行列式按行展开定理

1 1 3行列式按行 列 展开定理 一 按一行 列 展开行列式二 行列式按某k行 列 展开三 小结与思考题 2 可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式来计算 问题 一个n阶行列式是否可以转化为若干个n 1阶行列式来计算 一 按一行 列 展开行列式 3 定义1 5 在n阶行列式中 把元素 所在的第i行和 余子式 记为 称 为元素 的代数余子式 例如 第j列划去后 余下的n 1阶行列式叫做元素 4 的余子式 的代数余子式 5 注行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式 6 引理若在n阶行列式D的第i行中有一个元素aij 0 其余元素全为零 则D aijAij 定理1 4设n阶行列式 则n阶行列式D的值等于它的任意一行 列 的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和 即 7 证 只证按行展开第一式 将行列式D改写为 D a1jA1j a2jA2j anjAnj j 1 2 n 或 8 由行列式性质2及引理 得 ai1Ai1 ai2Ai2 ainAin i 1 2 n 同理可证按列展开式成立 9 解按第一行展开 得 例1计算行列式 10 推论n阶行列式D的任意一行 列 的元素与另一行 列 对应元素的代数余子式乘积的和等于零 即 证 由定理1 行列式等于某一行的元素分别与它们 代数余子式的乘积之和 11 在行列式 中 如果令第i行的元素等于另外一行 譬如第k行的元素 12 则 行列式含有两个相同的行 值为0 13 综上所述 得公式 注在计算数字行列式时 直接应用行列式展开公式并不一定简化计算 因为把一个n阶行列式换成n个 n 1 阶行列式的计算并不减少计算量 只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时 应用展开定理才有 意义 但展开定理在理论上是重要的 14 利用行列式按行按列展开定理 并结合行列式性质 可简化行列式计算 计算行列式时 可先用行列式的性质将某一行 列 化为仅含1个非零元素 再按此行 列 展开 变为低一阶的行列式 如此继续下去 直到化为三阶或二阶行列式 例2计算行列式 15 解 16 17 例3 计算n阶行列式 18 解将Dn按第一列展开 于是 得递推公式 而由递推公式 得 继续递推公式 得 故 19 例4 证明范德蒙 Vandermonde 行列式 20 证 用数学归纳法 1 当n 2时 结论成立 2 设n 1阶范德蒙行列式成立 证明n阶也成立 21 n 1阶范德蒙行列式 22 证毕 用降阶法计算行列式的值 按行按列展开 57 练习题 23 例5利用性质及展开定理计算行列式的值 解 24 按第二列展开 按第二行展开 25 例6计算行列式 26 解将行列式每一列加到第一列 则 27 28 例7计算行列式 解我们称行列式D为箭形行列式 解决的目标 化为上三角形行列式 29 30 例8计算行列式 31 箭形行列式 32 33 例9 可以化为箭形行列式 34 35 36 二 行列式按某k行 列 展开 定义1 6 在n阶行列式D中任取k行k列 1 k n 称 位于这些行与列的交叉点处的k2个元素按照其在D中的相对位置所组成的k阶行列式N为D的一个k阶子式 37 称划去N所在的行与列后剩下的元素按照其在D中的 相对位置所组成的n k阶行列式M为N的余子式 若N所在的行与列的行标与列标分别为 38 例10设 则D的位于第1 3行 第2 3列的2阶子式为 及 则称 为N的代数余子式 记作A 即 39 N1的代数余子式为 D的位于第1 3 4行 第2 3 4列的3阶子式为 N2的代数余子式为 40 显然 n阶行列式D位于某k行的k阶子式有 个 从而D共有 个k阶子式 定理1 5 n阶行列式D等于其位于某k行的所有k阶 与其对应的代数余子式 A1 A2 At的乘积之和 即 显然 定理1 4是定理1 5中k 1时的特例 按照定理1 5展开行列式似乎很繁 但当行列式的某些行中有众 41 多的零时 定理1 5的实用价值立即展现出来 例11 计算行列式 解 因为D中第2 4行的 个2阶子式中只有 一个是非零的 故将D按第2 4行展开得 42 例12 计算m n阶行列式 43 解 按前m列展开 得 44 例13 计算2n阶行列式 其中未写出的元素皆为零 解 按第1 2n行展开 因位于这两行的全部2阶子 式中只有1个 即位于第1 2n列的2阶子式 可能非零 且其余子式恰为0 相应的代数余子式为 45 故得 于是 得递推公式 从而 46 三 小结与思考题 2 行列式按某行 列 展开降阶方