自动控制原理_胡寿松_第六版第二章ppt课件

第二章控制系统的数学模型 主要内容 1 数学模型的概念 建模的原则2 传递函数3 系统的结构图和信号流图 2 1 1什么是数学模型 所谓的数学模型 是描述系统动态特性及各变量之间关系的数学表达式 控制系统定量分析的基础 2 1 2数学模型的特点1 相似性 不同性质的系统 具有相同的数学模型 抽象的变量和系统2 简化性和准确性 忽略次要因素 简化之 但不能太简单 结果合理3 动态模型 变量各阶导数之间关系的微分方程 性能分析4 静态模型 静态条件下 各变量之间的代数方程 放大倍数2 1 3数学模型的类型1 微分方程 时域其它模型的基础直观求解繁琐2 传递函数 复频域微分方程拉氏变换后的结果3 频率特性 频域分析方法不同 各有所长 2 1数学模型的概念 2 1 4数学模型的建立方法1 分析法 根据系统各部分的运动机理 按有关定理列方程 合在一起 2 实验法 黑箱问题 施加某种测试信号 记录输出 用系统辨识的方法 得到数学模型 建模原则 选择合适的分析方法 确定相应的数学模型 简化 2 2 1列写微分方程式的一般步骤1 分析系统运动的因果关系 确定系统的输入量 输出量及内部中间变量 搞清各变量之间的关系 2 忽略一些次要因素 合理简化 2 2系统微分方程的建立 3 根据相关基本定律 列出各部分的原始方程式 4 列写中间变量的辅助方程 方程数与变量数相等 5 联立上述方程 消去中间变量 得到只包含输入输出的方程式 6 将方程式化成标准形 与输出有关的放在左边 与输入有关的放在右边 导数项按降阶排列 系数化为有物理意义的形式 三个基本的无源元件 质量m 弹簧k 阻尼器f对应三种阻碍运动的力 惯性力ma 弹性力ky 阻尼力fv例2 1弹簧 质量 阻尼器串联系统 试列出以外力F t 为输入量 以质量的位移y t 为输出量的运动方程式 解 遵照列写微分方程的一般步骤有 1 确定输入量为F t 输出量为y t 作用于质量m的力还有弹性阻力Fk t 和粘滞阻力Ff t 均作为中间变量 2 设系统按线性集中参数考虑 且无外力作用时 系统处于平衡状态 2 2 2机械平移系统举例 3 按牛顿第二定律列写原始方程 即 5 将以上辅助方程式代入原始方程 消去中间变量 得 6 整理方程得标准形 4 写中间变量与输出量的关系式 2 2 3电路系统举例例2 2电阻 电感 电容串联系统 R L C串联电路 试列出以ur t 为输入量 uc t 为输出量的网络微分方程式 令Tm2 m k Tf f k 则方程化为 量纲s 课本上有推导 p28 静态放大倍数1 K 解 1 确定输入量为ur t 输出量为uc t 中间变量为i t 4 列写中间变量i与输出变量uc的关系式 5 将上式代入原始方程 消去中间变量得 2 网络按线性集中参数考虑且忽略输出端负载效应 3 由KVL写原始方程 i t 6 整理成标准形 令T1 L R T2 RC 则方程化为 2 2 4线性微分方程的一般特征观察实际物理系统的运动方程 若用线性定常特性来描述 则方程一般具有以下形式 式中 c t 是系统的输出变量 r t 是系统的输入变量 从工程可实现的角度来看 上述微分方程满足以下约束 1 方程的系数为实常数 由系统自身参数决定 2 左端的阶次比右端的高 n m 这是因为实际物理系统均有惯性或储能元件 3 方程式两端的各项的量纲应一致 利用这点 可以检查微分方程式的正确与否 相似系统的定义 任何系统 只要它们的微分方程具有相同的形式 在方程中 占据相同位置的量 相似量 上面两个例题介绍的系统 就是相似系统 例2 1 例2 2 令uc q C 模拟技术 当分析一个机械系统或不易进行试验的系统时 可以建造一个与它相似的电模拟系统 来代替对它的研究 