《固体物理-徐智谋》晶格振动和晶体的热力学

晶格振动和晶体的热学性质 凌福日lingfuri 在前些章节介绍晶体的微观结构中 为了便于显示出晶体微观结构的内禀特征 将组成晶体的各原子集团各用一个位置固定的几何点来代替构成Bravais格子或将组成晶体的各个原子各用一个位置固定的小球来代替构成晶格 这里显然忽略了原子的运动 实际上 物质是在不断运动的 量子力学告诉我们 即使达到绝对零度 仍具有零点能的振动 对一个双原子气体分子 其热运动包括平动 三个自由度 振动 一个自由度 转动 二个自由度 当气态分子凝固成固态物质时 平动及转动消失 振动成为热运动的本质 固体物质的振动强烈地影响着物质的比热 热导 热膨胀 光反射等物理性质 本章将介绍晶格振动是如何影响这些物理性质的 假定在晶体中有N个带正电荷Ze的离子实 相应地有N Z个价电子 那么该系统的哈密顿量为 哈密顿量中有5部分组成 前两项为电子的动能和电子之间的相互作用能 三 四项为离子实动能和相互作用能 第五项为电子与离子实之间的相互作用能 这是一个非常复杂多体问题 不做简化处理根本不可能求解 绝热近似 用一个均匀分布的负电荷产生的常量势场来描述电子对离子运动的影响 将电子的运动和离子的运动分开 基于将离子 电子划分为两个子系统而分别加以处理的理论简化方案 分别形成了晶格动力学和固体电子论两大分支 预处理 晶体中 各原子相互作用很强 很复杂 原子振动 彼此关联 极为复杂 1 原子幅度远小于原子间距微振动 用经典力学论研究 2 原子振动 不是简谐振动 极其复杂 研究变得极为困难 原子相对其平衡位置运动的偏离振幅一般很小 所以认为原子所受回复力与位置偏离呈线性关系是相当好的近似 这种近似成为本章讨论简谐晶格动力学的基础 进一步可将以相互作用彼此耦合着的原子运动用称之为格波的简谐平面波这一形式来处理 晶体中原子的经典运动表现为各原子围绕其晶格格点这一平衡位置做微小振动 因此晶体中原子的这种经典振动通常又被形象地称之为晶格振动 格波的研究 分两个步骤进行 先计算原子之间的相互作用力根据牛顿定律写出原子运动方程 最后求解方程 在本节中 首先将在简谐近似下建立起晶格振动的经典力学方程 然后 分别针对一维Bravais晶格 一维双原子复式晶格和三维复式晶格 通过利用晶体的平移对称性来求解晶格振动的经典力学方程 从而揭示出晶格振动的格波特征 4 1一维单原子链的振动 为了避免数学上的复杂和烦琐 先来研究一维的晶格振动 一维的晶格振动既容易求解又能较全面地反映晶格振动的基本特征 由此所获得的一维晶格振动的规律既有助于理解又可合理推断出三维晶格振动的规律 一维无限长原子链 个质量同为 的相同原子以 的间距周期性地排列在一条长为 的直线段上 如图所示 原子之间的作用力 第n个原子离开平衡位置的位移 第n个原子和第n 1个原子间的相对位移 第n个原子和第n 1个原子间的距离 平衡位置时 两个原子间的互作用势能 发生相对位移后 相互作用势能 平衡位置势能 常数 平衡位置a处 有 在位置a附近将势能函数用级数展开 势能展式中只保留到二阶项 振动很微弱 简谐近似 相邻原子间的作用力 恢复力常数 胡克定律 实验表明第个n原子所受其它原子施加的合力 作为初步研究的起点 只计入相邻原子之间的相互作用而可以忽略相距更远的原子之间的相互作用 这种近似可称为相邻作用近似 在相邻作用近似和简谐近似下 一维单原子晶格中相互作用极为复杂的原子简化为用原长为a 弹性系数为 的相同弹簧将质量同为 