可降阶的高阶微分方程

1 可降阶高阶微分方程 第七节 一 型的微分方程 二 型的微分方程 三 型的微分方程 缺y 缺x 四 恰当导数方程 2 6 8 1 同样 依次通过n次积分 型的微分方程 可得含n个 任意常数的通解 3 例1 解 4 41页5 运动 在 随着时间的增大 直到t T时 如果开始时 解 据题意有 t 0时 设力F 减小 求质点的运动规律 初速度为0 且 对方程两边积分 此力F均匀地 质量为 沿ox轴作直线 受力F的作用 F F t 是时间t的函数 F 0 质点在原点 得 m的质点 5 利用初始条件 于是 两边再积分得 再利用 故所求质点运动规律为 6 型的微分方程 设 原方程化为 设其通解为 则得 积分得 6 8 2 解法如下 则 原方程的通解 缺y 一阶方程 7 例3 求解 解 代入方程得 分离变量 积分得 利用 于是有 两端再积分得 利用 因此所求特解为 不含y 设 则 8 6 8 3 型的微分方程 令 故方程化为 设其通解为 即得 分离变量 解法如下 则 得原方程的通解 缺x 积分 9 例4 解初值问题 解 令 代入方程得 积分得 由 积分得 故所求特解为 则 10 例6 49求解 代入方程得 两端积分得 故所求通解为 解 此方程不显含x 分离变量得 分离变量得 两端积分 令 则 11 四 恰当导数方程 若 则称 为 恰当导数方程 可以化为 一阶微分方程 例6 49求解 解 两边乘以 得 即 即 故所求通解为 12 为曲边的曲边梯形面积 上述两直线 例6 二阶可导 上任一点P x y 切线 区间 0 x 上以 解 于是 在点P x y 处 记为 设函数 且 过曲线 作该曲线的 及x轴的垂线 与x轴围成 的三角形面积 记为 且 利用 得 两边对x求导 定解条件为 求函数 的切线倾角为 13 再利用y 0 1得 方程化为 利用定解条件得 得 故所求曲线方程为 不显含x 定解条件为 则 14 M 地球质量 例7 静止开始落向地面 不计空气阻力 解 如图所示选取坐标系 则有定解问题 代入方程得 受地球引力 一个离地面 求它落到地面时 的速度 设 则 积分得 根据初始条件 得到 注意 号 很高的物体 的作用由 和所需时间 m 物体质量 15 两端积分 令 由于y R时 由原方程可得 因此落到地面 y R 时 由 的速度和所需时间分别为 16 例8 设圆柱形浮筒直径d 0 5米 浮筒在水中上下振动的 周期为2秒 求浮筒的质量m 解 设浮筒平衡位置为坐标原点 当浮筒运动到任意的x处时 浮力 由 得 令 则 不显含t 垂直放在水中 水的比重 1 令 则 代入 分离变量 两端积分 x轴铅直向下 17 由 得 即 分离变量 两端积分 由 得 特解为 注意 周期 已知周期T 2 代入 得到 18 速度 大小为2v 解 两边对x求导 得 设物体A 例10 的速度沿y轴正向运动 物体B从 1 0 出发 试建立物体B的运动轨迹 应满足的微分方程及初始条件 以大小为常数v 设t时刻B位于 x y 如图所示 从点 0 1 出发 则有 方向始终指向A 代入 式得 19 其初始条件为 不显含y的二阶微分方程 20 内容小结 可降阶微分方程的解法 降阶法 逐次积分 令 令 原方程变为 降一阶 原方程变为 降一阶 则 则 21 作业 41页习题6 8 1 1 3 作业本写上班级姓名 2 3 1 3 22 例4 绳索仅受 重力作用而下垂 解 考察最低点A到 密度 弧段重力大小 按静力平衡条件 设有一均匀 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 任意点M x y A点受水平张力 M点受切向张力 两式相