直流电动机是将电能转化为机械能的一种典型的机电转换装置 在电枢控制的直流电动机中 由输入的电枢电压ua在电枢回路产生电枢电流ia 再由电枢电流ia与激磁磁通相互作用产生电磁转矩MD 从而使电枢旋转 拖动负载运动 Ra和La分别是电枢绕组总电阻和总电感 在完成能量转换的过程中 其绕组在磁场中切割磁力线会产生感应反电势Ea 其大小与 2 2 5电枢控制的直流电动机 激磁磁通及转速成正比 方向与外加电枢电压ua相反 下面推导其微分方程式 1 取电枢电压ua为控制输入 负载转矩ML为扰动输入 电动机角速度 为输出量 2 忽略电枢反应 磁滞 涡流效应等影响 当激磁电流不变if时 激磁磁通视为不变 则将变量关系看作线性关系 3 列写原始方程式电枢回路方程 电动机轴上机械运动方程 J 负载折合到电动机轴上的转动惯量 MD 电枢电流产生的电磁转矩 ML 合到电动机轴上的总负载转矩 4 列写辅助方程Ea ke ke 电势系数 由电动机结构参数确定 MD kmiakm 转矩系数 由电动机结构参数确定 5 消去中间变量 得 令机电时间常数Tm 令电磁时间常数Ta 1 当电枢电感较小时 可忽略 可简化上式如下 2 22一阶系统 2 对微型电机 转动惯量J很小 且Ra La都可忽略 测速发电机 3 随动系统中 取 为输出 4 在实际使用中 转速常用n r min 表示 设ML 0 一 复习拉氏变换及其性质1 定义记X s L x t 2 进行拉氏变换的条件1 t 0 x t 0 当t 0 x t 是分段连续 2 当t充分大后满足不等式 x t Mect M c是常数 3 性质和定理1 线性性质L ax1 t bx2 t aX1 s bX2 s 2 4线性系统的传递函数 2 微分定理 若 则 若x 1 0 x 2 0 0 x t 各重积分在t 0的值为0时 3 积分定律 X 1 0 是 x t dt在t 0的值 同理 5 初值定理如果x t 及其一阶导数是可拉氏变换的 并且 4 终值定理若x t 及其一阶导数都是可拉氏变换的 limx t 存在 并且sX s 除原点为单极点外 在j 轴上及其右半平面内应没有其它极点 则函数x t 的终值为 存在 则 6 延迟定理L x t 1 t e sX s L e atx t X s a 7 时标变换 8 卷积定理 4 举例例2 3求单位阶跃函数x t 1 t 的拉氏变换 解 例2 4求单位斜坡函数x t t的拉氏变换 解 例2 5求正弦函数x t sin t的拉氏变换 解 以上几个函数是比较常用的 还有一些常用函数的拉氏变换可查表求得 例2 6求函数x t 的拉氏变换 解 x t x1 t x2 t A 1 t A 1 t t0 例2 7求eat的拉氏变换 解 例2 8求e 0 2t的拉氏变换 解 求x 0 x 解 例2 9若 二 复习拉氏反变换1 定义由象函数X s 求原函数x t 2 求拉氏反变换的方法 根据定义 用留数定理计算上式的积分值 查表法 部分分式法一般 象函数X s 是复变量s的有理代数公式 即 通常m n a1 an b0 bm均为实数 首先将X s 的分母因式分解 则有 式中p1 pn是D s 0的根 称为X s 的极点 分两种情况讨论 1 D s 0无重根 式中ci是待定常数 称为X s 在极点si处的留数 2 D s 0有重根 设有r个重根p1 则 i r 1 n 3 举例例2 10 求原函数x t 解 s2 4s 3 s 3 s 1 的原函数x t 例2 11求 解 s2 2s 2 s 1 2 1 s 1 j s 1 j 的原函数x t 解 例2 12求 用微分方程求解 需确定积分常数 阶次高时麻烦 当参数或结构变化时 需重新列方程求解 不利于分析系统参数变化对性能的影响 用拉氏变换求解微分方程的一般步骤 1 对微分方程两边进行拉氏变换 