的N个小球逐个串结成直线段 原子的运动方程 只考虑相邻原子的作用 第n个原子受到的作用力 每一个原子运动方程类似 方程的数目和原子数相同 由Newton第二定律可得到在相邻作用近似和简谐近似下第n个原子经典振动的晶格振动方程 对于方程 上式的求解需要给出边界条件和初始条件 如两端固定的边界条件得出我们熟知的驻波 standingwave 解 对于不考虑边界的情况 则以行波解 travelingwave 来描述 晶格振动方程 由于简谐振动设方程组的试探解 naq 第n个原子振动相位因子 得到 应用三角公式 连续介质中的机械波 波数 格波方程 格波的意义 晶体中的格波 格波和连续介质波具有完全类似的形式 一个格波表示的是所有原子同时做频率为 的振动 波长 格波的波形图 简谐近似下 格波是简谐平面波 向上的箭头代表原子沿X轴向右振动 向下的箭头代表原子沿X轴向左振动 格波波长 格波波矢 格波相速度 不同原子间相位差 格波方程 相邻原子的相位差 色散概念来自于光学 不同频率的光在同一介质中的传播速度不同 于是产生色散 频率与波矢之间的关系叫色散关系 格波频率 波矢关系 色散关系 频率是波数的偶函数 色散关系 q空间的周期 频率极小值 频率极大值 只有频率在之间的格波才能在晶体中传播 其它频率的格波被强烈衰减 低通滤波器 光学透镜 色散关系 这里需要特别指出 1 频率 波矢关系中脚标n已被消去 意味着所有原子的运动方程都有相同的频率 波矢关系2 意味着格波解代表着一种简正模式的格波 格波 长波极限况 当 格波的色散关系与连续介质中弹性波的一致 振动不再是独立的 而是相互关联的 结果就是形成准弹性波 即振动以波的形式传播 长波极限下 短波极限下 相邻两个原子振动相位差 晶格可看作是连续介质 相邻原子的振动相位相反 波矢的取值的取值范围 相邻原子相位差 原子的振动状态相同 格波1的波矢 相邻原子相位差 例子 格波 格波2的波矢 相邻原子的位相差 两种波矢q1和q2的格波中 原子的振动完全相同 说明这是周期函数 因此对波矢的取值可限制在第一布里渊区 相邻原子的相位差取值 由此可知 波矢q1的格波与q2的格波是等价的 为了使波矢能够一一对应地描述某一对应的格波 必须把波矢限在一定的范围内 使它既能概括所有的格波 同时又没有相差2n 的波矢的存在 只研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题其它区域不能提供新的物理内容 波矢的取值 第一布里渊区 晶格振动方程 线性差分方程组 一般情况下其求解极为困难 1 方便求解原子的运动方程 在一维原子链两端的两个原子运动只有一个相邻原子 这样其运动方程与其他内部原子截然不同 这就给整个联立方程组带来很大的困难 2 与实验吻合的比较好 边界的原子和内部的原子一样无时无刻不在运动 因此实际上无论什么边界条件都与实验不符 但为了求解 必须有一个边界条件 波恩 卡门周期性边界条件是目前一个比较好的边界条件 引入波恩 卡门条件的理由 3 选取Born VonKarman边界条件 还可以抵消有限理想晶体的边界面对其平移对称性的破坏 从而使有限理想晶体显露出源于其微观结构周期性的内在禀性 平移对称性 玻恩 卡门 Born Karman 周期性边界条件 一维单原子晶格看作无限长 所有原子是等价的 每个原子的振动形式都一样 实际的晶体为有限 形成的链不是无穷长 链两头的原子不能用中间原子的运动方程来描述 N个原子头尾相接形成环链 保持所有原子等价特点 