2019_2020学年高中数学第2章平面解析几何初步2.1.4两条直线的交点讲义苏教版必修2.docx

2.1.4两条直线的交点学 习 目 标核 心 素 养1了解方程组的解的个数与两直线平行、相交或重合的对应关系(重点、难点)2会用解方程组的方法求两条相交直线交点的坐标(重点)3会利用直线系方程解决相关问题(难点)通过学习本节内容来提升学生的数学运算和逻辑推理数学核心素养.1二元一次方程组解的个数与两直线交点个数的关系方程组的解一组无数组无解直线l1，l2的公共点个数一个无数个零个直线l1，l2的位置关系相交重合平行2.直线系方程(1)平行于直线AxByC0的直线：AxBym0(mC)(2)垂直于直线AxByC0的直线：BxAym0(m为参数)(3)过直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20的交点的直线：A1xB1yC1(A2xB2yC2)0.(注意：该直线不包括直线l2)1.思考辨析(1)任意一条直线都可以用一个二元一次方程来表示()(2)直线上点的坐标都是直线所对应的二元一次方程的解，反之，以二元一次方程的解为坐标的点都在直线上()(3)直线系方程A1xB1yC1(A2xB2yC2)0表示经过直线A1xB1yC10和直线A2xB2yC20交点的所有直线()(4)直线A1xB1yC10与直线A2xB2yC20有交点的等价条件是A1B2A2B10.()答案(1)(2)(3)(4)2直线x2y10与直线xy50的交点坐标为_(9，4)联立方程组解得所以交点坐标为(9，4)3已知直线3x5ym0与直线xy10交点在x轴上，则m_3直线xy10与x轴的交点为(1，0)，则(1，0)在直线3x5ym0上，3(1)50m0，m3.4过点(1，1)与直线2xy4平行的直线方程为_2xy30设所求直线方程为2xym，将点(1，1)代入方程得m3，所求直线方程为2xy30.两直线位置关系的判定【例1】判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标：(1)l1：2xy30，l2：x2y10；(2)l1：xy20，l2：2x2y30；(3)l1：2x3y50，l2：4x6y100.思路探究：根据它们组成的方程组的解的个数或方程的系数特征进行判断解(1)由方程组得直线l1与l2相交，交点坐标为(1，1)(2)解方程组2得：10矛盾，方程组无解两直线无公共点，l1l2.(3)解方程组2得4x6y100，和可以化为同一方程，即l1与l2是同一直线，l1与l2重合判定直线的位置关系有以下两种方法(1)利用方程组解的个数判断(2)利用直线平行、重合、垂直和相交的条件判断，两直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20.当A1B2A2B10时，两直线相交；当A1B2A2B10，且B1C2B2C10(或A1C2A2C10)时，两直线重合；当A1B2A2B10，且B1C2B2C10(或A1C2A2C10)时，两直线平行；当A1A2B1B20时，两直线垂直1下列各组直线中，其中为相交直线的序号为_yx2和y1；xy10和yx5；xmy10(m2)和x2y10；2x3y10和4x6y10.显然相交；平行；直线xmy10过点(1，0)，直线x2y10过点(1，0)，故两直线相交；两直线平行2两条直线2x3ym0和xmy120的交点在x轴上，那么m的值是_24在2x3ym0中，令y0，得x；在xmy120中，令y0，得x12.由题意知12，故m24.直线交点的应用【例2】当k为何值时，直线l1：ykx3k2与直线l2：x4y40的交点P在第一象限？思路探究：在相交的条件下，联立方程组求交点，根据条件列关于k的不等式组求解解当k时，l1与l2平行，不符合题意当k时，由得点P在第一象限，k1.已知两条直线交点的情况，确定直线方程中的参数的值或取值范围，方法是先求出交点坐标，再根据题意列出关于参数的方程或不等式，从而求出参数的值或取值范围3如图，以RtABC的两条直角边AB，BC向三角形外分别作正方形ABDE和正方形BCFG.