2 求解代数方程 得到微分方程在s域的解 3 求s域解的拉氏反变换 即得微分方程的解 2 4 1 线性常系数微分方程的求解 例2 13求解微分方程 解 两边取拉氏变换s2Y s sy 0 y 0 3sY s 3y 0 2Y s 5 s y t 5 2 5e t 3 2e 2t 初始条件 y 0 1 y 0 2 例2 14图示的RC电路 当开关K突然接通后 试求出电容电压uc t 的变化规律 解 设输入量为ur t 输出量为uc t 由KVL写出电路方程 电容初始电压为uc 0 对方程两端取拉氏变换 当输入为阶跃电压ur t u01 t 时 得 式中右端第一项是由输入电压ur t 决定的分量 是当电容初始状态uc 0 0时的响应 故称零状态响应 第二项是由电容初始电压uc 0 决定的分量 是当输入电压ur t 0时的响应 故称零输入响应 用拉氏变换求解的优点 1 复杂的微分方程变换成简单的代数方程2 求得的解是完整的 初始条件已包含在拉氏变换中 不用另行确定积分常数3 若所有的初值为0 拉氏变换式可直接用s代替 得到 当然 阶次高时 求拉氏反变换也不太容易 幸运的是 往往并不需要求出解 可用图解法预测系统的性能 可用相关性质得到解的特征 初值 终值等 满足工程需要 2 4 2传递函数的定义和实际意义 微分方程是时域中的数学模型 传递函数是采用L 法求解微分方程时引申出来的复频域中的数学模型 它不仅可以表征系统的动态性能 而且可以用来研究系统的结构和参数变化时对系统性能的影响 是经典控制理论中最重要的模型 1定义在线性定常系统中 当初始条件为零时 系统输出拉氏变换与输入拉氏变换的比 称为传递函数 用G S 表示 即 例2 7中 若令uc 0 0 则有 于是 可见 输入与输出之间的关系仅取决于电路的结构形式及其参数 固有特性 与输入的具体形式无关 无论输入如何 系统都以相同的传递作用输出信息或能量 因此称之为传递函数 传递函数是代数式 其传递作用还经常用方框图直观的表示 Uc s G s Ur s 一般的 设线性定常系统的微分方程式为 式中 r t 是输入量 c t 是输出量 在零初始条件下 对上式两端进行拉氏变换得 a0sn a1sn 1 an 1s an C s b0sm b1sm 1 am 1s am R s 按定义 其传递函数为 G s 是由微分方程经线性拉氏变换得到 故等价 只是把时域变换到复频域而已 但它是一个函数 便于计算和采用方框图表示 广泛应用 其分母多项式就是微分方程的特征多项式 决定系统的动态性能 从描述系统的完整性来说 它只能反应零状态响应部分 但在工程实际当中 1 都是零初始条件的 即系统在输入作用前是相对静止的 即输出量及其各阶导数在t 0的值为零 2 输入在t 0以后才作用于系统 即输入及其各阶导数在t 0的值为零 对于非0初始条件时 可采用叠加原理 2 4 3传递函数的性质 a 传递函数是一种数学模型 与系统的微分方程相对应 b 传递函数是系统本身的一种属性 与输入量的大小和性质无关 c 传递函数只适用于线性定常系统 因为拉氏变换是一种线性变换 d 传递函数描述的是一对确定的变量之间的传递关系 对中间变量不反应 e 传递函数是在零初始条件下定义的 因而它不能反映在非零初始条件下系统的运动情况 零状态解 f 传递函数一般为复变量s的有理分式 它的分母多项式是系统的特征多项式 且阶次总是大于或等于分子多项式的阶次 即n m 并且所有的系数均为实数 g 传递函数与脉冲响应一一对应 是拉氏变换与反变换的关系 系统辨识 2G s 的微观结构 G s 是关于s的有理分式 可分解成多种形式 1 零极点表达式 可知 传递函数定 零 极点和kg唯一确定 反之亦然 因此传递函数可用零极点和传递系数等价表示 零极点既可以是实数 也可以是复数 