正方体“异面点”截面的作法问题

正方体“异面点”截面的作法问题高二十班 史威、冯心怡【引言】： 用平面去截一个几何体,所截出的面,就叫截面。可以想象,类似于用刀去切(截)几何体,把几何体分成两部分,刀在几何体上留下的痕迹就是截面的形状,截面是一个平面图形。在医学诊断上,有一种与“截几何体”类似的仪器和方法,它是通过X射线扫过人体的患病器官,然后通过计算机处理相关测量数据,重建人体断层图象,并作出诊断,这就是是“CT影像诊断技术”在医学史上具有划时代意义。可见,数学知识对于生活何等重要。在立体几何中，把空间问题转化为平面问题，历来是立体几何的一个基本问题.而已知不共线三点，作几何体的截面，既是转化为平面问题的一个方法，也是深化理解空间点线面关系的一个很好的途径.本文通过举例引申出过正方体异面的点（以下简称为“异面点”）作截面的几种常见方法.【正文】： 用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线此平面与几何体的棱的交集(交点)叫做截点而对于“异面点”做图方法大致可分为两类：平面作图法和空间向量法。下面笔者将对于这两类方法进行介绍。 一、平面作图法： 1方法(交线法)该作图关键在于确定截点，有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连结成截线，从而求得截面 2作截线与截点的主要根据有： (1)确定平面的条件 (2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线 (3)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内 (4)如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 (5)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行3.作图的的主要思想方法有： (1)若已知两点在同一平面内，只要连接这两点，就可以得到截面与多面体的一个面的截线。 (2)若面上只有一个已知点，应设法在同一平面上再找出第二确定的点。 (3)若两个已知点分别在相邻的面上，应找出这两个平面的交线与截面的交点。 (4)若两平行平面中一个平面与截面有交线，另一个面上只有一个已知点，则按平行平面与第三平面相交，那么它们的交线互相平行的性质，可得截面与平面的交线。 (5)若有一点在面上而不在棱上，则可通过作辅助平面转化为棱上的点的问题；若已知点在体内，则可通过辅助平面使它转化为面上的点，再转化为棱上的点的问题来解决。4. 具体题目分析： 已知：P、Q、R三点分别在直四棱柱AC1的棱CC1、A1D1和AB上，试画出过P、Q、R三点的截面方法一：(1)先过R、P两点作辅助平面。过点R作R1RBB1交A1B1于R1，则面CRR1C1为所作的辅助平面。(2)在面CRR1C1内延长R1C1，交RP的延长线于M。(3)在面A1B1C1D1内，连接MQ，交C1D1于点S，延长MQ交B1A1的延长线于点T。(4)连接TR，交AA1于点N，延长TR交B1B于点K，再连接KP交BC于点L。(5)连接RL、PS、QN。则多边形QNRLPS为所求。方法二：(1) 先过Q作QEAA1,联结RE、QR(2) 联结AC交RE于O点(3) 过O作FOQE，交QR于F点(4) 联结PF并延长，交AA1于G(5) 联结GQ并延长，交DD1于J(6) 联结JP，交C1D1于H，延长线交DC延长线于K(7) 联结KR，交BC于I(8) 联结RGQHPC则多边形RGQHPC为所求方法三：(1) 过Q作辅助平面QGHL平行于ADD1A1(2) 联结RC1，交GH于K，联结RP。(3) 过K作KICC1交RP于I，这点便是RP与辅助平面的交点。(4) 联结QI并延长交平面CDD1C1于M，过F、E分别作QI的平行线，交BC、AA1于E、F(5) 联结PM交C1D1于J(6) 联结JREQFP则多边形JREQFP为所求2、 空间向量法： 接下来让我们从解析几何的角度来思考：如图的M、N、P三点所构成的平面在正六面体ABCD-A1B1C1D1上的截面是怎么样的？首先，以点A为坐标原点，可得。设：先看该平面在面ABCD、CD上的截面如右图，作平面MQPS/面A1B1C1D1设直线NP与平面MQPS交于点H且面MQPS上所有点在z轴坐标均为z2又过点P作PK/HM交CD于K，联结MK则又则MK、PK即为两条截线。再看面NMP在平面、上的截面。如右图，过点N作平面NJGI平行于平面。联结MP，设点E为直线MP与平面NJGI的交点。且平面NJGI上的所有点的x轴左边为x3作PF/NE联结NF、PF所得即面NMP在平面、上的截线。最后，我们来看面NMP在平面、上的截线。作MT/NE得到NT、MT就是面NMP在平面、上的截线。综上，如图就是平面MNP在正六面体上的截线【总结】： 截面问题是立体几何中的典型问题之一 本文就对于给定三个