处理问题时考虑到环链的循环性 N很大 原子运动近似为直线运动 设第n个原子的位移 再增加N个原子之后第N n个原子的位移 则有 要求 h为整数 波矢的取值范围 h N个整数值 波矢q 取N个不同的分立值 第一布里渊区包含N个状态 每个波矢在第一布里渊区占的线度 第一布里渊区的线度 第一布里渊区状态数 波矢 问题 利用波动学解释为什么q a 7a是沿负x方向传播而q a 7a是沿正x方向传播 上节总结 一维无限长原子链 个质量同为 的相同原子以 的间距周期性地排列在一条长为 的直线段上 如图所示 相邻原子间的作用力 恢复力常数 胡克定律 原子的运动方程 只考虑相邻原子的作用 第n个原子受到的作用力 由Newton第二定律可得到在相邻作用近似和简谐近似下第n个原子经典振动的晶格振动方程 晶格振动方程 由于简谐振动设方程组的解 naq 第n个原子振动相位因子 得到 应用三角公式 则有 要求 波矢的取值范围 利用波恩卡门条件 定态薛定谔方程Hn n En n该波函数 n具备正交性和完备性 因此可以作为坐标系 即定义一个希尔伯特空间 即任何一个波函数都可以在这个空间展开 也称为基函数 0满足上述要求 因此可作为基函数 由于周期性的边界条件 波矢q取分立的不同值 所以晶格中的每一个原子的振动是一些独立振动模式的叠加 4 2一维双原子链的振动 实际应用的晶体材料大多是复式晶格 由于原子的多样性或原子之间相互作用的多样性必然会导致晶体中原子振动的多样性 因此这种多样性应该会在晶格振动中表现出来 从而使得复式晶格振动的规律和特征与Bravais晶格存在重大差别 所以 有必要进一步研究复式晶格中的晶格振动 以便揭示出晶格振动的普遍规律和特征 下面 仍以一维为例 来进一步研究最简单的双原子复式晶格的振动 一维复式格子的情形 一维无限长链 系统有N个原胞 原胞包含两种原子m和M M m 构成一维复式格子M原子位于2n 1 2n 1 2n 3 m原子位于2n 2n 2 2n 4 同种原子间的距离2a 晶格常数 由于晶格中有N个原胞 有2N个独立的方程 第2n 1个M原子的方程 第2n个m原子的方程 运用Newton第二定律 可得在相邻作用近似和简谐近似下一维双原子复式晶格的晶格振动方程 作为初步研究的起点 采用相邻作用近似和简谐近似 简谐波是最简单而又最基本的波动 因此格波具有以下形式的解 方程解的形式 由于质量的不同 两种原子振动的振幅A和B一般来说是不同的 若A B有非零的解 则系数行列式为零 第2n 1个M原子 第2n个m原子 方程的解 上式说明 在一维复式晶格中存在两种独立的格波 即 上式表明 相应于一维双原子复式晶格中两种不同的原子和原子之间相互作用的两种不同情况 晶体中的原子振动呈现出两种不同的色散关系 光学波 声学波 两种格波的振幅 现在考察各支格波原胞中的两个原子的位移有什么特性 A为m原子的晶格振动振幅 B为M原子的晶格振动振幅 两种格波中m和M原子振动振幅之比 光学波 声学波 较轻的m原子静止不动 相邻较重的原子振动的相位相反 时m和M原子振动的振幅 声学波 光学波 较重的M原子静止不动 相邻较轻的原子振动的相位相反 长波极限 声学波 声学波的色散关系与一维布喇菲格子形式相同 长声学波中相邻原子的振动 原胞中的两个原子振动的振幅相同 振动方向一致 代表原胞质心的振动 光学波 长波极限 长光学波同种原子振动相位一致 相邻原子振动相反 原胞质心保持不变的振动 原胞中原子之间相对运动 两种格波中m和M原子振动振幅之比 