表示在复平面上 形成的图称传递函数的零 极点分布图 反映系统的动态性能 因此对系统的研究 可变成对系统传函的零 极点的研究了 这就是根轨迹法 chaper4 2 时间常数表达式 较容易分解成一些典型环节 chapter5应用 例如 试画出下面传递函数的零极点图 2 6典型环节及其传递函数 可看成是若干称为典型环节的基本因子的乘积 一般认为典型环节有6种 这些典型环节 对应典型电路 这样划分对系统分析和研究带来很大的方便 分述如下 自动控制系统可以用传递函数来描述 任一复杂的传递函数G s 都可表示为 1 比例环节 杠杆 齿轮系 电位器 变压器等 运动方程式c t K r t 传递函数G s K单位阶跃响应C s G s R s K sc t K 1 t 可见 当输入量r t 1 t 时 输出量c t 成比例变化 r t 1 c t K 2 惯性环节微分方程式 式中 T是惯性环节时间常数 惯性环节的传递函数有一个负实极点p 1 T 无零点 传递函数 1 T 单位阶跃响应 3 积分环节微分方程式 传递函数 阶跃响应曲线是按指数上升的曲线 0 632 0 865 0 95 0 982 1 0 T 2T 3T 4T 单位阶跃响应 当输入阶跃函数时 该环节的输出随时间直线增长 增长速度由1 T决定 当输入突然除去 积分停止 输出维持不变 故有记忆功能 4 微分环节微分方程式为 1 1 T c t T t 由于阶跃信号在时刻t 0有一跃变 其他时刻均不变化 所以微分环节对阶跃输入的响应只在t 0时刻产生一个响应脉冲 理想的微分环节在物理系统中很少独立存在 常见的为带有惯性环节的微分特性 传递函数为 传递函数为 G s Ts单位阶跃响应 1 T 式中 T 0 0 1 n 1 T T称为振荡环节的时间常数 为阻尼比 n为自然振荡频率 振荡环节有一对位于s左半平面的共轭极点 传递函数为 或 5 二阶振荡环节微分方程式为 单位阶跃响应 式中 cos 1 响应曲线是按指数衰减振荡的 故称振荡环节 1 举例 RLC串连电路 平移系统 直流电机 6 延迟环节微分方程式为 c t r t 传递函数为 单位阶跃响应 c t 1 t 1 1 无理函数的工程近似 A B 2 7 1结构图的定义及基本组成1 结构图的定义定义 由具有一定函数关系的环节组成的 并标明信号流向的系统的方框图 称为系统的结构图 2 7系统的结构图下图为讨论过的直流电动机转速控制系统 用方框图可描述其结构和作用原理 但却不能定量分析 有了传递函数的概念后 就可迎刃而解 转速控制系统由三个环节 元件 构成 把各元件的传递函数代入相应的方框中 并标明两端对应的变量 就得到了系统的动态结构图 用G s 代替相应的元件 好处 补充了方框中各变量之间的定量关系 既能表明信号的流向 又直观的了解元件对系统性能的影响 因此 它是对系统每个元件功能和信号流向的图解表示 也就是对系统数学模型的图解表示 2 结构图的基本组成1 画图的4种基本元素信号传递线是带有箭头的直线 箭头表示信号的传递方向 传递线上标明被传递的信号 指向方框表示输入 从方框出来的表示输出 r t R s 分支点表示信号引出或测量的位置 从同一位置引出的信号在数值和性质方面完全相同 r t R s r t R s 方框表示对输入信号进行的数学运算 方框中的传递函数是单向的运算算子 使得输出与输入有确定的因果关系 R s R s U s U s C s G s R s 相加点对两个以上的信号进行代数运算 号表示相加 号表示相减 外部信号作用于系统需通过相加点表示 2 结构图的基本作用 a 简单明了地表达了系统的组成和相互联系 可以方便地评价每一个元件对系统性能的影响 信号的传递严格遵照单向性原则 对于输出对输入的反作用 通过反馈支路单独表示 b 