连结EC，AF，两直线交于点M.求证：BMAC.证明以两条直角边所在直线为坐标轴，建立直角坐标系设正方形ABDE和正方形BCFG的边长分别为a，b，则A(0，a)，C(b，0)，B(0，0)，E(a，a)，F(b，b)直线AF的方程是，即(ab)xbyab0.直线EC的方程是，即ax(ab)yab0.解方程组得即M点的坐标为，故kBM，又kAC，所以kBMkAC1.因此BMAC.过两直线交点的直线系方程的应用探究问题1过原点(0，0)且过直线xy20与直线xy30的交点的直线方程怎样求？有几种方法？提示有两种方法，法一，先求直线xy20与直线xy30的交点，再利用两点式求出方程法二，设所求直线为xy2(xy3)0，将点(0，0)代入得320，所求直线为xy2(xy3)0，即5xy0.2过点M(2，0)，与直线x2yb0(b2)平行的直线怎样求？提示设所求直线为x2ym0，将点(2，0)代入方程，求出m的值即可，直线为x2y20.【例3】求经过两直线l1：x2y40和l2：xy20的交点P，且与直线l3：3x4y50垂直的直线l的方程思路探究：可先求交点坐标，再利用点斜式求直线方程；或利用过两直线交点的直线系方程求解解法一：解方程组得P(0，2)k，且ll3，kl.由斜截式可知l的方程为yx2，即4x3y60.法二：设直线l的方程为x2y4(xy2)0，即(1)x(2)y420.又ll3，3(1)(4)(2)0，解得11.直线l的方程为4x3y60.两条直线的交点坐标就是联立两直线方程所得方程组的解本题解法一采用常规方法，先通过方程组求出两直线交点，再根据垂直直线求出斜率，由点斜式求解；而解法二则采用了过直线A1xB1yC10与A2xB2yC20的交点的直线系方程：A1xB1yC1(A2xB2yC2)0，直接设出过两直线交点的方程，再根据垂直条件求出待定系数即可4求经过两条直线l1：2xy80和l2：x2y10的交点且与两坐标轴围成的三角形面积为的直线的方程解法一：由解得由题意可知所求的直线在x轴，y轴上的截距都存在且不为零，设所求的直线的方程为1.所以解得或所以所求的直线的方程为1或1，即xy10或4x9y60.法二：易知直线x2y10与坐标轴围成的三角形的面积S1，所以所求的直线的方程不可能是x2y10.故可设所求的直线的方程为(2xy8)(x2y1)0(为任意实数)，即(2)x(12)y(8)0.由题意得(2)(12)(8)0，令x0，得y；令y0，得x.所以所求直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为，所以(8)2|(12)(2)|.解得3或22.当3时，所求直线的方程为xy10；当22时，所求直线的方程为4x9y60.故所求直线的方程是xy10或4x9y60.1本节课的重点是了解方程组的解的个数与两直线平行、相交或重合的对应关系，会用解方程组的方法求两条相交直线交点的坐标难点是了解方程组的解的个数与两直线平行、相交或重合的对应关系2本节课要重点掌握的规律方法(1)掌握两条直线相交的判定方法，掌握过两条直线交点的直线方程的求法(2)经过两直线交点的直线系方程：与直线AxByC0平行的直线系方程为AxByC0(CC)；与直线AxByC0垂直的直线系方程为BxAyC0；过两直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程为1(A1xB1yC1)2(A2xB2yC2)0(1，2为参数)当11，20时，方程即为l1；当10，21时，方程即为l2.1直线l1：2xy7与l2：3x2y70的交点坐标为()A(3，1)B(3，1)C(6，2)D(4，1)B由解得交点为(3，1)2已知直线l：2xmy10与直线yx1相交，则m的取值范围是_(，2)(2，)若m0，两直线显然相交；若m0，则1，即m2.故m的取值范围为(，2)(2，)3过l1：3x5y100和l2：xy10的