清华大学物理力学.第4章.功和能ppt课件

1 第四章功和能 2 3 4 1功 4 2动能定理 4 3一对力的功 4 4保守力 4 5势能 4 6由势能求保守力 4 7功能原理和机械能守恒定律 4 8守恒定律的意义 4 9碰撞 4 10质心系中的功能关系 4 11两体问题 第四章功和能 4 5 4 2动能定理 对质点系 有动能定理 注意 内力虽成对出现 但内力功的和不一定为零 因为各质点位移不一定相同 6 4 3一对力的功 一对力 分别作用在两个物体上的大小相等 方向相反的力 不一定是作用与反作用力 是m2相对m1的元位移 一对力的功 7 A表示初位形 即m1在A1 m2在A2 B表示末位形 即m1在B1 m2在B2 1 W对与参考系选取无关 几点说明 2 一对滑动摩擦力的功恒小于零 摩擦生热是一对滑动摩擦力作功的结果 3 在无相对位移 或相对位移与一对力垂直的情况下 一对力的功必为零 8 例如 9 4 4保守力 保守力 是一对力 这对力的功与相对移动的路径无关 只决定于物体的始末相对位置 保守力定义式 L是任意闭合路径 10 一 常见的保守力 1 万有引力 任何有心力都是保守力 11 3 重力 二 非保守力 爆炸力 作为内力 作功为正 作功与路径有关的力称为非保守力 摩擦力 滑动摩擦力作为内力 功恒为负 耗散力 静摩擦力作功可正 负或零 非耗散力 12 4 5势能 保守力做功与路径无关 可用引入标量函数 势能替代保守力做功 一 势能Ep 定义 系统由位形A变到位形B的过程中 保守内力作功等于系统势能的减少 或势能增量的负值 势能零点 选择某位形O且规定 13 说明 势能零点选择与参考系选择无关 二 几种势能 1 势能属于相互作用的系统 2 势能不依赖于参考系的选择 14 15 4 6由势能求保守力 一 由势能函数求保守力 在保守力场中的某点处 保守力沿空间某一指定方向的分量 等于势能函数Ep在该点处的方向导数的负值 代表空间一指定方向 Ep方向导数的负值 16 直角坐标系下 EP EP x y z 可证明 EP的梯度的负值 标量函数的梯度 大小等于方向导数最大值 方向指向标量函数增长最快的方向 17 则 引入算符 保守力指向势能下降最快的方向 例 弹性力 弹性势能 18 对一维情形 保守力指向势能下降的方向 大小正比于势能曲线的斜率 二 势能曲线 势能曲线上每一个局部的最低点都是稳定的平衡点 当质点偏离了稳定的平衡点时 会受到指向平衡点的力 即质点可以围绕这些平衡点作小振动 势能曲线形象地反映出系统的稳定性 19 势能曲线上每个局部的最高点都是不稳定的平衡点 一旦质点偏离不稳定的平衡点 都会受到偏离平衡点的力 质点就会远离而去 例 双原子分子势能曲线 f 0 斥力作用 r r0 f 0 引力作用 r r0 f 0 平衡位置 r r0 20 平衡种类 在A点 若Ek E1则质点可越过势垒进入B区 在B点 若Ek E2则质点可越过势垒进入A区 总能量E决定了质点在势场中的运动范围 21 4 7功能原理和机械能守恒定律 一 功能原理 对质点系 引入系统的机械能 功能原理 积分形式 微分形式 22 二 机械能守恒定律 只有保守内力作功时 系统机械能不变 机械能守恒定律 孤立的 保守的系统机械能守恒 即 23 三 普遍的能量守恒定律 机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在机械运动范围内的体现 系统势能与动能的相互转化通过保守内力作功来实现和度量 考虑各种物理现象 计及各种能量 普遍的能量守恒定律 一个孤立系统不管经历何种变化 系统所有能量的总和保持不变 24 四 守恒定律联合应用举例 例1 已知m M和v 求 hmax 解 m M 地球 W外 0 W非保内 0 当h hmax时 M与m有相同水平速度 取地面Ep 0 有 故机械能守恒 1 25 分析结果的合理性 量纲对 该过程中地面所受压力如何变化 正确 由 1 2 得 m M 水平方向F外 0 水平方向动量守恒 2 思考 26 例2 分析荡秋千原理 m表示人的质心 1 2 人迅速蹲下 使有效摆长由l 变为l 2 3 对 人 地球 系统 1 角动量守恒 2 只重力作功 机械能守恒 3 4 人对O 4 5 对 人 地球 系统 机械能守恒 27 1 2 3 解得 人越摆越高 能量从哪儿来 即人越摆越高 思考 3 28 29 解 环沿x方向运动 设速度为ux 设球速度为v 环 球系统 杆力N沿 y方向 x方向不受力 分动量守恒 只重力作功 机械能守恒 1 2 小球相对环作圆周摆动 设相对速度为v 30 1 5 可解出所有速度分量 球相对环的速度的分量满足 5 3 4 在圆环这个平动非惯性系中求绳中张力T 6 7 31 