-微分方程的基本概念ppt课件

5 1微分方程的基本概念 Basicconceptofdifferentialequations 三 微分方程的解 一 问题的提出 二 微分方程的定义 微 积 分 电 子 教 案 引例一曲线通过点 1 2 且在该曲线上的任一点M x y 处的切线的斜率为2x 求该曲线的方程 解 设所求曲线方程为 y f x 两边对x求积分 即y x2 C 将x 1 y 2代入 得 2 1 C 即C 1 故所求曲线为 y x2 1 一 问题的提出 由题意得 定义1含有未知函数的导数 或微分 的方程 2 1 微分方程 二 微分方程的定义 定义1含有未知函数的导数 或微分 的方程 如 2 1 微分方程 二 微分方程的定义 未知函数是多元函数 即含有偏导数的微分方程 称为偏微分方程 未知函数是一元函数的微分方程常微分方程 定义2微分方程中所出现的未知函数导数的最高阶数 称为微分方程的阶 二阶微分方程 n阶微分方程的一般形式为 F x y y y y n 0 一阶微分方程 二 微分方程的定义 2 2 微分方程的阶 二 微分方程的定义 2 3 微分方程的分类 分类1 常微分方程 偏微分方程 一阶微分方程 高阶 n 微分方程 分类2 分类3 线性 未知函数及其导数都是一次 非线性微分方程 分类4 单个微分方程与微分方程组 定义3若将某函数及其导数代入微分方程 可使方程成为恒等式 则称此函数为微分方程的解 三 微分方程的解 3 1 微分方程的解 三 微分方程的解 例1验证下列函数都是微分方程y 2y y 0的解 解 代入原方程 是原方程的解 代入原方程 是原方程的解 三 微分方程的解 例1验证下列函数都是微分方程y 2y y 0的解 解 代入原方程 是原方程的解 解的线性组合也是解 y 0也是解 均为解 有何区别 通解 微分方程的解中含有任意常数 这些常数相互独立 即不能合并了 且个数与微分方程的阶数相同 这样的解称为微分方程的通解 3 2 通解与特解 三 微分方程的解 特解 确定了通解中任意常数的解 例1中 通解 特解 既非通解 也非特解 是个解 奇解 但不是特解 不研究 通解 通用的解 含有任意常数 特解 特殊的解 不含有任意常数 通解 微分方程的解中含有任意常数 这些常数相互独立 即不能合并了 且个数与微分方程的阶数相同 这样的解称为微分方程的通解 3 2 通解与特解 三 微分方程的解 特解 确定了通解中任意常数的解 特解可以从通解中通过某个条件求出常数得到特解 称为定解条件 也称为初始条件 一般地 n阶微分方程就有n个定解条件 三 微分方程的解 求特解步骤 先求通解 代入初始条件 确定通解中任意常数的值 可得特解 微分方程 微分方程的通解 定解条件 如引例 求解得 微分方程的特解 三 微分方程的解 解的图像 微分方程的积分曲线 通解的图像 积分曲线族 3 3 微分方程解的几何意义 过定点的积分曲线 一阶 二阶 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线 初值问题 求微分方程满足初始条件的特解的问题 解 例3验证 函数是微分方程的解 并求满足初始条件的特解 三 微分方程的解 所求特解为 练习 为微分方程的特解 三 微分方程的解 函数是微分方程的解吗 如是解 请问是什么解 5 2一阶微分方程 Basicconceptofdifferentialequations 三 齐次方程 一 一阶微分方程的形式 四 一阶线性微分方程 微 积 分 电 子 教 案 二 可分离变量的微分方程 一般形式 F x y y 0 正规型 微分型 f x y dx g x y dy 0 如 下面只讨论一阶微分方程中最常见的几种类型及解法 包括 可分离变量的微分方程 齐次微分方程 线性齐次微分方程 线性非齐次微分方程 一 一阶微分方程的形式 y f x y 形式 即变量x的函数和微分与变量y的函数和微分已分离在等式两边 或已分离开来 解法 直接积分 例1 求通解 解 两边积分 故原方程的通解为 2 1 已分离变量的微分方程 二 可分离变量的微分方程 例2求通解 解 两边积分得 二 可分离变量的微分方程 故原方程的通解为 结论1 通解既可用显函数表示 也可用隐函数表示 形式 二 可分离变量的微分方程 2 2 可分离变量的微分方程 解法 先分离变量 再两边积分即可 或 例3解微分方程 解 先分离变量 二 可分离变量的微分方程 再两边积分 故原方程的通解为 二 可分离变量的微分方程 若积分后出现对数 则可将任意常数写成lnC的形式 以利化简 例3解题过程可简化为 先分离变量 再两边积分 解 二 可分离变量的微分方程 例4求方程 满足初始条件y 1 2的特解 分离变量 积分得 故通解为 将x 1 y 2代入通解 故所求特解为 得 C 10 例5已知某商品的需求量Q对价格p的弹性为ep 0 02p 且该商品最大需求量为240 求需求函数Q Q p 解 依题意 得 二 可分离变量的微分方程 整理得 积分得 将p 0 Q 240代入 得 C 240 故求需求函数为 例6设f x 在 连续 且满足 求f x 注 积分方程求导后化为微分方程 注意隐条件 二 可分离变量的微分方程 解 原方程对x求导 即 分离变量得 两端积分得 由原方程可知 f 0 0代入通解C 2 故 解 f tx ty 50 tx ty 2 50t3xy2 t3f x y 故 是齐次函数 且是3次齐次函数 故 是齐次函数 且是0次齐次函数 三 齐次方程 3 1 齐次方程的引入 3 2 齐次方程及其解法 标准形式 常见形式 如 三 齐次方程 化为标准形式 定义 微分方程中 若为0次齐次函数 则称该方程为齐次微分方程 简称为齐次方程 关于y的微分方程 代入原方程 得 关于u的微分方程 分