概率统计习题选解(学生用)（上）3.doc

第一章 概率论的基本概念p251 写出下列随机试验的样本空间S:(1) 记录一个班一次数学考试的平均分数(设以百分制计分）。(2) 生产产品直到有个正品为止。记录生产产品的总件数。(3) 对某工厂生产的产品进行检验，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”。如连续查出两件次品就停止检查，或是检查出件产品就停止检查。记录检查的结果。(4) 在单位圆内任意取一点，记录它的坐标。解：(1) 以表示该班学生的总数，总成绩可能取的值为故试验的样本空 间为 :. (2) 设在生产第10件正品前共出了件不合格品，故样本空间为 。 (3) 可采用0表示查到一件次品，以1 表示查到一件正品。则样本空间为 。(4) 取一直角坐标系，单位圆的方程为，在其内的点的坐标满足。故样本空间（）设A、B、C是三个事件，且。求A、B、C至少有一个发生的概率。解：。又由。故。(2)已知求的概率。解：。（3） 设, 若A，B互不相容，求，若。解：若A，B互不相容，则。若。设A、B是两事件。（） 已知，验证：；证明：.（） 验证事件A和事件B恰有一个发生的概率为。证明：由于，故。片药片中有片是安慰剂。（） 从中任意取片，求其中至少有2片是安慰剂的概率；（） 从中每次取一片，作不放回抽样。求前3次都取到安慰剂的概率。解：（1）设知。则。（2）由于是不放回抽样，问题又不涉及次序，故相当于从中取3个，3个都是安慰剂这一事件。故。 某公司发出桶油漆，其中白油漆桶，黑油漆桶，红油漆桶。在搬运过程中所有标签都脱落了。交货人随意将这些油漆发给顾客。问一个订货为桶白油漆、桶黑油漆、桶红油漆的顾客，能按所订颜色如数得到订货的概率是多少。解：从17桶中任意取9桶的方法有，按要求的取法有故所求概率为。 从双不同的鞋子中任意取只，问这只中至少有两只能配成一双的概率是多少。解：任意取4只的方法有，配不成任何一对的取法有故所求概率为13一个俱乐部有名一年级学生，名二年级学生，名三年级学生，名四年级学生。（） 从中任意选名学生，求一、二、三、四年级学生各有一名的概率；（） 在其中任意选名学生，求一、二、三、四年级学生均包含在内的概率。解：（1）俱乐部有共有学生12名。从中任意取4名学生的取法有。每年级各有一名学生的取法有。故所求概率为。(2) 任意取5名学生的取法有。各年级学生都有学生的取法,即有一个年级取2名，其它各年级各取一名的取法。共有故所求概率为。14 （）已知：。求条件概率（2）已知，求解：（1）又。故所求概率为（2） 。又. 。从而求得：。15 掷两枚骰子，已知两枚骰子的点数和为，求其中有一枚骰子的点数为的概率。（用两种方法）解: 方法1：（按条件概率公式解）该试验的样本空间共有36个等可能的样本点。设两骰子点数和为7为事件，其中有6个样本点；两骰子中至少有一颗的点数为1为事件，其中有2个样本点。故方法2：（在缩减的样本空间计算）两骰子点数和为7为事件中含有6个样本点，在其中两骰子中至少有一颗的点数为1的样本点有2个。故17已知在10 件产品中有件次品。在其中任意取两次，每次取一件，作不放回抽样。求下列事件的概率：（） 两件都是正品；（） 两件都是次品；（） 一件正品、一件次品；（） 第二次取出的是次品。解：在（1），（2），（3）中问题都未考虑顺序，在（4）中要考虑顺序（1）两件都是正品。在不放回的条件下，任意取2件的取法（不考虑顺序）有，2件都是正品的取法有。故所求概率为。（2） 两件都是次品：2件都是次品的取法有。故所求概率为。（3） 一件正品、一件次品的取法有，故所求概率为（4） 二次取出的是次品：这种情况要考虑顺序。顺次取2件（不放回）的取法共有。第二次取出的是次品这一事件，包括第一次取正品第二次取次品和第一次取次品第二次也取次品两种情况。它共有种取法。故所求概率为这23 将两信息分别编码为A、B发送出去。接收站收到时A被误作B的概率为，而B被误作A的概率为。设信息、B传送的频繁程度为。