A1，0，1，Bsin ，cos ，则集合AB的所有元素之和为()A1B0C1 Dsin cos (2)(2020河北保定一模)设P和Q是两个集合，定义集合PQx|xP，且xQ，如果Px|12x4，Qy|y2sin x，xR，那么PQ()Ax|0x1 Bx|0x2Cx|1x2 Dx|0x1【解析】(1)因为xA，所以x的可能取值为1，0，1.同理，y的可能取值为sin ，cos ，所以xy的所有可能取值为(重复的只列举一次)：sin ，0，sin ，cos ，cos ，所以所有元素之和为0.故选B.(2)由题意得Px|0x2，Qy|1y3，所以PQx|0x1故选D.【答案】(1)B(2)D(1)以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依 托，考查考生对新概念的理解，充分体现了核心素养中的数学抽象(2)解决集合的新定义问题的两个切入点正确理解新定义这类问题不是简单的考查集合的概念或性质问题，而是以集合为载体的有关新定义问题常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等；合理利用集合性质运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，但关键之处还是合理利用集合的运算与性质设A是整数集的一个非空子集，对于kA，如果k1A且k1A，那么k是A的一个“单一元”，给定S1，2，3，4，5，6，7，8，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“单一元”的集合共有_个解析：符合题意的集合为1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6，5，6，7，6，7，8，共6个答案：6 基础题组练1设集合A1，1，2，3，5，B2，3，4，CxR|1x0，Bx|x10x|x3或x2，Bx|x10x|x1，所以ABx|x0，Bx|xa0x|x3，Bx|xa0x|xa因为BA，所以a1.故选D.11已知集合Ax|x22x30，Bx|yln(2x)，则AB_，AB_解析：Ax|x22x30x|(x1)(x3)0x|1x3，Bx|yln(2x)x|2x0x|x2，则AB1，2)，AB(，3答案：1，2)(，312已知集合Ax|xa0，B1，2，3，若AB，则a的取值范围为_解析：集合Ax|xa，集合B1，2，3，若AB，则1，2，3这三个元素至少有一个在集合A中，若2或3在集合A中，则1一定在集合A中，因此只要保证1A即可，所以a1.答案：1，)综合题组练1已知全集UAB中有m个元素，(UA)(UB)中有n个元素，若AB非空，则AB的元素个数为()AmnBmn CnmDmn解析：选D.因为(UA)(UB)中有n个元素，如图中阴影部分所示，又UAB中有m个元素，故AB中有mn个元素2给定集合A，若对于任意a，bA，有abA，且abA，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论：集合A4，2，0，2，4为闭集合；集合An|n3k，kZ为闭集合；若集合A1，A2为闭集合，则A1A2为闭集合其中错误结论的序号是_解析：中，4(2)6A，所以不正确；中，设n1，n2A，n13k1，n23k2，k1，k2Z，则n1n2A，n1n2A，所以正确；中，令A1n|n3k，kZ，A2n|nk，kZ，则A1，A2为闭集合，但3kk(A1A2)，故A1A2不是闭集合，所以不正确答案：3已知集合A