1 计数统计量和秩统计量ppt课件.ppt

第一章计数统计量和秩统计量 第一节适应任意分布的统计量第二节计数统计量第三节秩统计量第四节符号秩统计量 第一节适应任意分布的统计量定义1 1 1设随机变量是来自总体的样本 一切可能的组成分布类 如果统计量对任意的均有相同的分布 则称T关于 是适应任意分布的 d free 例1设随机变量相互独立同分布 分布为参数已知 未知 取统计量其中则T关于 是适应任意分布的 定义1 1 2设随机变量是来自总体的样本 一切可能的组成分布类 如果统计量对任意的均有相同的极限分布 则称关于 是渐近适应任意分布的 例2设随机变量相互独立同分布 分布为分布类 取统计量则关于 是渐近适应任意分布的统计量 其极限分布为 第二节计数统计量定义1 2 1设是一个随机变量 对一给定的实数 定义随机变量 其中则称随机变量为按分段的计数统计量 定理1 2 1设随机变量相互独立 有分布 则是相互独立同分布的随机变量 其共同分布为参数为的两点分布 由定理1 2 1可知 任一由构成的统计量关于一切分位点为的分布类是适应任意分布的 这样的统计量称为计数统计量 最常用的一个计数统计量为例3符号检验设随机变量相互独立同分布 分布为 在连续 假设检验问题检验统计量可取 即为中取正号的个数 在原假设成立时 第三节秩统计量定义1 3 1设是来自连续分布的简单随机样本为其次序统计量 定义随机变量当唯一确定时 称样本观测值有秩 注意 由于为连续分布 因而不唯一确定的概率为0 定理1 3 1记 则集合则服从均匀分布 证明 因为所以 定理1 3 2的边缘分布也是均匀分布 特别地 一维边缘分布有二维边缘分布有 当时 有 定理1 3 3对秩统计量有 证明 由的边缘分布也是均匀分布 从而 有 Wilcoxon秩统计量有两个总体 一个总体的样本为 相互独立同分布 分布为连续函数 一个总体的样本为 相互独立同分布 分布为连续函数 问随机变量是否大于随机变量检验将一起排序 产生对应的秩Wilcoxon秩统计量为 定理1 3 4在下 Wilcoxon秩统计量的分布为其中表示从中取n个数其和恰为d的可能取法的个数 证明提示 定理1 3 5在下 Wilcoxon秩统计量的分布有 并且W的分布关于对称 作业 证明 Wilcoxon秩统计量和Mann Whitney统计量有下列关系其中证明 表示中Y大于X的个数 记的次序统计量为对应的秩统计量为 由于 所以 作业设随机变量相互独立同分布 分布连续 其对应的秩向量为 假定 令 证明 令证明 当时 是d free的 作业设和分别是来自分布和的样本 混合样本的秩向量为 第四节符号秩统计量定义1 4 1设随机变量相互独立同分布 分布连续 关于0点对称 计数统计量随机变量对应的秩向量记为其中称为的绝对秩 称为的符号秩 注意 定理1 4 1若是连续型随机变量 分布关于0点对称 则随机变量与计数统计量独立 证明对或1 显然有由于分布函数连续 所以对 由分布关于0点对称 得到证毕 定义1 4 2设随机变量相互独立同分布 分布连续 关于0点对称 其绝对秩向量计数统计量 则相互独立 有参数为0 5的两点分布 服从均匀分布 由定理1 4 2可知 只依赖于的统计量对于关于0点对称的连续分布族是适应任意分布的 定义1 4 3设随机变量相互独立同分布 分布连续 关于0点对称 其计数统计量 表示中取正值的个数 又当时 中取正值者对应的绝对秩记为 证明其他情况显然成立当 可以用符号秩统计量构造关于对称点问题的检验设随机变量相互独立同分布 分布连续 关于0点对称 假设检验令 的符号秩记为Wilcoxon符号秩检验统计量为否定域为 给定检验水平可查表 定理1 4 5设随机变量相互独立同分布 分布连续且关于0点对称 其对应的符号秩为 统计量 证明 并且的分布关于对称 证明 由服从参数为0 5的0 1分布有由和向量秩R有相同的均匀分布 有 分布关于0点对称时有从而 所以的分布关于对称 统计量也有一个计数统计量形式的表达式