2021版高考数学第一章集合与常用逻辑用第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件教学案理北师大版.docx

第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件一、知识梳理1命题在数学中，可以判断真假用文字或符号表达的语句叫作命题其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题2四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系3充分条件、必要条件与充要条件的概念若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件pq且qpp是q的必要不充分条件pq且qpp是q的充要条件pqp是q的既不充分也不必要条件pq且qp常用结论从集合的角度理解充分条件与必要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即Ax|p(x)，Bx|q(x)，则关于充分条件，必要条件又可以叙述为：(1)若AB，则p是q的充分条件；(2)若AB，则p是q的必要条件；(3)若AB，则p是q的充要条件；(4)若AB，则p是q的充分不必要条件；(5)若AB，则p是q的必要不充分条件；(6)若AB且AB，则p是q的既不充分也不必要条件二、教材衍化1命题“若x2y2，则xy”的逆否命题是_，是_命题(填“真”或“假”)解析：根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2y2，则xy”的逆否命题是“若xy，则x2y2”答案：若xy，则x2y2假2设xR，则“2x0”是“(x1)21”的_条件解析：2x0，则x2，(x1)21，则1x11，即0x2，据此可知：“2x0”是“(x1)21”的必要不充分条件答案：必要不充分3原命题“设a，b，cR，若ab，则ac2bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为_解析：当c0时，ac2bc2，所以原命题是假命题；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是假命题；逆命题为“设a，b，cR，若ac2bc2，则ab”，它是真命题；由于否命题与逆命题的真假一致，所以否命题也是真命题综上所述，真命题有2个答案：2一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)“x22x30，则a0”，则它的否命题是_答案：对任意a，bR，若ab0，则a0.3条件p：xa，条件q：x2.(1)若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是_；(2)若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是_解析：设Ax|xa，Bx|x2，(1)因为p是q的充分不必要条件，所以AB，所以a2；(2)因为p是q的必要不充分条件，所以BA，所以a2.答案：(1)a2(2)a2四种命题的相互关系及真假判断(自主练透)1命题“若x21，则1x1”的逆否命题是()A若x21，则x1或x1B若1x1，则x21或x1D若x1或x1，则x21解析：选D.命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题是“若q，则p”的形式，所以“若x21，则1xa0”是“”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件(2)(2020延安模拟)已知p：x2，q：x2，则p是q的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解析】(1)若，则0.当0a成立；当a0，b，但0aa0”是“”的充分不必要条件，故选A.(2)当x2时，两边平方可得(x2)22x，即(x2)(x1)0，解得x12，x21.当x1时，1，不成立，故舍去，则x2，所以p是q的充要条件，故选C.【答案】(1)A(2)C判断充要条件的3种常用方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假(2)等价法：利用AB与BA，BA与AB，AB与BA的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法(3)利用集合间的包含关系判断：若AB，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若AB，则A是B的充要条件提醒判断充要条件需注意3点(1)要分清条件与结论分别是什么(2)要从充分性、必要性两个方面进行判断(3)直接判断比较困难时，可举出反例说明1(2019高考天津卷)设xR，则“x25x0”是“|x1|1”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B.由x25x0可得0x5.由|x1|1可得0x2.由于区间(0，2)是(0，5)的真子集，故“x25x0”是“|x1|1，Bx|x1，则“xA且xB”成立的充要条件是()A11 D1x1，Bx|x1，又因为“xA且xB”，所以1x1；又当1x1时，满足xA且xB，所以“xA且xB”成立的充要条件是“1x0”是“xa”的必要不充分条件，则a的最小值为_解析：由x2x60，解得x3.因为“x2x60”是“xa”的必要不充分条件，所以x|xa是x|x3的真子集，即a3，故a的最小值为3.答案：3 基础题组练1已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的()A逆命题B否命题C逆否命题 D否定解析：选B.命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题2“若x，yR，x2y20，则x，y全为0”的逆否命题是()A若x，yR，x，y全不为0，则x2y20B若x，yR，x，y不全为0，则x2y20C若x，yR，x，y不全为0，则x2y20D若x，yR，x，y全为0，则x2y20解析：选C.依题意得，原命题的题设为若x2y20，结论为x，y全为零逆否命题：若x，y不全为零，则x2y20，故选C.3如果x，y是实数，那么“xy”是“cos xcos y”的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件解析：选C.设集合A(x，y)|xy，B(x，y)|cos xcos y，则A的补集C(x，y)|xy，B的补集D(x，y)|cos xcos y，显然CD，所以BA.于是“xy”是“cos xcos y”的必要不充分条件4下列命题：“若ab，则ab”的否命题；“若a1，则ax2x30的解集为R”的逆否命题；“周长相同的圆面积相等”的逆命题；“若x为有理数，则x为无理数”的逆否命题其中真命题的序号为()ABC D解析：选B.对于，逆命题为真，故否命题为真；对于，原命题为真，故逆否命题为真；对于，“面积相等的圆周长相同”为真；对于，“若x为有理数，则x为0或无理数”，故原命题为假，逆否命题为假故选B.5设a，b均为单位向量，则“|a3b|3ab|”是“ab”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：选C.因为|a3b|3ab|，所以(a3b)2(3ab)2，所以a26ab9b29a26abb2，又因为|a|b|1，所以ab0，所以ab；反之也成立故选C.6(2020咸阳模拟)已知p：m1，q：直线xy0与直线xm2y0互相垂直，则p是q的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A.由题意得直线xm2y0的斜率是1，所以1，m1.所以p是q的充分不必要条件故选A.7(2020郑州模拟)设平面向量a，b，c均为非零向量，则“a(bc)0”是“bc”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B.由bc，得bc0，得a(bc)0；反之不成立故“a(bc)0”是“bc”的必要不充分条件8使a0，b0成立的一个必要不充分条件是()Aab0 Bab0Cab1 D1解析：选A.因为a0，b0ab0，反之不成立，而由a0，b0不能推出ab0，ab1，1，故选A.9在ABC中，“AB”是“tan Atan B”的_条件解析：由AB，得tan Atan B，反之，若tan Atan B，则ABk，kZ.因为0A，0Bn，则m2n2”的逆命题，否命题，逆否命题中，假命题的个数是_解析：若m2，n3，则23，但22(2)2，但3sin C是BC的充要条件”是真命题；“a1”是“直线xay0与直线xay0互相垂直”的充要条件；命题“若x0”的否命题为“若x1，则x22x30”以上说法中正确的是_(填序号)解析：对于，“若xy，则sin xcos y”的逆命题是“若sin xcos y，则xy”，当x0，y时，有sin xcos y成立，但xy，故逆命题为假命题，正确；对于，在ABC中，由正弦定理得sin Bsin CbcBC，正确；对于，“a1”是“直线xay0与直线xay0互相垂直”的充要条件，故错误；对于，根据否命题的定义知正确答案：综合题组练1(2020抚州七校联考)A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，C的得分为65分已知命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格则下列四个命题中为p的逆否命题的是()A若及格分不低于70分，则A，B，C都及格B若A，B，C都及格，则及格分不低于70分C若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分D若A，B，C至少有一人及格，则及格分高于70分解析：选C.根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p的逆否命题是若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分故选C.2(2020合肥模拟)若a，b都是正整数，则abab成立的充要条件是()Aab1 Ba，b至少有一个为1Cab2 Da1且b1解析：选B.因为abab，所以(a1)(b1)1.因为a，bN+，所以(a1)(b1)N，所以(a1)(b1)0，所以a1或b1.故选B.3若命题“a