正比例和反比例内部讲义练习

正比例和反比例内部讲义与练习知识点一：正比例和反比例的意义（1）正比例1、 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，这两个量就是相关联的量。 如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，它们的关系叫做正比例关系。 用字母和表示两种相关联的量，用表示一定的量，那么正比例关系可以写成：例如，总价随着数量的变化而变化，总价和数量的比的比值（单价）是一定的，我们就说，总价和数量是成正比例的量。 工效（一定） 工总和工时是成正比例的量 速度（一定） 所以路程与时间成正比例。（2）反比例 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 用字母和表示两种相关联的量，用表示一定的量，那么反比例关系可以写成：=（一定）例如，长宽面积（一定） 长和宽是成反比例的量每本的页数装订的本数纸的总页数（一定） 每本的页数和装订的本数是成反比例的量掌握：我们研究的一定是两个量，无论什么公式都至少有三个量，我们前面说过，要研究两个量的关系，一定要固定第三个量，也就是说让它不变，这是本单元的核心所在，如果第三个量不固定，就谈不上什么正比例还是反比例知识点二：正比例和反比例有什么相同点和不同点？（1）相同点：正、反比例都是研究两种相关联的量之间的关系，即一种量变化，另一种量也随着变化。（2）不同点：正比例是两种相关联的量一种量扩大几倍，另一种量就扩大相同的倍数，两个数的比值（商）一定； 反比例是两种相关联的量一个量扩大几倍，另一个量就缩小几倍，两个数的积一定。知识点三：正反比例的图像1、某造纸厂每小时造纸1.5吨，2小时、3小时各造纸多少吨？1）把下表填写完整。造纸时间/时1234造纸吨数/吨1.5（2）根据表中的数据，在下图中描出造纸时间和造纸吨数对应的点，再把它们连起来。 吨数/吨6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 时间/时（3）造纸吨数与造纸时间成正比例吗？为什么？（4）根据图像判断， 5小时造纸多少吨？2、（正比例的图像）磁悬浮列车匀速行驶时，路程与时间的关系如下。时间/分123456 7路程/千米7142128354249（1）图中的点A表示时间为1分钟时，磁悬浮列车驶过的路程为7千米。请你试着描出其他各点。（2）连接各点，它们在一条直线上吗？（3）根据图像判断，列车运行2分半钟时，行驶的路程是多少千米？行驶30千米大约需要几分钟？ 路程/千米42 35 28 21 14 7 A0 1 2 3 4 5 6 7 时间/分知识点四:判断正反比例判断两种量是否成正比例的应用方法： 1、 判断两个是否相关联2、 判断这两个量的比值是否一定，比值一定就成正比例关系；反之不成正比例关系。3、 （简说：用除法，商一定，成正比) 判断两种量是否成反比例的应用方法：1、判断两个是否相关联；2、判断这两个量的积是否一定，积一定就成反比例关系；反之不成反比例关系。2、 （简说：用乘法，积一定，成反比）例：【典型例题】工作总量一定，工效和时间成反比例 工效一定，工作总量和时间成正比例 时间一定，工作总量和工效成正比例 总价一定，单价和数量成反比例单价一定，总价和数量成正比例数量一定，总价和单价成正比例总产量一定，单产量和数量成反比例单产量一定，总产量和数量成正比例数量一定，总产量和单产量成正比例煤的总量一定，每天的烧煤量和烧的天数成反比 长方形面积一定，它的长和宽成反比 树的总棵数一定，每行种的棵数与行数成反比 每天看书页数一定，天数和看书的总页数成正比 分数的值大小一定，这个分数的分子与分成正比 单价一定，数量和总价成正比 正方形的边长和它的面积成正比 工作时间一定，工作效率和工作总量成正比 路程一定，速度和时间成反比 一堆货物一定，运出的和剩下的成反比 煤的总量一定，每天的烧煤量和烧的天数成反比 长方形面积一定，它的长和宽成反比 树的总棵数一定，每行种的棵数与行数成反比 反比例： 1.