自动控制原理04(拉氏变换)ppt课件

2 1动态微分方程式的编写 机械运动系统 例 弹簧 质量 阻尼系统 输入外力 输出位移 阻尼系数 与运动方向相反 2 2非线性数学模型的线性化 2 2非线性数学模型的线性化 1 概念对于非本质非线性系统或环节 假设系统工作过程中 其变量的变化偏离稳态工作点增量很小 各变量在工作点处具有一阶连续偏导数 于是可将非线性函数 数模 在工作点的某一邻域展开成泰勒级数 忽略高次 二次以上 项 便可得到关于各变量近似线性关系 我们称这一过程为非线性系统 数模 的线性化 2 数学描述设系统的输入为x t 输出为y t 且满足y t f x 其中f x 为非线性函数 设t t0时 x x0 y y0为系统的稳定工作点 x0 y0 2 2非线性数学模型的线性化 2 2非线性数学模型的线性化 当 x xo 很小时 忽略其二阶以上各项 得 在该稳定工作点处将f x 泰勒展开为 即 也即 是线性化模型 例 将上例流体运动非线性方程线性化如 可将非线性特性在处线性化 2 2非线性数学模型的线性化 即有 去掉即为线性化方程 不难看出线性化方程与工作点有关 工作点不同 方程就不同 代入原方程得 2 2非线性数学模型的线性化 自动控制系统的典型输入信号 3 1控制系统的暂态响应分析 一 典型输入信号为了对系统性能进行分析 比较 给出了几种典型输入信号 阶跃输入定义如下 A 1时称为单位阶跃信号 对于恒值系统 相当于给定值突然变化或者突然变化的扰动量 对于随动系统 相当于加一突变的给定位置信号 3 1控制系统的暂态响应分析 斜坡 匀速 输入 相当于随动系统加入一按恒速变化的位置信号 该恒速度为A 3 1控制系统的暂态响应分析 抛物线 匀加速 输入 相当于随动系统加入一按恒加速度变化的位置信号 该恒加速度为A 3 1控制系统的暂态响应分析 脉冲函数 当A 1 时称为单位脉冲函数 t 其面积为1 正弦函数用正弦函数作输入信号 可以求得系统对不同频率的正弦输入函数的稳态响应 由此可以间接判断系统的性能 拉普拉斯变换 Laplace变换 拉普拉斯变换拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯逆变换拉普拉斯变换的应用 在数学中 为了把较复杂的运算转化为较简单的运算 常常采用一种变换手段 所谓积分变换 就是通过积分运算把一个函数变成另一个函数的变换 积分变换包括拉普拉斯 Laplace 变换和傅立叶 Fourier 变换 这里只研究Laplace变换 讨论他的定义 性质及其应用 在所确定的某一域内收敛 则由此积分所确定的函数可写为 设函数当有意义 而且积分 是一个复参量 称上式为函数的拉普拉斯变换式 一 拉普拉斯变换的概念 二 一些常用函数的拉普拉斯变换 例2求单位阶跃函数的拉氏变换 解 例1求单位脉冲函数的拉氏变换 解 例3求函数的拉氏变换 解 例4求单位斜坡函数的拉氏变换 解 例5正弦函数 是周期为 当在一个周期上连续或分段连续时 则有 周期函数的拉普拉斯变换 这是求周期函数拉氏变换公式 的周期函数 即 可以证明 若 1 线性性质 三拉氏变换的几个重要定理 2 微分定理 3 积分定理 4 实位移定理 5 复位移定理 6 初值定理 7 终值定理 终值确实存在时 自动控制原理 国家精品课程浙江工业大学自动化研究所 19 应用拉氏变换的终值定理求 注意拉氏变换终值定理的适用条件 事实上 的极点均处在复平面的左半边 不满足终值定理的条件 四拉氏反变换 1 反演公式 2 查表法 分解部分分式法 解 1利用拉普拉斯变换表和性质求拉普拉斯逆变换 一些常用函数的拉氏变换 自动控制原理 国家精品课程浙江工业大学自动化研究所 22 典型信号的拉氏变换 2 2 用留数法分解部分分式 一般有 其中 设 I 当无重根时 解 解 II 当有重根时 设为m重根 其余为单根 解 常系数线性微分方程的拉普拉斯变换解法 利用拉普拉斯变换可以比较方便地求解常系数线性微分方程 或方程组 的初值问题 其基本步骤如下 1 根据拉普拉斯变换的微分性质和线性性质 对微分方程 或方程组 两端取拉普拉斯变换 把微分方程化为象函数的代数方程 2 从象函数的代数方程中解出象函数 3 对象函数求拉普拉斯逆变换 求得微分方程 或方程组 的解 例17求微分方程 满足初始条件 的解 解设 对方程两边取拉氏变换 并考虑到初始条件 则得 解得 所以 用L变换方法解线性常微分方程 特征根 极点 相对于的模态 课后作业 1 已知系统的微分方程为 式中 y t 为系统的输出量 r t 为系统的输入量