对结构图进行一定的代数运算和等效变换 可方便地求出整个系统的传递函数 c s 0时 表示的是各变量间的静态特性 否则 动态特性 2 7 2结构图的绘制步骤 1 列写每个元件的原始方程 保留所有变量 便于分析 要考虑相互间负载效应 2 设初始条件为零 对这些方程进行拉氏变换 得到传递函数 然后分别以一个方框的形式将因果关系表示出来 而且这 些方框中的传递函数都应具有典型环节的形式 3 将这些方框单元按信号流向连接起来 就组成完整的结构图 例2 16画出下图所示RC网络的结构图 解 1 列写各元件的原始方程式 i 2 取拉氏变换 在零初始条件下 表示成方框形式 3 将这些方框依次连接起来得图 2 7 3结构图的基本连接形式1 三种基本连接形式 1 串联 相互间无负载效应的环节相串联 即前一个环节的输出是后一个环节的输入 依次按顺序连接 故环节串联后等效的传递函数等于各串联环节传递函数的乘积 由图可知 U s G1 s R s C s G2 s U s 消去变量U s 得C s G1 s G2 s R s G s R s 2 并联 并联各环节有相同的输入量 而输出量等于各环节输出量之代数和 由图有C1 s G1 s R s C2 s G2 s R s R s C s C s C1 s C2 s 消去C1 s 和C2 s 得C s G1 s G2 s R s G s R s 故环节并联后等效的传递函数等于各并联环节传递函数的代数和 3 反馈连接连接形式是两个方框反向并接 如图所示 相加点处做加法时为正反馈 做减法时为负反馈 由图有C s G s E s B s H s C s E s R s B s 消去B s 和E s 得C s G s R s H s C s 上式称为闭环传递函数 是反馈连接的等效传递函数 定义 G s 前向通道传递函数E s C s H s 反馈通道传递函数C s B s H s 1单位反馈系统G s H s 开环传递函数E S B s 式中负反馈时取 号 正反馈时取 号 2 闭环系统的常用传递函数考察带有扰动作用下的闭环系统如图所示 它代表了常见的闭环控制系统的一般形式 1 控制输入下的闭环传递函数令N s 0有 2 扰动输入下的闭环传递函数令R s 0有 3 两个输入量同时作用于系统的响应 4 控制输入下的误差传递函数 5 扰动输入下的误差传递函数 6 两个输入量同时作用于系统时的误差 3 闭环控制系统的几个特点 闭环控制系统的优点通过定量分析 更令人信服 1 外部扰动的抑制 较好的抗干扰能力 2 系统精度有可能仅取决于反馈通道的精度 3 各传递函数具有相同的特征方程式 动态特性相同 固有属性 与输入和输出无关 2 7 4结构图的等效变换变换的原则 变换前后应保持信号等效 1 分支点后移 R 1 G R 2 分支点前移 C G C 4 比较点前移 3 比较点后移 F F 5 比较点互换或合并 2 7 5结构图的简化对于复杂系统的结构图一般都有相互交叉的回环 当需要确定系统的传函时 就要根据结构图的等效变换先解除回环的交叉 然后按方框的连接形式等效 依次化简 例2 17用结构图化简的方法求下图所示系统传递函数 解 方法1 方法2 例2 18用结构图化简的方法求下图所示系统传递函数 解 2 8 1信号流图的基本概念1 定义 信号流图是表示一组联立线性代数方程的图 先看最简单的例子 有一线性系统 它由下述方程式描述 x2 a12x1式中 x1为输入信号 变量 x2为输出信号 变量 a12为两信号之间的传输 增益 即输出变量等于输入变量乘上传输值 若从因果关系上来看 x1为 因 x2为 果 这种因果关系 可用下图表示 信号传递关系函数运算关系变量因果关系 x1 a12 x2 2 8信号流图及梅逊公式 下面通过一个例子 说明信号流图是如何构成的 