运动积分PPT课件

1 1 6运动积分 求解拉格朗日方程的具体过程称为运动方程的积分 运动积分 运动过程中始终保持不变的力学量称为运动积分 常见的运动积分有两类 一是动量积分与角动量积分的推广 称为广义动量积分 一类是机械能的推广 称为广义能量积分 从数学上 找到运动积分使方程由二阶降为一阶 有利于求解 从物理上 积分对应着某个运动守恒量 可能有明确的物理意义 我们常利用物理意义明确的积分 如动量守恒 角动量守恒和机械能守恒等 以达到简化问题求解过程的目的 重点 运动积分 广义动量守恒 的概念与意义 运动方程的建立 微分方程的求解 确定状态r t 参考 P17 23 T P34 39 L 2 拉格朗日方程是s个二阶常微分方程组 我们希望也像牛顿力学一样 若能首先对微分方程组积分一次 找出某些初积分 或叫第一积分 使我们对某些问题的求解能简便些 一 循环积分 动量守恒与角动量守恒 一般保守力学系的拉格朗日函数是全部广义坐标和广义速度 广义动量 及时间t的函数 即 若L中不显含某一广义坐标qj 则称qj为循环坐标 也叫可遗坐标 这时有 循环坐标 3 代入拉格朗日方程 则 可见 当L函数中不含某广义坐标qj时 这个qj即循环坐标所对应的广义动量就是守恒量 称为循环积分 这表明 对任一循环坐标 都对应有一个循环积分 必须掌握 4 动量的变化 补充 动量定理 角动量的变化 5 力学系统若具有空间均匀性 即整个系统在空间作任何一个平移 力学系统的性质不变 则系统总动量在整个运动过程中不随时间变化 是一运动积分 即动量守恒 对于保守系统 动量守恒的条件简化为合外力为零 若整个力学系统所受合力为零 则其动量守恒 如碰撞过程 动量守恒 6 动量守恒实例 一质量为m的质点在重力场中运动 取直角坐标x y z为广义坐标 广义动量为 拉氏函数中不含x y x y为循环坐标 对应广义动量守恒 拉氏函数为 动量在x y方向上投影 拉氏函数中含z z不是循环坐标 对应广义动量不守恒 Z方向上受重力作用 动量不守恒 x y方向上不受力 动量守恒 7 如自由质点在有心力场中的循环积分 有心力指力通过定点 自由质点只受有心力作用时 力矩为零 角动量守恒 作平面曲线运动 自由度s 2 取极坐标 r 为广义坐标 则有 可见L函数中不含 所以 是循环坐标 则 角动量守恒 旋转不变性 空间各向同性 线量 角量 本质相同 角动量守恒 大小和方向均不变 只有平面运动才能满足方向不变 8 角动量守恒定律的应用 开普勒第二定律 行星对恒星的矢径的掠面速度不变 例 行星受力方向与矢径在一条直线 有心力 故对心角动量守恒 常数 O A M OMA的面积 MA OM 9 在牛顿力学中讨论过动量守恒 角动量守恒 机械能守恒 判断守恒的依据是系统的受力特征 分析力学从拉格朗日方程的运动积分亦可得到守恒量 而其守恒的成立仅与系统的动力学特征函数 拉氏函数 的结构特征有关 物理规律的某一种对称性 不变性 通常都属于一种守恒定律 对称性与守恒律 10 参考 广义能量和广义能量积分 展开上式并交换求和 11 讨论广义能量的结构和广义能量积分存在的条件 由 AB A B AB 两式相减 相消得 12 13 对于完整的有势系 若L不显含t 且体系受定常约束时 系统的H 即系统的机械能 能量积分表明系统的机械能守恒 而L不显含t 但体系受非定常约束时 系统的H广义能量积分 14 例 圆锥面上质点 质量为m 约束在半顶角为 的圆锥面上运动 求其运动积分 参考 运动积分实例 15 参考 下面讨论时空对称性与动量守恒定律 为简单起见 假设一个体系由两个相互作用着的粒子组成 它们只限于在具有平移对称性的x轴上运动 如图所示 设两粒子的坐标分别为 体系的势能为 当体系发生一平移时 两粒