长光学波与电磁波的作用 在长波极限下 对于典型的 和 值 对应于远红外的光波 远红外光波激发离子晶体 可引起晶体中长光学波的共振吸收 光波的频率 波矢远远小于一般格波的波矢 只有的长光学波可以与远红外的光波发生共振吸收 将可以与光波作用的长光学波声子称为电磁声子 相邻原胞相位差 M和m原子方程 q的取值 波矢q的值 第一布里渊区布里渊区大小 周期性边界条件 h为整数 每个波矢在第一布里渊区占的线度 第一布里渊区允许的q值的数目 晶体中的原胞数目 对应一个q有两支格波 一支声学波和一支光学波 总的格波数目为2N 原子的数目 2N q的取值 色散关系的特点 短波极限 两种格波的频率 因为M m 不存在格波 频率间隙 一维双原子晶格叫做带通滤波器 例2 一维无限长原子链 原子质量为m和M 且m M 靠的较近的两个原子构成一个分子 设一个分子内两原子平衡位置的距离为b 恢复力系数为 1 1 分子间两原子间的恢复力系数为 2 5 晶格常量为a 如图所示 求色散关系 a 解 只考虑最近邻原子间的相互作用 将试探解代入方程得 据玻恩 卡门周期性边界条件 可以确定波矢q的取值 0 光学支格波 A 声学支格波 q可取N个值 4 3简正坐标和格波的量子论 晶格格波 晶格振动 前面讨论的晶格格波 原子振动 只考虑最近邻原子之间的相互作用 把N个原子的振动连起来 行进的格波 偏离平衡位置的位移矢量 原子的位置 第n个原子的平衡位置 3个方向上的分量 N个原子的位移矢量 体系的势能函数在平衡位置按泰勒级数展开 取 平衡位置 不计高阶项 系统的势能函数 系统的哈密顿量 系统的势能函数 系统的动能函数 含有坐标的交叉项 即 整个晶体的振动un的更普遍的形式是所有格波运动的叠加 由N个原子构成的晶体中 原子的振动一般是3N个简正振动模式的叠加 这里 就是格波坐标 N是一维晶格的原胞总数 依照周期性边界条件 因此格波的坐标也有N个 时间t进行求导 对 将上式代入系统的动能和势能 最后得到系统的总能量 由于上式中的格波坐标是复数 现用两个实数变量代替它们 由此求出 经过这样的变换 系统的总能量写成 这是N个简谐振子的能量之和 实数格波坐标xp相当于谐振子的坐标 动量Pp是xp的共轭动量 拉格朗日函数 正则动量 从上述可知它们满足经典力学哈密顿正则方程 因此xp既是谐振子坐标 又是正则坐标 因而称之为简正坐标 正则方程 哈密顿方程 只考察某一个振动模 系统能量本征值计算 正则动量算符 谐振子方程 能量本征值 本征态函数 厄密多项式 能量最低的六个束缚本征态的波函数表征 n 0到7 系统能量本征值 系统本征态函数 N个原子组成的晶体 系统薛定谔方程 换句话说 它的实质是代表以波矢为q 频率为wq的格波模式的集体振动状态 格波模式也称简正模 结论 振动模 简正坐标代表所有原子共同参与的一个振动 简正振动 所有原子参与的振动 振动频率相同 上节总结 在一维复式晶格中存在两种独立的格波 即 光学波 声学波 两种格波中m和M原子振动振幅之比 第一布里渊区允许的q值的数目 晶体中的原胞数目 对应一个q有两支格波 一支声学波和一支光学波 总的格波数目为2N 原子的数目 2N q的取值 晶格格波 晶格振动 利用独立简谐振子描述格波的独立模式 这就是声子概念的由来 声子就是晶格振动中的简谐振子的能量量子 拉格朗日函数 正则动量 从上述可知它们满足经典力学哈密顿正则方程 因此xp既是谐振子坐标 又是正则坐标 因而称之为简正坐标 正则方程 哈密顿方程 