若接收站收到的信息为A，问原发的信息为A的概率是多少。解：设发出编码A，B，分别记为事件。收到编码A，B，分别记为。则按已知有：24有两箱同类零件，第一箱装只其中有只一等品；第二箱装只，其中有只一等品。今从两箱中任意取一箱，然后从该箱中取零件两次，每次取一只，作不放回抽样。求：（）第一次取到的零件是一等品的概率；(2) 在第一次取到的零件是一等品的条件下第二次取到的也是一等品的概率。解：（1）设取到第。则（2）。故：.28.有两种花籽，发芽率分别为。从中各取一颗，设各花籽是否发芽相互独立。求：（） 这两颗花籽都能发芽的概率；（） 至少有一颗发芽的概率；（） 恰有一颗能发芽的概率。解：设第一颗、第二颗能发芽分别记为A，B。（1） 这两颗花籽都能发芽的概率为。（2） 至少有一颗发芽的概率为。（3） 恰有一颗能发芽的概率31设A，B的概率均大于零，分别说明以下的叙述哪个必然对，必然错，可能对。并说明理由。（） 若A与B互不相容，则它们相互独立；（）若A与B相互独立，则它们互不相容；（），且A，B互不相容；（4），且A，B相互独立。解：（1）必然错，因为：A与B互不相容，则，它们相互独立，则。相互矛盾。（） 必然错，因为若A与B相互独立，而互不相容则。相互矛盾。（） 必然错，因为若A，B互不相容，。这是不可能的。（） 可能对。当时，对，否则不对。34试分别求以下两个系统的可靠性：（） 设有个独立的工作的元件1、2、3、4，它们的可靠性分别为。将它们按题1.34图1（1）的方式连接（称为并串联系统）； 解：（1）以表示第个元件正常工作。表示系统正常工作。已知各元件是否正常工作相互独立，且。则。由加法公式及各元件工作的独立性，得.35如果一种危险情况C发生时，一电路闭合并发出警报。我们可以借助两个或多个开关并联以改善可靠性。在C发生时，这些开关均应闭合。且若至少一个开关闭合了，警报就会发出。如果两个这样的开关并联，它们每个具有的可靠性。（即在情况C发生时闭合的概率）问这时系统的可靠性（即电路闭合的概率）是多少。又如果需要一个可靠性至少为的系统，则至少需要多少只开关并联？设各开关闭合与否相互独立的。解：设表示第个开关正常工作，且。A表示系统正常正常工作。则。或：又设需要个这样的开关并联，则其可靠性为：。令，即令解得：36 三个人独立地去破译一个密码，已知各人能破译的概率分别为。问三人中至少有一人能将此密码破译的概率是多少？解：设三人中每人能破译的事件分别记为A，B，C。则至少有一人破译为事件又各人破译与否相互独立，故。或：。*第二章 随机变量及其分布(P55)2（）一袋中装有只球，编号为1、2、3、4、5。从袋中同时取只，以X表示取出的3只球中的最大号码。写出随机变量X的分布律；解：5个球中取3个的取法有。(1) 显然，X能取的值为3、4、5。事件X3，表示必取到3号，且另外2个球要从1、2号中取。其取法有。从而。同理，事件X4，表示必取到4号，且另外2个球要从1、2、3号中取，其取法有。从而。事件X5，表示必取到5号，且另外2个球要从1、2、3、4号中取，其取法有，从而。由此列表如下：3设在只同类型的零件中有只次品。在其中取三次，每次取一只，作不放回抽样。以X表示取出的次品的只数。（）求X的分布律； (2) 画出分布律的图形。解：（1）这是超几何分布概型。按公式有：。由此可列出下表：X0124进行重复独立试验，设每次成功的概率为，失败的概率为。（）将试验进行到出现一次成功为止，以X表示所需的试验次数，求X的分布律；（此时称X服从参数为的几何分布。）（）一篮球运动员的投篮命中命中率为。以X表示他首次投中时已经投篮的次数。写出X的分布律。并计算X取偶数的概率。解：（1）X至少为1，设表示第次试验成功。且它们相互独立。则。(3) 这是（1）的特例。这里。故有：又由于互不相容，12一电话总机每分钟接到呼唤的次数服从参数的泊松分布。求（）某一分钟内恰有次呼唤的概率.（） 某一分钟的呼唤次数大于的概率。解：（1）由X知：。.也可查表（教材P383）得。16 有一繁忙的汽车站，每天有大量的汽车通过。设一辆汽车在天的某一段时间内出事故的概率为。