2020版九年级数学下册第三章圆3.3垂径定理课件（新版）北师大版.pptx

3垂径定理 知识再现 1 圆是轴对称图形 对称轴是 2 轴对称的性质 轴对称图形中对应点的连线 过圆心的任意一条直线 被对称轴垂直平分 新知预习 问题一 动手操作 在白纸上画一个圆 沿着圆的任意一条直径所在的直线对折几次 你发现了什么 结论 圆是 图形 它的对称轴有 条 任何一条 所在的直线都是它的对称轴 轴对称 无数 直径 问题二 再动手操作 利用自己手中的圆 任意画出 O的一条弦AB 作直径CD 使CD AB 垂足为M 请沿着CD折叠 O 仔细观察 你能发现图中有哪些相等的线段和弧 相等的线段 半径相等除外 相等的弧 半圆除外 结论 垂径定理 1 文字描述 垂直于弦的直径 弦 并且 弦所对的弧 AM BM 平分 平分 2 几何语言 CD是 O的直径 CD AB AM 问题四 1 若任意画出 O的一条弦AB 取AB的中点M 作过M的直径CD 沿着CD折叠 O CD与AB的位置关系是 问题三中相等的弧还成立吗 BM 垂直 成立 2 当AB是 O的直径时 你发现的结论一定成立吗 结论 垂径定理的推论 平分弦 不是直径 的直径 于弦 并且 弦所对的弧 不一定 垂直 平分 基础小练 请自我检测一下预习的效果吧 1 下列说法正确的是 A 平分弦的直径垂直于弦B 垂直于弦的直线必过圆心C 垂直于弦的直径平分弦D 平分弦的直径平分弦所对的弧 C 2 如图 在圆O中 直径MN AB 垂足为C 则下列结论中错误的是 A AC BCB C D OC CN D 3 如图 AB为 O的弦 半径OC AB于点D 且AB 6 OD 4 则DC的长为 A 1B 2C 2 5D 5 A 4 O的半径是4 AB是 O的弦 AOB 120 则AB的长是 知识点一垂径定理的应用 P74 定理 拓展 典例1 2019 杨浦区三模 如图 已知AB是圆O的直径 弦CD AB 垂足H在半径OB上 AH 5 CD 4 点E在上 射线AE与CD的延长线交于点F 1 求圆O的半径 2 如果AE 6 求EF的长 规范解答 1 连接OD 直径AB 弦CD CD 4 DH CH CD 2 垂径定理在Rt ODH中 AH 5 设圆O的半径为r OD2 AH OA 2 DH2 即r2 5 r 2 20 解得 r 4 5 勾股定理则圆的半径为4 5 2 过O作OG AE于G AG AE 6 3 A A AGO AHF AGO AHF 两角相等的两三角形相似 相似的性质 AF EF AF AE 6 计算 学霸提醒 垂径定理常作的两条辅助线及解题思想1 两条辅助线 一是过圆心作弦的垂线 二是连接圆心和弦的一端 即半径 这样把半径 圆心到弦的距离 弦的一半构建在一个直角三角形中 运用勾股定理求解 2 方程的思想 在直接运用垂径定理求线段的长度时 常常将未知的一条线段设为x 利用勾股定理构造关于x的方程解决问题 这是一种用代数方法解决几何问题的解题思路 题组训练 1 如图 AB是 O的直径 弦CD AB于点E OC 5cm CD 8cm 则AE 世纪金榜导学号A 8cmB 5cmC 3cmD 2cm A 2 如图 AB是 O的直径 弦CD交AB于点P AP 2 BP 6 APC 30 则CD的长为 世纪金榜导学号A B 2C 2D 8 C 3 如图 已知 O的半径为5 弦AB CD所对的圆心角分别是 AOB COD 若 AOB与 COD互补 弦CD 6 则弦AB的长为 A 6B 8C 5D 5 B 4 2019 德州中考 如图 CD为 O的直径 弦AB CD 垂足为E CE 1 AB 6 则弦AF的长度为 世纪金榜导学号 5 如图 在 OAB中 OA OB O交AB于点C D 求证 AC BD 证明 过点O作OE AB于点E 在 O中 OE CD CE DE OA OB OE AB AE BE AE CE BE DE AC BD 知识点二垂径定理在实际问题中的应用 P75 例 补充 典例2 2019 朝阳区期末 一些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法测量 如图 把一个直径为10mm的小钢球紧贴在孔道边缘 测得钢球顶端离孔道外端的距离为8mm 求这个孔道的直径AB 尝试解答 连接OA 过点O作OD AB于点D 则AB 2AD 垂径定理 钢球的直径是10mm 钢球的半径是5mm 钢球顶端离零件表面的距离为8mm OD 3mm 在Rt AOD中 AD 4 mm 勾股定理 AB 2AD 2 4 8 mm 学霸提醒 垂径定理基本图形的四变量 两关系1 四变量 如图 弦长a 圆心到弦的距离d 半径r 弧的中点到弦的距离 弓形高 h 这四个变量知任意两个可求其他两个 2 两关系 1 d2 r2 2 h d r 题组训练 1 2019 婺城区期末 一条排水管的截面如图所示 已知排水管的截面圆的半径OB 10dm 水面宽AB是16dm 则截面水深CD是 A 3dmB 4dmC 5dmD 6dm B 2 2019 长兴县期末 乌镇是著名的水乡 如图 圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8m 水面宽AB为8m 则桥拱半径OC为 B A 4mB 5mC 6mD 8m 3 2019 衢州中考 一块圆形宣传标志牌如图所示 点A B C在 O上 CD垂直平分AB于点D 现测得AB 8dm DC 2dm 则圆形标志牌的半径为 B A 6dmB 5dmC 4dmD 3dm 4 2019 宁都县期末 如图是一个圆环形黄花梨木摆件的残片 为求其外圆半径 小林在外圆上任取一点A 然后过点A作AB与残片的内圆相切于点D 作CD AB交外圆于点C 测得CD 15cm AB 60cm 则这个摆件的外圆半径是 cm 世纪金榜导学号 37 5 5 如图 隧道的截面由半圆和长方形构成 长方形的长BC为8m 宽AB为1m 该隧道内设双向行驶的车道 共有2条车道 若现有一辆货运卡车高4m 宽2 3m 则这辆货运卡车能否通过该隧道 说明理由 世纪金榜导学号 解 这辆货运卡车可以通过该隧道 理由如下 根据题意可知 如图 在AD上取G 使OG 2 3m 过G作EG BC于F 反向延长交半圆于点E 则GF AB 1m 圆的半径OE AD 8 4 m 在Rt OEG中 由勾股定理 得EG 所以点E到BC的距离为EF 1 3 1 4 故货运卡车可以通过该隧道 火眼金睛 有一个半径为5m的排水管 水面宽度为8m 求此时水的深度 正解 情形1 当AB在圆心O下方时 连接OA 过点O作OE AB 交AB于点M 半径为5m AB 8m OA OE 5m AM 4m OM 3m ME OE OM 5 3 2 m 情形2 当AB在圆心O上方时 同法可得EM 5 3 8 m 综上所述 水的深度为2m或8m 一题多变 如图 已知AB是 O的直径 CD是 O的弦 AB CD 垂足为点E BE CD 16 试求 O的半径 解 连接OD 设OB OD R 则OE 16 R 直径AB CD CD 16 OED 90 DE CD 8 由勾股定理得 OD2 OE2 DE2则R2 16 R 2 82解得 R 10 O的半径为10 母题变式 变式一 变换条件 如图 AB是 O的直径 弦CD AB于P CD 10cm AP PB 1 5