线性代数第四讲_矩阵的概念及其加减乘运算PPT课件

1850年西尔维斯特首先使用矩阵这个词 1855年以后 英国数学家凯莱创立了矩阵理论 至二十世纪 矩阵论已成为一个独立的数学分支 出现了矩阵方程论 矩阵分解论 广义逆矩阵等矩阵的现代理论 由于许多线性或非线性问题都可以转化为对矩阵的讨论 所以它在物理 化学 经济 工程以及现代科技的许多领域都有着广泛的应用 矩阵部分主要讨论三个问题 第二部分矩阵理论 一矩阵的概念及四则运算 三逆矩阵 二矩阵的初等变换与矩阵的秩 由m n个数aij i 1 2 m j 1 2 n 排成的一个m行n列的矩形表称为一个m n矩阵 一矩阵的定义 Am n 记作 只能用 或 不能用 第四讲矩阵的概念及其运算 1零矩阵 一部分特殊矩阵 所有元素均为0的矩阵称为零矩阵 记为O 例如 若矩阵A的行数与列数都等于n 则称A为n阶矩阵 或称为n阶方阵 2方阵 例如 也可以用小写黑体字母 3行矩阵与列矩阵 只有一行的矩阵称为行矩阵 只有一列的矩阵称为列矩阵 例如 表示 4对角矩阵 如下形式的n阶矩阵称为对角矩阵 记为 diag a11 a22 ann 例如 数量矩阵是特殊的对角矩阵a11 a22 ann 如下形式的n阶矩阵称为数量矩阵 5数量矩阵 例如 如下形式的n阶矩阵称为单位矩阵 记为I或E 6单位矩阵 单位矩阵是特殊的数量矩阵 a11 a22 ann a 1 例如 如下形式的n阶矩阵称为上三角形矩阵 7三角形矩阵 如下形式的n阶矩阵称为下三角形矩阵 例如 如果n阶矩阵A满足AT A 即aij aji 则称A为对称矩阵 8对称矩阵 二矩阵的运算 三 矩阵的转置 四 方阵的行列式 一 矩阵的加法 减法 二 矩阵的乘法 五 几种特殊矩阵 一 矩阵的加法 减法 1 同型矩阵 2 同型矩阵才能相加减 二矩阵行相同 列相同 例 为同型矩阵 不同型 3 加法与减法法则 同型矩阵对应元素相加减 矩阵加法和减法定义 A B 设A与B为两个m n矩阵 例1设 求A B 解 1 5 2 6 3 7 4 8 6 8 10 12 给定矩阵 规定 kA 二 矩阵的数乘 实数k遍乘A的所有元素 准备 矩阵乘积有意义的条件 不是任意二矩阵乘积AB都有意义 2 二矩阵乘积AB有意义的条件是 左边的矩阵A的列数与右边的矩阵B的行数相等 即 s t 且 Am sBs n Cm n 三 矩阵的乘法 例 则AB无意义 则CD有意义 且CD是2 3的矩阵 设A是一个m s矩阵 B是一个s n矩阵 AB 矩阵的乘法定义 cij i 1 2 m j 1 2 n 其中 ai1b1j ai2b2j aisbsj cij A的第i行与B的第j列的乘积 解 6 7 8 3 3 6 7 8 3 0 3 3 3 解 6 7 8 3 0 9 7 3 5 3 3 解 4 9 8 3 6 7 8 3 0 9 7 3 5 2 2 注意一 矩阵乘法一般不满足交换律 即AB BA 例2设 A B 求AB及BA 解 3 1 1 0 3 1 1 0 如果AB BA 则称矩阵A与矩阵B可交换 显然AB BA 可交换阵 例3设 A 4 2 2 1 B 求AB及BA 4 2 6 3 解 32 16 16 8 0 0 0 0 2 2 2 2 注意二 例4设 A 5 0 0 0 求A2 解 0 0 0 0 2 2 注意三 矩阵乘法一般不满足消去律 例5设A 203 B 004 C 100 求AC BC 解 1 1 0 0 1 1 0 0 注意四 例6线性方程组可用矩阵乘法表示 系数阵 例如 1 AB BA 3 AB O A O或B O 2 AC BC A B 矩阵乘法总结 矩阵乘法性质除下列几条外其余和数乘法性质相同 4 A2 O A O 乘法一般不满足交换律 乘法一般不满足消去律 如果C可逆 则A B 例7设矩阵A B均为n阶方阵 证明 证明 1 2 3 1 4方阵的幂 对于方阵A及自然数k记Ak A A A k个A相乘 只有方阵才能自乘 规定 性质 1 ArAs Ar s 2 Ar s Ars 注 一般 AB k AkBk 但如果AB BA 则 AB k AkBk 例8设 求 1 2 3 解 n个 如下形式的n阶矩阵称为单位矩阵 记为In或I 单位矩阵性质 对于n阶矩阵A 规定A0 I ImAm n Am n 1 Am n Am nIn Am n 1 Am n 单位阵与任意矩阵相乘 只要有意义 结果不变 练习 1 计算下列矩阵 解 1 2计算 A B 1 1 1 4 2 5 3 6 32 32 A B 1 1 3 1 2 2 1 2 0 4 5 5 3 将矩阵A的同号数的行换为同号数的列得到的矩阵称为A的转置矩阵 记为AT或A a11a12 a1n a21a22 a2n am1am2 amn AT 四 矩阵的转置 第1行变为第1列 第2行变为第2列 第m行变为第m列 4 AB T BTAT A1A2A3 An T An T An 1 T A2 T A1 T 转置矩阵有下列性质 1 AT T A 2 A B T AT BT 3 kA T kAT 注意矩阵的次序 例1 A 5 3 193 B AB T BTAT 则 如果n阶矩阵A满足AT A 即aij aji 则称A为对称矩阵 对称矩阵性质 1 kA为对称阵 性质设A B为对称阵 则 2 A B与A B为对称阵 注AB未必是对称阵 不是对称矩阵 AB 例2设A与B是两个n阶对称矩阵证明 AB对称AB BA 证明 1 充分性 所以AB对称 2 必要性 例3设A为对称矩阵 且A2 0证明A 0 证明 设 A2 AAT 0 所以A 0 注意乘积对角线上元素 n阶矩阵A的元素按原来排列的形式构成的n阶行列式称为矩阵A的行列式 记为 A 或detA A detA A detA 2 五 方阵的行列式 方阵的行列式具有的运算律 1 AB A B 显然 k个A A k 方阵积的行列式 行列式的积 2 lA ln A n为方阵的阶数 例1 则 lA l3 l3 A 例2 1 设矩阵A为八阶矩阵 l8 A 2 设矩阵A为十阶矩阵 lA l10 A lA 例3设A aij 为三阶矩阵 若已知 A 2 求 A A 解 A A 2 3 A 2 3 2 16 2A 提问 设矩阵A为三阶矩阵 且 A m 问 mA 答 m4 3 AT A 例4设A 254 4 53 134 B C 求 1 ATB2C 解 1 ATB2C AT B2 C A B 2 C 2 12 5 10 3BBT 2 32 BBT 2 32 B BT 2 81 2 3BBT 2 2 3BBT 2 1 AB BA 3 AB O A O或B O 2 AC BC A B 总结 一矩阵乘法 二矩阵转置 A1A2A3 An T An T An 1 T A2 T A1 T 三方阵行列式 lA ln A 4 A2 O A O