百米赛跑，路程100米不变，速度和时间是反比例； 2.排队做操，总人数不变，排队的行数和每行的人数是反比例； 3.做纸盒子，总个数一定，每人做的个数和人数成反比例；4.买东西（实际就用文具用品），总钱数一定，它的单价和数量是反比例； 5.长方形的面积一定，长和宽是反比例； 6.长方体的体积一定，底面积和高是反比例。 7.等分一块蛋糕，每人分到的蛋糕与人数成反比例。 8.总价一定,单价与数量成反比例. 9.长方体体积一定,底面积与高成反比例 10.总纸盒一定,每人做的个数与人数成反比例1、总产量一定，每公顷的产量和公顷数是不是成反比例？为什么？2、和一定，一个加数和另一个加数成反比例。点评：有些相关联的量，虽然也是一种量变化，另一种量也随着变化，但它们不是积一定，也 不是比值一定，它们就不成比例。像这样的还有：人的跳高高度和身高；减数一定，被减数和差等。（1）长方形的面积一定，长和宽成反比例吗？为什么？（2）长方形的周长一定，长和宽成反比例吗？为什么？分别说明大米的总千克数、每天吃的千克数和天数这三种量中，每两种量的比例关系。（1）大米的总千克数一定，每天吃的千克数和天数；（2）每天吃的千克数一定，大米的总千克数和天数；（3）天数一定，大米的总千克数和每天吃的千克数。（1）因为每天吃的千克数 天数 = 大米的总千克数（一定），所以大米的总千克数一定时，每天吃的千克数和天数成反比例。（2）因为 = 每天吃的千克数（一定），所以每天吃的千克数一定时，大米的总千克数和天数成正比例。（3）因为 = 天数（一定），所以天数一定时，大米的总千克数和每天吃的千克数成正比例。 练习： （判断是否成反比例）2、用一批纸装订练习本，每本25页，可以装订400本。如果要装订500本，每本有X页。题中（ ）量一定，关系式：（ ）（ ）（ ）（一定），（ ）和（ ）成（ ）比例。3、一间会客室地面用边长0.3米的正方形地砖铺，需要640块。如果改用边长0.4米的正方形地砖，需要Y块。题中（ ）量一定，关系式：（ ）（ ）（ ）（一定），（ ）和（ ）成（ ）比例。4、在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中 当底面周长一定时，（ ）与（ ）成（ ）比例； 当高一定时，（ ）与（ ）成（ ）比例； 当侧面积一定时，（ ）与（ ）成（ ）比例。5、在被除数、除数、商这三种量中， 当（ ）一定时，（ ）与（ ）成正比例； 当（ ）一定时，（ ）与（ ）成反比例；6、在行程问题中， 当路程一定时，（ ）与（ ）成反比例； 当速度一定时，（ ）与（ ）成正比例 当时间一定时，（ ）与（ ）成正比例6、当 a b c（ a、b、c 为三种量，且均不为0）。 ( )一定，（ ）与（ ）成（ ）比例；（ ）一定，（ ）与（ ）成（ ）比例；（ ）一定，（ ）与（ ）成（ ）比例；7、判断。（1）、工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例。（ ）（2）、图上距离和实际距离成正比例。（ ）（3）、X和Y表示两种变化的相关联的量，同时5X7Y0，X和Y不成比例。（ ）（4）、分数的大小一定，它的分子和分母成正比例。 （ ）（5）、在一定的距离内，车轮周长和它转动的圈数成反比例。 （ ）（6）、两种相关联的量，不成正比例，就成反比例。 （ ）（7）订阅小学数学评价手册的份数与所需钱数成正比例。 ( )（8）在400米赛跑中，跑步的速度和所用时间成反比例。 ( )（9）工作总量一定，已完成的量和未完成的量成反比例。 ( )（10）正方体的棱长和体积成正比例。 ( )（11）被除数一定，除数和商成反比例。 ( )（12）圆的周长和它的直径成正比例。 ( )（13）路程与时间成正比，时间与速度成反比。 ( ) 8、判断下面每题中的两种量是不是成比例，如果成比例，成什么比例。（1）、装配一批电视机，每天装配台数和所需的天数（ ）。（2）、正方形的边长和周长（ ）。（3）、水池的容积一定，水管每小时注水量和所用时间（ ）。（4）、房间面积一定，每块砖的面积和铺砖的块数（ ）。（5）、在一定时间里，加工每个零件所用的时间和加工零件的个数（ ）。（6）、在一定时间里，每小时加工零件的个数和加工零件的个数（ ）。9、思考：明明三岁时体重12千克，十一岁时体重44千克。于是小张就说：“明明的体重和身高成正比例。”你认为小张的说法对吗？为什么？10、某造纸厂每小时造纸1.5吨，2小时、3小时各造纸多少吨？（1）把下表填写完整。造纸时间/时1234造纸吨数/吨1.5（2）根据表中的数据，在下图中描出造纸时间和造纸吨数对应的点，再把它们连起来。 吨数/吨6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 时间/时（3）造纸吨数与造纸时间成正比例吗？为什么？（4）根据图像判断， 5小时造纸多少吨？题型一：根据图标填写信息例1 ：购买面粉的重量和钱数如下表，根据表填空。重量（千克）123456总价（元）1.93.85.77.69.511.4 （1）( )和( )是两种相关联的量，（ ）随着（ ）的变化而变化。 （2）与总价7.6元相对应的重量是（ ）千克；与6千克相对应的总价是（ ）元。 （3）总价与重量中相对应的两个数的比值所表示的意义是（ ）。（4）因为比值一定，所以表中总价和重量叫做成（ ）的量。题型二：根据关系式正比例反比例的判断例2：判断下面两种相关联的量成不成比例，如果成比例，成什么比例。（1）瓷砖面积一定，瓷砖的块数和瓷砖的面积。（2）铺地面积一定，每块砖的面积和所需块数。（3）铺地面积一定，方砖的边长和所需块数。（1）生产总时间一定，生产一个零件的时间和个数。（2）生产一个零件的时间一定，生产零件的总时间和个数。（1）圆的周长和半径。（2）圆的周长一定，圆周率和直径。（3）圆的面积和半径的平方。例3：判断下面各题中的两种量成不成比例（在括号里填上“成正比例”或“不成正比例”）。 （1）正方形的面积和边长。 （ ）（2）比的前项一定，比的后项和比值。 （ ） （3）人的体重和身高。 （ ） （4）每本书的单价一定，买书的本数与总价。 （ ） （5）出粉率一定，小麦的重量和出粉重量。 （ ） （6）正方体的体积和棱长。 （ ） （7）产品合格率一定，产品合格数和产品总数。 （ ）（8）工作时间一定，工作总量和工作效率。 （ ）例4 ：判断下面每题中的两种量成什么比例关系，并说明理由。 （1）每公顷施肥量一定，施肥总量与公顷数。 （2）每台织布机的每小时织布的米数一定，织布的总米数和所用的小时数。（3）汽车行1千米的耗油量一定，汽车所行路程和总耗油量。（4）同一辆汽车所行驶的路程和车轮转数。例题9：判断下列各题的两种量是否成比例？如果成，成什么比例？ （1）工作效率一定，工作时间和工作总量。（ ）（2）货物总数一定，每次运货吨数和运货次数。（ ）（3）路程一定，已走路程和剩下路程。 （ ）（4）圆的半径和面积。（ ）（5）平行四边形的底和面积。（ ）（6）在太阳照射下，同时同地的竿高和影长。（ ）（7）煤的总量一定，每天烧煤量和可烧的天数。（ ）（8）abc，c一定，a和b。（ ）（9）分数值一定，分子和分母。（ ）（10）路程一定，车轮的直径和转动的周数。（ ）【巩固练习】 （1）比例尺一定，图上距离与实际距离成（ ）比例。 （2）圆的半径和面积（ ）比例。 （3）三角形的高一定，它的面积和底成（ ）比例。 （4）订阅中国少年报的钱数和份数成（ ）比例。 （5）圆的直径和周长成（ ）比例。 （6）差一定，被减数和减数（ ）比例。（7）圆锥的高一定，底面积和它的体积（ ）比例。(1)每公顷的施肥量一定，施肥总量与公顷数成()比例。(2)要修的路程一定，每天修的路程与天数成()比例。(3)肥料总数一定，每平方米施肥量和平方米成()比例。(4)钱的总数一定，铅笔数量和单价成()比例。(5)制造一批零件的个数一定，制造一个零件的时间和需要的总时间成()比例。A成正比例B成反比例C不成比例(1)平行四边形的底一定，高和面积。()(2)积一定，一个因数与另一个数。()(3)一本书的页数一定，已看的页数和没看的页数。()(4)工作效率一定，工作总量和工作时间。()下面各题中的两种量是不是成比例，如果成比例，成什么比例，并说明理由。1、每个小朋友分的饼干数一定，饼干数的总块数和分的人数。2、每箱梨的重量一定，箱数和总重量。3、正方形的周长和边长。4、正方形的面积和边长。5、读一本书，每天读的页数和读的天数。6、一箱饮料的数量一定，卖出的和剩下的。7、三角形的底一定，它的面积和高。8、每袋面粉的质量一定，面粉的总质量和袋数。9、一个人的年龄和体重。10、长方形的周长和宽。11、长方形的长一定，面积与宽。12、三角形的高一定，面积与底。13、圆的面积与半径。14、正方形的周长和边长。15、一个班级的男生人数和女生人数。16、每箱苹果个数一定，运来苹果的箱数与苹果总个数。17房屋地面的面积一定，铺地砖的块数与每块地砖的面积。18、每块地砖的面积一定，铺地面积与所需地砖的块数。19、分子一定，分母和分数值。20、三角形的高一定，它的底和面积。21、梯形的上底和下底一定，面积和高。22、圆的周长和直径。23、车轮的直径一定，所行驶的路程和转数。24、被乘数一定，乘数和积。25、积一定，一个因数和另一个因数。26、除数一定，被除数和商。27、从甲地到乙地，行驶的速度和所用的时间。28、每台电视机的价格一定，购买电视机的台数和钱数。29、圆柱的侧面积一定，它的底面周长和高。30、小明的身高和他的体重。10判断下面的两种量成不成比例？成正比例画“”，成反比例画“”，不成比例画“”。(1)每小时织布米数一定，织布的总时间和总米数。()(2)一个人的年龄和他的体重。()(3)生产总量一定，每天的生产量和生产天数。()(4)正方形的边长和面积。()(5)分母一定，分子和分数值。()11填空：(1)物品的总价一定，它的单价和数量成()比例。(2)每公顷的施肥量一定，施肥的公顷数和施肥总量成()比例。(3)要走的路程一定，已行路程与未行的路程()比例。(4)比的后项一定，前项和比值成()比例。(5)甲数是乙数的80%，甲数和乙数成()比例。(6)圆的半径和它的周长成()比例。14判断(对的打“”，错的打“”)(1)生产效率一定，生产的总量和生产的时间成反比例。()(2)出米率一定，大米的重量和稻谷的重量成正比例。()(3)汽车速度一定，行驶的路程和所用时间成反比例。()(4)三角形的高一定，它的面积和底不成比例。()(5)被减数一定，减数和差成反比例。()2、用一批纸装订练习本，每本25页，可以装订400本。如果要装订500本，每本有X页。题中（ ）量一定，关系式：（ ）（ ）（ ）（一定），（ ）和（ ）成（ ）比例。3、一间会客室地面用边长0.3米的正方形地砖铺，需要640块。如果改用边长0.4米的正方形地砖，需要Y块。题中（ ）量一定，关系式：（ ）（ ）（ ）（一定），（ ）和（ ）成（ ）比例。题型三：根据图表成正反比例判断例：李平和同学星期六骑车去郊游，下图表示她骑车的路程和时间的关系。(1)李平骑车行驶的路程和时间成正比例吗？为什么？(2)利用图估计，李平20分钟大约行了多少千米？行20千米大约用了多少分钟？(答案保留整数)例：根据表中两种量相对应的比值，判断它们是不是成正比例，并说明理由。