设有一系统 它由下列方程组描述 x2 a12x1 a32x3x3 a23x2 a43x4x4 a24x2 a34x3 a44x4x5 a25x2 a45x4把内部变量结构和相互关系描述的一清二楚 a43 a44 x1 a12 x2 x3 x4 x5 a23 a34 a45 a24 a25 a32 2 信号流图的基本元素 1 节点 用来表示变量 用符号 O 表示 并在近旁标出所代表的变量 2 支路 连接两节点的定向线段 用符号 表示 支路具有两个特征 有向性限定了信号传递方向 支路方向就是信号传递的方向 用箭头表示 有权性限定了输入与输出两个变量之间的关系 支路的权用它近旁标出的传输值 增益 表示 3 信号流图的几个术语节点及其类别输入节点 源点 只有输出支路的节点 它代表系统的输入变量 如图中x1 混合节点既有输入支路 又有输出支路的节点 如图中x2 x3 输出节点 汇点 只有输入支路的节点 它代表系统的输出变量 如图中x4 1 x2 通道及其类别通道从某一节点开始 沿着支路的箭头方向连续经过一些支路而终止在另一节点的路径 用经过的支路传输的乘积来表示 开通道如果通道从某一节点开始 终止在另一节点上 而且通道中的每个节点只经过一次 如a12a23a34 闭通道 回环 如果通道的终点就是起点的开通道 如a23a32 a33 自回环 前向通道从源节点到汇节点的开通道 不接触回路回路之间没有公共的节点和支路 4 信号流图的基本性质1 信号流图只能代表线性代数方程组 2 节点表示系统的变量 表示所有流向该节点的信号之 代数 和 而从该节点流向各支路的信号 均用该节点变量表示 3 信号在支路上沿箭头单向传递 后一节点变量依赖于前一节点变量 即只有 前因后果 的因果关系 4 支路相当于乘法器 信号流经支路时 被乘以支路增益而变换为另一信号 5 对于给定的系统 信号流图不唯一 2 8 2信号流图的绘制方法1 直接法例2 19RLC电路如图2 28所示 试画出信号流图 解 1 列写原始方程 2 取拉氏变换 考虑初始条件 i 0 uc 0 3 整理成因果关系 4 画出信号流图如图所示 Ur s Uc s I s uc 0 ic 0 2 翻译法例2 20画出下图所示系统的信号流图 解 按照翻译法可直接作出系统结构图所对应的信号流图 R s E1 s C s E2 s G2 s G1 s H s 系统结构图信号流图变量 节点输入变量 源节点比较点引出点 混合节点传输线方框 支路输出端 汇节点 2 8 3梅逊增益公式1 梅逊增益公式输入输出节点间总传输的一般式为 式中P 总传输 增益 n 从源节点至汇节点前向通道总数 Pk 第K条前向通路的传输 信号流图的特征式 k 第k条前向通路特征式的余因子式 线性代数方程的克莱姆法则 为所有不同回环的增益之和 为每两个互不接触回环增益乘积之和 为每三个互不接触回环增益乘积之和 为在 中除去与第k条前向通路相接触的回路后的特征式 称为第k条前向通路特征式的余因子 解 信号流图的组成 4个单回环 一条前向通道 1 bi dj fk bcdefgm bidj bifk djfk bidjfkP1 abcdefgh 1 1 0 1 例2 21求图所示系统的信号流图输入x0至输出x8的总传输G 例2 22已知系统的信号流图如下 求输入x1至输出x2和x3的传输 解 单回路 ac abd gi ghj aegh 两两互不接触回路 ac与gi ghj abd与gi ghj 1 ac gi abd ghj aegf acgi acghj abdgi abdghj x1到x2的传输 P1 2ab 1 1 gi ghj P2 3gfab 2 1 x1到x3的传输 P1 3 1 1 ac abd P2 2ae 2 1 例2 23试求信号流图中的传递函数