能量本征值 本征态函数 厄密多项式 系统能量本征值 系统本征态函数 N个原子组成的晶体 系统薛定谔方程 4 4三维晶格的振动模 三维晶格的振动 三维复式格子 各原子偏离格点的位移 晶体的原胞数目 原子的质量 第l个原胞的位置 原胞中各原子的位置 一个原胞中有n个原子 第k个原子运动方程 原子在三个方向上的位移分量 一个原胞中有3n个类似的方程 原子位移方程的解 将方程解代回3n个运动方程 3n个线性齐次方程 系数行列式为零条件 得到3n个 3n个线性齐次方程 长波极限 3个 趋于一致 三个频率对应的格波描述不同原胞之间的相对运动 3支声学波 3n 3支长波极限的格波描述一个原胞中各原子间的相对运动 3n 3支光学波 结论 晶体中一个原胞中有n个原子组成有3支声学波和3n 3支光学波 波矢 波矢空间的3个基矢 三维晶格中的波矢 倒格子基矢 3个系数 采用波恩 卡曼边界条件 波矢 波矢空间一个点占据的体积 倒格子原胞体积 状态密度 波矢的取值 h1h2h3 原子振动波函数 波矢改变一个倒格矢 不同原胞之间相位联系 原子振动状态一样 k的取值限制在一个倒格子原胞中 第一布里渊区 个取值 对应于一个波矢q3支声学波和3n 3支光学波 总的格波数目 晶体中原子的坐标数目 晶格振动总的能量 晶格振动能量量子 声子 Phonon 声子谱的中子散射实验测定 确定晶格振动谱的实验方法 晶格振动的频率和波矢间的关系 晶格振动的振动谱 晶格振动的振动谱测定方法 中子非弹性散射 光子与晶格的非弹性散射 X射线散射 布里渊散射和拉曼散射 1中子非弹性散射 入射晶体时中子的动量和能量 出射晶体后中子的动量和能量 能量守恒 能量守恒 动量守恒 倒格子矢量 声子的准动量 中子的能量 0 02 0 04eV 声子的能量 10 2eV 测得各个方位上入射中子和散射中子的能量差 确定声子的频率 从反应堆出来的慢中子的能量与声子的能量接近 测定中子散射前后能量变化 直接给出声子能量的信息 根据入射中子和散射中子方向的几何关系 确定声子的波矢 得到声子的振动谱 2光子与晶格的非弹性散射 入射光子的频率和波矢 散射光子 作用过程满足 能量守恒 动量守恒 入射光子受到声子散射 变成散射光子 与此同时在晶格中放出 或者吸收一个声子 固定入射光的频率和入射方向 测量不同方向的散射光的频率 可以得到声子的振动谱 入射光子受到声子散射 在晶格中放出一个声子或者吸收一个声子 1 光子与长声学波声子相互作用 光子的布里渊散射 长声学波声子 光子的频率 如果光子波矢与声子波矢大小近似相等 可见光光子的波矢 105cm 1 光子被长声学波声子散射 人射光子与散射光子的波矢大小近似相等 长声学波声子的波矢近似地写成 不同角度方向测得散射光子的频率 得到声子频率 声子的波矢 声子振动谱 散射光和入射光的频率位移 布里渊散射 2 光子与光学波声子的相互作用 光子的拉曼散射 能量守恒 动量守恒 光子的拉曼散射限于光子与长光学波声子的相互作用 可见光或红外光波矢很小要求声子的波矢必须很小 散射光和入射光频率位移 3X光非弹性散射 X光光子具有更高的频率 波矢可以很大 可以用来研究声子的振动谱 X射线的能量 10 4eV远远大于声子能量 10 2eV 在实验技术上很难精确地直接测量X光在散射前后的能量差 因此确定声子的能量是很困难的 4 5离子晶体的光频模与电磁波耦合 极化 电介质内的正 负电荷做微观的相对移动 结果在电介质内部或表面出现带电的现象P Pe V 式中Pe是分子电偶极矩 