某天在该段时间内有1000辆汽车通过，问出事故的车辆数不小于的概率是多少？（利用泊松定理计算）解：本来是二项分布问题。由于故用可用泊松定理计算。这里。.19. 以X表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间（以分计）。X的分布函数是。求下述概率：(1) P至多分钟； (2) P至少分钟；(3) P分钟至分钟之间；解：（1）。（2）。（3）。20设随机变量X的分布函数为。（）求；(2) 求概率密度。解：（1）。(2) 由于在的连续点有故或 25. K在服从均匀分布。求有实根的概率。解：K的概率密度为。26设。（）求，;（）确定；（3）设解：已知当时(1) 故。（2）即有解得：。28 由某机器生产的螺栓的长度(cm)服从参数为的正态分布，规定长度在范围内为合格品。求一螺栓为不合格的概率。解：。33设随机变量X的分布律为X求的分布律。解：所能取的值为：0、1、4、9。计算并列表如下：, .Y014934 设随机变量X在区间（，）服从均匀分布。（）求的概率密度。解：。故按定理(P52) ， 即35 设。（）求的概率密度。解：这里，。故按定理(P52)：，或。*第三章 多维随机变量及其分布1. 在一箱子中装有12只开关，其中有两只次品，在其中取两次，每次取一只，考虑两种试验（1）放回抽样;（2）不放回抽样。我们定义随机变量X、Y如下：试分别就这两种情况写出X，Y的联合分布律。解（1）在放回抽样的情况：联合分布律为：， ，。 (2)不放回抽样的情况，联合分布律为：，。也可列表如下： 3设随机变量（X,Y）的概率密度为 (1) 确定常数k,(2) 求(3) 求(4) 求。解：（1)由，而即。（2） 。（3）.（4）.5. 设随机变量具有分布函数 求边缘分布函数。解：.即：，同理。6. 将一枚硬币掷三次，以X表示前两次中出现H的次数以Y表示三次中出现H的次数。求X，Y的联合分布律及（X，Y）的边缘分布律。解：样本空间包含等可能样本点8个。下面左表列出各样本点对应的X，Y的值，由此可得如右表所示的(X，Y)分布律及边缘分布律： 7. 设二维随机变量（X，Y）概率密度为求: 边缘概率密度。解：。而故：。故：8. 设二维随机变量（X，Y）概率密度为求边缘概率密度。解：.14. 设随机变量（X，Y）的概率密度为求条件概率密度。 解：右图中的区域G为的非零区域。或：故：。15. 设随机变量XU(0,1).当给定时，随机变量Y的条件概率密度为。求X和Y的联合概率密度。解：（1）已知：，又知。故：联合概率密度为。图3.15-1中的区域D为的仅在图3.15-1中所示的区域D中取非零区值。 其图形如右上图2。16. （1）问第一题中的随机变量X，Y是否相互独立？（2） 问第14题中的随机变量X，Y是否相互独立？解：（1）现将第一题中在放回抽样和不放回抽样的情况下的联合分布律转录，并顺便求出各边缘分布律“镶嵌”在联合分布律的边缘处，得下列两表： 即在放回抽样的情况，关于X的边缘分布律为：同理得关于Y的边缘分布律为：可以验证：;.故知：X，Y相互独立。在不放回抽样的情况,已知可以验证。即知X，Y不相互独立。(2)第(14)题中： 在区域，。故X，Y不是相互独立的。18.设X，Y是两个相互独立的随机变量，X在区间（0,1）服从均匀分布，Y的概率密度为。（1） 求X和Y的联合概率密度。（2） 设有含有有实根的概率。解：（1）因为XU(0,1),故知，。（2) 二次方程有实根，即要求。由于在条件之下，仅在下图中的区域G中有非零值， 故.22. 设X，Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为，求随机变量其ZXY的概率密度。解：利用公式。再研究被积函数的非零区域：。即。(参看下图)故即。23. 某种商品一周的需求量是一个随机变量其概率密度为，设各周的需求量是相互独立的。（1） 求两周需求量的概率密度。解：设第一周需求量为X，第二周需求量为Y。则两周的需求量为ZXY。X，Y