圆周运动法向方程 8 1 8 解出绳中张力T 锥体上滚 载摆小车 演示 总结 此题涉及动量守恒 机械能守恒 相对运动 平动非惯性系 32 例4 在匀速转动参考系中 惯性离心力和科里奥利力作功有何特点 对匀速转动参考系的机械能守恒怎样理解 答 在匀速转动参考系中 科里奥利力与速度保持垂直 不作功 惯性离心力是有心力 可引入惯性离心势能描述其作功 以r 0处势能为零点 则距离r处势能为 对匀速转动参考系的机械能守恒应理解为 动能和势能包括离心势能之间的转化 33 五 质点在有心力场中的运动简介 1 有心力场 有心力是指方向始终指向 背向 固定中心的力 如万有引力 可表达为 是以固定中心为原点的矢径的单位矢量 有心力场是保守力场 其势能为 34 2 有心力场中质点运动方程 质点在有心力场中运动的2个重要特征 角动量守恒 运动必在一个平面上 质点的机械能守恒 采用极坐标系 速度 位矢 35 由机械能守恒得 1 由角动量守恒得 代入 1 得关于r的方程 2 36 方程 1 2 就是研究质点在有心力场中运动的2个基本方程 可取代牛顿方程 相比牛顿方程 方程 1 2 降为1阶微分方程 这是利用守恒量的优点 具体地要由初始条件决定 初始条件和势函数的具体形式决定轨道特征 封闭性 形状 大小和取向 37 3 有效势和轨道特征 径向动能 有效势能 在径向 r方向 质点相当于在一个保守势场中运动 径向动能和有效势能相互转化 38 近 远地点对应 此时径向动能为零 有效势能等于总机械能 可得 对万有引力场有 E 0时2根 对应椭圆轨道 束缚态 E 0时1根 对应抛物轨道 质点刚好逃逸 动能全部转化为势能 E 0时1根 对应双曲轨道 不受约束 39 E E1 0时 双曲轨道 E E2 0时 抛物轨道 E E3 0时 椭圆轨道 E E0 时 圆轨道 40 4 变轨问题 势函数确定后 初始条件决定轨道特征 形状 大小和取向 改变初始条件即可改变轨道特征 例如 宇宙飞船绕地球作匀速圆周运动 速度 让飞船在极短时间内向外侧或内侧点火喷气 使其获得一附加的指向地心的很小的速度 飞船即可变轨 41 红色轨道对应外侧点火 蓝色轨道对应内侧点火 42 1978年发射的空间飞船ISEE3 4年后经37次点火和5次飞近太阳而进入了一个复杂的轨道 1985年拦截了一个彗星 1986年与哈雷慧星相遇 2012年将返回地球 43 4 8守恒定律的意义 自学 4 9碰撞 自学 强调运动状态变化 忽略过程细节 强调内力 忽略外力 看情况 动量守恒 角动量守恒 动能不变 弹性碰撞 44 4 10质心系中的功能关系 一 克尼希定理 S 惯性系 S 质心系 45 质心系中功能原理仍然成立 与质心系是否是惯性系无关 二 质心系中的功能原理 积分形式 微分形式 克尼希定理 所以 46 证明1 1 内力成对出现 2 科尼希定理 势能与参考系无关 3 4 47 1 2 得 3 4 得 5 6 S系中功能原理 7 由 5 6 7 得 7 所以质心系中功能原理仍然成立 48 若质心系是惯性系 则功能原理必然成立 若质心系是非惯性系 则需考虑惯性力的功 设质心加速度为 则 证明2 49 质心系中机械能守恒定律 三 质心系中两质点系统的动能 惯性系S 不管质心系是否为惯性系 功能原理和机械能守恒定律都与惯性系中形式相同 设m1速度为 m2速度为 50 质心系S 令 相对速度 约化质量 则 质心系中两质点系的动能 51 若 则 例 对物体m 地球Me系统 Me m 物体 地球质心系中 物体和地球总动能 m 这就是讨论物体 地球系统的能量问题时 不考虑地球动能的原因 52 两质子达到最近距离时 动能全部转化为静电势能 例 质子间相互作用电势能 k为常量 两质子从相距很远处分别以速率v0和2v0相向运动 解 地面系如何 两质子间只有保守内力作用 动能和静电势能之和守恒 忽略万有引力 质心系 求 二者能达到的最近距离rmin 53 4 11两体问题 两物体在相互作用下的运动问题称两体问题 这类问题可简化为单体问题处理 如 粒子被原子核散射 设质点间的作用力为有心力 1 2 行星绕太阳运动等 54 在有心力作用下质点m1相对于m2的运动 可等效成质量是 的质点 受同样力作用 在m2平动参考系 以m2为原点 中的运动 这个参考系虽不是惯性系 但将m1用 代替后 牛顿第二定律仍适用 55 更进一步 在m2平动参考系中 m1改用约化质量后 有关动量和能量的定理也都适用 用二体方法重解上节两质子相碰问题 选其中的一个质子为原点 与质心系中的能量守恒方程一致 能量守恒给出 惯性力哪里去了 思考 例1 56 答案 例2 光滑水平面上 两小球m1 m2用长l的轻绳相连 开始时绳拉直 m1 m2的速率分别为v1 v2 方向一致且与