V是电介质内宏观小 微观大的体积元 P 0 E 实验表明 在各向同性电介质中的任一点 极化强度P和电场E的方向相同且大小成正比 波长很长的光学波 长光学波 晶格中的声学波中相邻原子都沿同一方向振动 光学波中 原胞中不同的原子相对地作振动 波长很长的声学波 长声学波 离子晶体的长光学波 正负离子组成的晶体 长光学波使晶格出现宏观极化 离子晶体的光频频率10 13s 1 波长原胞的线度 长光波光频模能够对电磁波的传播产生重要的影响 1 长光学波的宏观方程 两种正负离子组成的复式格子 立方晶体 长光学波 极化波 半波长内 正离子组成的布喇菲原胞同向位移 负离子组成的布喇菲原胞反向位移 晶体出现宏观极化 a 纵模 b 横模 有效电场 离子晶体的宏观极化产生了一个宏观的极化电场E 作用在某离子的电场不包含该离子自身产生的电场 所以作用在该离子的电场等于整体宏观电场减去该离子产生的电场 对于立方晶格 洛伦兹提出有效电场的大小 离子晶体的极化有两部分组成1 正负离子的相对位移产生的电偶极矩 称为离子位移极化2 离子自身的电子云在有效电场的作用下 其中心与原子核不重合 离子本身也成了电偶极子 这部分称为电子位移极化 离子位移极化 一个原胞内的离子位移偶极矩为 对于长光学波 同种原子的位移相同 则 电子位移极化 离子总的位移极化 再考虑离子的运动方程 原胞中的两个正负离子质量 两个正负离子的位移 描述长光学波运动的宏观量 原胞体积 折合质量 黄昆方程 正负离子相对运动位移产生的极化和宏观电场产生的附加极化 离子相对运动的动力学方程 宏观极化强度和宏观电场强度 从黄昆方程可以看出 格波与电场耦合在一起 这种耦合波具有何种特点 横向位移与纵向位移分开 假定晶体内没有自由电荷 将电场分为有旋场与无旋场 将E P代入上式 得 得到纵向位移引起的纵向电场的关系式 由黄昆方程 将上式的有旋场和无旋场分开 上式是两个简谐振动方程 可以得到横波振动频率和纵波振动频率 但黄昆方程中的系数 难以确定 可以通过晶体宏观常数求出 1 静电场下晶体的介电极化 恒定电场下 由黄昆方程 和比较 因为 2 高频电场下晶体的介电极化 电场的频率远远高于晶格振动的频率 通过晶体宏观常数求出黄昆方程中的系数 利戴恩 萨克斯 特勒关系 由黄昆方程 1 由于一般来说静电介电常数总是大于光频介电常数 所以长光学纵波的频率总是大于长光学横波的频率 2 有些晶体在某一温度下 介电常数 即产生了自发极化 原子具有一定质量 其频率不可能无限大 铁电软膜 严格讲 离子晶体长光学波的振动必然伴随交变的电磁场 因此严格的理论应当是以麦克斯韦的电磁方程与晶格的唯象方程相结合 实际上所研究的对象就成为晶格的长光学振动与电磁场耦合的系统 通过求解得到的振动模实际上代表了格波与光波的耦合振动模 电磁耦合子 下面写出描写光波的麦克斯韦组和晶格的唯象方程 1 纵波 上式就是著名的LST关系 2 横波 所以有 当时 即 因此 三者相互垂直 离子晶体中长光学横波与光子的耦合模 必须指出的是 这里的解考虑了格波与电磁波的耦合 格波产生晶体的极化 极化与电磁波相互作用 这两种波互相耦合出来新的耦合波模式 在q趋于0时 趋于 趋于 在 q 很大时 趋于 趋于 只有在 与 两根线与 和 相交的区域附近 耦合很强 出现的是电磁波与格波的混合模式 而 是 禁止区 在这个区域 电磁波不能在晶体中传播 以这种频率的光波入射时将在边界被反射 晶体中存在长光学纵波 LO 和长光学横波 TO 长光学纵波声子称为极化声子 