(1)面粉的袋数(袋)1234面粉的总重量(千克)255075100(2)钢铁的重量(千克)7.815.623.431.2钢铁的体积(m3)1234【巩固练习】（4）糖果厂包装一批糖果，每袋糖果的粒数和装的袋数如下表：每袋的粒数12152024装的袋数50403025每袋糖果的粒数和装的袋数成反比例吗？为什么？1、仔细观察每张表格，思考表格中两种量之间有关系吗？有什么关系？为什么？表格1数量/本13681020总价/元41224324080表格2单价/元1.523456总价/元6812162024表格3 用60元钱购买笔记本，笔记本的单价和可以购买的数量如下表：单价/元1.523456数量/本403020151210题型四：根据比例关系填表例4：（1）根据，填写下表。203512028（2）下表中和两个量成反比例，请把表格填写完整24050.1（3）下表中和两个量相关联的量，观察规律，请把表格填写完整0.50.611.52.73【巩固练习】（1）如果x和y成正比例，并且20。请完成下表。y20801301 000850x1.580.410在下图中，描出上题中y与相对应的x的点(注意找几个关键点)，然后连成线。(21)已知 x和y成正比例关系，请完成下列表格。x608y642.4(3)已知x和y成反比例关系，请完成下表。x0.071.40.2y1410（4）小英和妈妈的年龄变化情况如下，把表填写完整。小英的年龄/岁67891011妈妈的年龄/岁3031母女的年龄成正比例吗？为什么？10、某造纸厂每小时造纸1.5吨，2小时、3小时各造纸多少吨？（1）把下表填写完整。造纸时间/时1234造纸吨数/吨1.5（2）根据表中的数据，在下图中描出造纸时间和造纸吨数对应的点，再把它们连起来。 吨数/吨4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 时间/时（3）造纸吨数与造纸时间成正比例吗？为什么？（4）根据图像判断， 5小时造纸多少吨？题型五：比例的扩大缩小例5 ：选择。（把正确答案的序号填在括号里）（1）如果两种相关联的量成正比例，一种量扩大几倍，另一种量就（ ）相同的倍数。 扩大 缩小 增加 减少（2）如果两种相关联的量成反比例，一种量扩大几倍，另一种量就（ ）相同的倍数。 扩大 缩小 增加 减少（3）和一定，一个加数和另一个加数（ ）。 成正比例 成反比例 不成比例（4）正方形的面积和边长（ ）。 成正比例 成反比例 不成比例 （5）甲、乙两车行同一段路程，甲车需3小时，乙车需5小时，甲、乙两车速度的比是（ ）。116 35 53题型六：根据关系式，说出哪种量一定，哪两种量成正比例或反比例。例：根据下面的关系式，说出哪种量一定，哪两种量成正比例。(1)总价单价数量。()一定，()和()成正比例。(2)长方形面积底高。()一定，()和()成正比例。(3)xyz。()一定，()和()成正比例。(4)铺地面积方砖面积方砖块数。()一定，()和()成正比例。(5)路程速度时间。()一定，()和()成正比例。已知abc，a、b都不为0。先写两个正比例关系式，再填空。_()一定，()和()成正比例。_()一定，()和()成正比例。(1)速度时间路程。速度一定，()和()成()比例。时间一定，()和()成()比例。路程一定，()和()成()比例。(2)单价数量总价。单价一定，()和()成()比例。数量一定，()和()成()比例。总价一定，()和()成()比例。4、在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中 当底面周长一定时，（ ）与（ ）成（ ）比例； 当高一定时，（ ）与（ ）成（ ）比例； 当侧面积一定时，（ ）与（ ）成（ ）比例。5、在被除数、除数、商这三种量中， 当（ ）一定时，（ ）与（ ）成正比例； 当（ ）一定时，（ ）与（ ）成反比例；6、当 a b c（ a、b、c 为三种量，且均不为0）。 ( )一定，（ ）与（ ）成（ ）比例；（ ）一定，（ ）与（ ）成（ ）比例；（ ）一定，（ ）与（ ）成（ ）比例；拓展例：若x和y是两种相关联的量，判断它们是否成比例，成什么比例（1）若5x=4y，（x，y均不为0），则x和y成（ ）比例。（2）若，（x，y均不为0），则x和y成（ ）比例。（3）若，（x，y均不为0），则x和y成（ ）比例。（4）若，（x，y均不为0），则x和y成（ ）比例。（5）若，（x，y均不为0），则x和y成（ ）比例。【巩固练习】1.三角形的高一定，它的面积和底（ ）A.成正比例 B.成反比例 C.不成比例2.甲数和乙数互为倒数，则甲数和乙数（ ）A.成正比例 B.成反比例 C.不成比例3. 是的，那么与（ ）A.成正比例 B.成反比例 C.不成比例例：如果1(b0，c0)，那么，当a一定时，b和c成()比例；当b一定时，a和c成()比例；当c一定时，a和b成()比例。作业：一、填空1、 判断分子、分母、分数值一种量一定，另外两种量成什么比例。（1） 分子一定，分母和分数值成_比例。（2） 分母一定，分子和分数值成_比例。（3） 分数值一定，分子和分母成_比例。2、 已知=k，当_一定时，另外两种量成反比例。3、 =_，当_一定时，_和_成正比例。 当_一定时，_和_成反比例。4、 已知x、y成反比例，完成表格。 X412Y91833.65、 已知x、y成正比例，完成表格。X1.53Y14.50.156、 如果6，那么：_：_， ：5_：_。7、 有120吨货物，每次运的吨数和运的次数成（ ）比例。8、 总价一定，购买算草本的本数和单价成（ ）比例。9、 工作效率一定，工作总量和工作时间成（ ）比例。10、 汽车每千米耗油量一定，所行的路程和耗油总量成（ ）比例。二、选择1、 如果3x=8y（x、y都不等于0），那么x和y（ ） A、成正比例 B、成反比例 C、不成比例 D、以上说法都不对2、 如果=（x、y都不等于0），那么x和y（ ） A、成正比例 B、成反比例 C、不成比例 D、以上说法都不对3、 把一堆化肥装入麻袋中，麻袋的数量和每袋化肥的重量（ ）A、成正比例 B、成反比例 C、不成比例 D、以上说法都不对4、 下列表示x和y成反比例的式子是（ ）A、x+3y=12 B、y=4xC、y= D、y=-x5、 已知kx=y，且x和y都不为0，当k一定时，x和y（ ）A、成正比例 B、成反比例 C、不成比例 D、以上说法都不对6、 三种量a，b，h的关系是b=ah，当b一定时，a和h（ ）A、成正比例 B、成反比例 C、不成比例 D、以上说法都不对7、 甲数的是乙数，那么甲数与乙数（ ）A、成正比例 B、成反比例 C、不成比例 D、以上说法都不对三、判断题1、正方形的边长和周长成正比例。（ ）2、正方形的边长和面积成正比例。（ ）3、a是b的，数a和数b成正比例。（ ）4、如果4a=3b,那么ab=34 。（ ）5、圆的周长一定，直径和圆周率成反比例。（ ）6、=B，那么A和B成反比例。 （ ）7、长方体的体积一定，底面积和高成反比例。（ ）8、如果x 与y成反比例，那么3 x与y也成反比例。（ ）9、圆的面积与半径的平方成正比例。（ ）10、圆锥的体积一定，底面积和高成反比例。（ ）11、三角形的高一定，底和面积成反比例。（ ）12、路程一定，车轮的直径与车轮的转数成反比例。（ ）13、全班总人数一定，出勤人数和出勤率成正比例。（ ）14、从甲地到乙地，已走路程和未走路程成反比例。（ ）15、减数一定，被减数和差成正比例。（ ）四、图表题1、某场一生产车间的生产情况如下表：时间（天）12345678生产量（吨）70140210280350420490560（1） 表中有哪两个量？是不是相关联的量？（2） 写出几组这两种量中相