概率论与数理统计复旦大学出版社南京财经大学朱玲妹老师的PPT课件

1 2中心极限定理 返回目录 n个相互独立随机变量和的分布近似于正态分布 并且n愈大 近似程度愈好 例一枚均匀的骰子连掷n次 点数之和 第k次出现的点数 k 1 2 n 概率论中 把在一定条件下大量独立随机变量和的分布以正态分布为极限的这一类定理 称为中心极限定理 中心极限定理是概率论中最重要的一类极限定理 定理四 独立同分布的中心极限定理 L vy Lindeberg 设随机变量序列X1 X2 Xn 独立同分布 近似服从标准正态分布 近似服从标准正态分布 定理五 李雅普诺夫定理 Liapunov 设随机变量序列X1 X2 Xn 相互独立 具有数学期望和方差 存在正数 当时 则的分布函数 定理五表明 无论随机变量服从什么分布 只要在满足定理的条件下 它们的和当n很大时 就近似服从正态分布 定理六 棣莫佛 拉普拉斯定理 证明 则X1 X2 Xn 独立同分布 由定理四 例1一加法器同时收到20个噪声电压设它们是相互独立的随机变量 都服从 0 10 上的均匀分布 记求的近似值 解 近似服从N 0 1 例2某保险公司经多年的统计资料表明 在索赔户中被盗户占20 在随机抽查的100家索赔户中 求被盗的户数不少于14户且不超过30户的概率 解 在100家索赔户中 被盗的户数为X 1o二项分布的极限分布 泊松分布 一般n较大 p较小 且np 10时 用泊松分布近似 正态分布 n很大 但p不是很小时 用正态分布近似较好 2o二项分布的正态近似有一项修正 例3每颗炮弹命中飞机的概率为0 01 求500发炮弹命中5发的概率 解 X命中的炮弹数 1 二项分布 2 泊松分布近似 3 正态分布近似 例4对一名学生而言 来参加家长会的家长人数是一个随机变量 设一名学生无家长 有1位家长 有2位家长来参加会议的概率分别为0 05 0 8 0 15 若学校共有400名学生 各学生参加会议的家长人数相互独立 且服从同一分布 求 1 参加会议的家长人数X超过450的概率 2 求有1位家长来参加会议的学生数不多于340的概率 解 1 设是第k名学生来参加会议的家长人数 2 设Y为有1位家长来参加会议的学生数 例5某车间有200台机车独立的工作 设每台机车开工的概率为0 6 开工时耗电1千瓦 问供电所要供应多少电才能以不小于99 9 的概率保证车间不会因供电不足而影响生产 解 设X为200台机车中工作着的台数 供电所要供应r千瓦的电力 供电所至少供应141千瓦电 由于供电不足而影响生产的概率小于0 001 思考题 电话交换台有10条外线 若干部分机 在一段时间内 每台分机使用外线的概率为10 问最多装多少台分机 才能以90 的把握保证分机使用外线时畅通 思考题答案 设 最多装n台分机 X 同时使用外线的分机数 以90 的把握保证分机使用外线时畅通 练习题 2 在人寿保险公司业务里有3000个同年龄的人参加保险 在一年里 参保者的死亡率是0 001 参保者每人每年交保险费10元 死亡时由保险公司付给2000元的丧葬费 求 1 保险公司一年中盈利不少于10000元的概率 2 保险公司亏本的概率 1 出口山羊的板皮 每张平均重量为2公斤 标准差为0 25公斤 装运时以紧压36张为一捆 求一捆重量超过75公斤的概率 4 抽样检验产品质量时 如发现次品多于10个 则拒绝接受这批产品 设某批产品的次品率为10 问 为保证接受该批产品的概率达到0 9 至少应抽取多少件产品 5 报名听心理学课的学生人数服从均值为100人的泊松分布 负责这门课的教授决定 如果报名人数超过120就分两个班 如果不超过120就集中在一个班讲授 问该教授将讲授两个班的概率 3 随机变量X1 X2 X100相互独立 且都服从参数为 1的泊松分布 计算概率 6 某图书城每天接待顾客10000人 设每位顾客的购买额 元 服从 100 1000 上的均匀分布 且顾客的购买额是相互独立的 试求图书城的日销售额 元 在平均销售额上下浮动不超过20000 元 的概率 7 某电子元件的使用寿命 单位 小时 服从指数分布 其平均使用寿命为20小时 当一个元件损坏后立刻更换一个新元件 假定一年工作2000小时 试求一年应该为此电子元件做多少元的预算 才可以有95 的把握保证够用 一个元件的进价是20元 8 机器包装味精 每袋味精的净重是随机变量 期望100克 标准差10克 一箱内装200袋味精 求一箱味精的净重大于20500克的概率 9 在加法运算时 对每个加数都四舍五入取到百分位 其中各加数的舍入误差认为服从上的均匀分布 且相互独立的随机变量 现有100个加数相加 试以99 7 的概率断定其误差所在的范围 10 某车间供电的最大功率是2400千瓦 每台车床开动时间是总工作时间的四分之三 每台车床的功率是15千瓦 试求该车间可安装多少台车床 使供电不足的概率不超过0 05 12 从美国到货一批玉米 每包平均重量80公斤 标准差4公斤 现从中任抽300包 求这300包每包平均重量短秤半公斤以上的概率 13 有一批建筑房屋用的木柱 其中80 的长度不少于3米 现从这批木柱中随机抽取100根 问其中至多有30根短于3米的概率是多少 11 设某人每次打电话的时间 分钟 服从 1的指数分布 试求在800人次电话中有3次或3次以上超过6分钟的概率 14 一生产线生产的产品成箱包装 每箱的重量是随机的 假设每箱平均重50千克 标准差为5千克 现用最大载重量为5吨的汽车承运 1 若每车装100箱 总重在4950到5050之间的概率是多少 2 每辆车最多可以装多少箱 才能保证不超载的概率大于0 977 练习题答案 1 0 0228 2 1 0 96 2 0 0418 3 0 9772 4 147件 5 解 设X为报名听心理学课的人数 设Xi为第i个报名听心理学课的学生 8 Xi 箱中第i袋味精的净重 一箱味精的净重 9 Xi 第i个加数的舍入误差 X 第100个加数的舍入误差之和 设误差的范围为 误差的范围为 0 086 0 086 X为同时工作的车床的台