LO 长光学纵波伴随有宏观的极化电场 长光学横波伴随着有旋的宏观电磁场 电磁声子 TO 长光学横波具有电磁性 可以和光场发生耦合 极化声子 纵光学声子 晶体中同时可以存在不同频率的简谐振动 不同频率的振动模对应不同的能量 给定晶体 总的振动模数目是一定的按振动频率分布 用晶格振动模式密度来描述 从振动模式密度 研究晶体热容 电学和光学性质 晶格振动模式密度 单位频率间隔 振动模式的数目 格波的频谱密度 格波的简正模 在q空间 晶格振动模是均匀分布的 状态密度 频率是q的连续函数 根据 做出一个等频率面 之间振动模式数目 4 7晶格比热 晶格振动的研究 晶体的热学性质固体热容量 热运动是晶体宏观性质的表现 杜隆 珀替经验规律 一摩尔固体有N个原子 有3N个振动自由度 按能量均分定律 每个自由度平均热能为kT 摩尔热容量 总的内能 晶格振动 研究固体宏观性质和微观过程的重要基础 晶格振动 晶体的热学性质 电学性质 光学性质 超导电性 磁性 结构相变有密切关系 实验表明较低温度下 热容量随着温度的降低而下降 摩尔热容量 与温度无关 杜隆 珀替经验规律 固体的定容热容 固体的平均内能 固体内能 晶格振动的能量和电子热运动的能量 实验结果 低温下金属的热容 温度不是太低的情况 忽略电子对比热的贡献 电子对比热的贡献 晶格振动对比热的贡献 一个频率为 j的振动模对热容的贡献 频率为 j的振动模由一系列量子能级组成 子体系 子体系处于量子态的概率 晶格振动对热容的贡献 量子理论 与晶格振动频率和温度有关 一个振动模对热容贡献 一个振动模的平均能量 高温极限 与杜隆 珀替定律相符 一个振动模对热容贡献 忽略不计 低温极限 与实验结果相符 一个振动模对热容贡献 晶体中有3N个振动模 总的能量 晶体总的热容 1爱因斯坦模型 N个原子构成的晶体 所有原子以相同的频率 0振动 热容 总能量 爱因斯坦温度 选取合适的 E值 在较大温度变化的范围内 理论计算的结果和实验结果相当好地符合 大多数固体 爱因斯坦热容函数 金刚石 理论计算和实验结果比较 温度较高时 与杜隆 珀替定律相符 晶体热容 温度非常低时 按温度的指数形式降低 实验结果 爱因斯坦模型忽略了各格波的频率差别 晶体热容 2德拜模型 1912年德拜提出以连续介质的弹性波来代表格波将布喇菲晶格看作是各向同性的连续介质 有1个纵波和2个独立的横波 不同q的纵波和横波 构成了晶格的全部振动模 不同的振动模 能量不同 色散关系 三维晶格 态密度 V 晶体体积 波矢q允许的取值在q空间形成了均匀分布的点子 体积元态的数目 q是近连续变化的 状态数目 球层 频率在之间振动模式的数目 频率也近似于连续取值 振动频率分布函数 或者振动模的态密度函数 一个振动模的热容 晶体总的热容 振动频率分布函数和 m的计算 频率在之间 纵波数目 频率在之间 格波数目 频率在之间 横波数目 波矢的数值在之间的振动方式的数目 频率分布函数 格波总的数目 频率在间 格波数目 晶体总的热容 德拜温度 晶体总的热容 令 在高温极限下 与杜隆 珀替定律一致 德拜热容函数 晶体总的热容 低温极限 T3成正比 德拜定律 温度愈低时 德拜模型近似计算结果愈好 温度很低时 主要的只有长波格波的激发 晶体热容 晶体热容 非线性简谐 格波的频谱密度 格波的简正模 波矢 波矢空间一个点占据的体积 倒格子原胞体积 状态密度 晶体中同时可以存在不同频率的简谐振动 不同频率的振动模对应不同的能量 给定晶体 总的振动模数目是