高三球的内接与外接

球与多面体的内切 外接 定义1 若一个多面体的各面都与一个球的球面相切 则称这个多面体是这个球的外切多面体 这个球是这个多面体的内切球 定义2 若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上 则称这个多面体是这个球的内接多面体 这个球是这个多面体的外接球 解决正方体与球的组合问题 常用工具是截面图 即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面 通过两个截面图的位置关系 确定好正方体的棱与球的半径的关系 进而将空间问题转化为平面问题 球的内接正 长 方体的对角线等于球直径 一 直接法 A B C D D1 C1 A1 对角面 设棱长为1 变式1 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上 若该正方体的表面积为24 则该球的体积为 例1 若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上 则该球的表面积为 变式2 一个长方体的各顶点均在同一球面上 且一个顶点上的三条棱长分别为1 2 3 则此球的表面积为 变式3 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4 体积为16 则这个球的表面积为 A B C D C 球的外切正方体的棱长等于球直径 正方形的对角线等于球的直径 球的内接正方体的对角线等于球直径 A 二 构造法 例1 2012辽宁16 已知正三棱锥P ABC 点P A B C都在半径为的球面上 若PA PB PC两两互相垂直 则球心到截面ABC的距离为 1 构造正方体 变式题 已知球O的面上四点A B C D 则球O的体积为 构造边长为根号3的正方体即可 例5 求棱长为a的正四面体P ABC的外接球的表面积 变式题 一个四面体的所有棱长都为 四个顶点在同一球面上 则此球的表面积 A B C D A 2 构造长方体 思路分析 此题欲计算所求值 应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算 所以应构造熟悉的几何体并与球有密切的关系 便于将球的条件与之相联 2 构造长方体 思路分析 正四棱柱也是长方体 由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2 可得长方体的长 宽 高分别为2 2 4 长方体内接于球 它的体对角线正好为球的直径 例 福建高考题 若三棱锥的三条侧棱两两垂直 且侧棱长均为 则其外接球的表面积是 思路分析 此题用一般解法 需要作出棱锥的高 然后再设出球心 利用直角三角形计算球的半径 而作为填空题 三条侧棱两两垂直 使我们很快联想到长方体的一个角 马上构造长方体 由侧棱长均相等 所以可构造正方体模型 2 构造长方体 变式点A B C D在同一个球面上 则B C两点间的球面距离是 三 确定球心位置法 球与三棱锥四个面相切 球心到四个面的距离相等 都为球半径 这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离 故可采用等体积法解决 即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积 三 确定球心位置法 三棱锥的各个顶点在球面上 根据截面图的特点 可以构造直角三角形进行求解 球与一些特殊的棱锥进行组合 一定要抓住棱锥的几何性质 可综合利用截面法 补形法等进行求解 例如 四个面都是直角三角形的三棱锥 可利用直角三角形斜边中点几何特征 巧定球心位置 球与旋转体切接问题画出球及其它旋转体的公共轴截面 然后寻找两几何体元素之间的关系 例求球与它的外切圆柱 外切等边圆锥的体积之比 思路分析 首先画出球及它的外切圆柱 等边圆锥 它们公共的轴截面 然后寻找几何体与几何体之间元素的关系 四 构造直角三角形 例 正四面体的棱长为a 则其内切球和外接球的半径是多少 解 如图1所示 设点o是内切球的球心 正四面体棱长为a 由图形的对称性知 点o也是外接球的球心 设内切球半径为r 外接球半径为R 正四面体的表面积正四面体的体积在中 即 得 五 寻求轴截面圆半径法 例1 正四棱锥S ABCD的底面边长和各侧棱长都为 点S A B C D都在同一球面上 则此球的体积为 解设正四棱锥的底面中心为 外接球的球心为O 如图3所示 由球的截面的性质 可得又 球心O必在所在的直线上 的外接圆就是外接球的一个轴截面圆 外接圆的半径就是外接球的半径 在中 由是外接圆的半径 也是外接球的半径 故 解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体 解答时首先要找准切点 通过作截面来解决 如果外切的是多面体 则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作 把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题 解决这类问题的关键是抓住内接的特点 即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径 发挥空间想象力 借助于数形结合进行转化 问题即可得解 如果是一些特殊的几何体 如正方体 正四面体等可以借助结论直接求解 此时结论的记忆必须准确 高考题往往与三视图相结合 例在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切 1 求两球半径之和 2 球的半径为多少时 两球体积之和最小 思路分析 此题的关键在于作截面 一个球在正