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1 第二节 向量及其线性运算 2 一 向量的概念 定义 行向量 列向量 或 3 向量可视为特殊的矩阵 因此 向量的相等 加减法 分量全部为零的向量称为零向量 记为 数乘等概念完全与矩阵相同 则 4 向量的线性运算满足以下八条运算律 1 a b b a 2 a b g a b g 3 a a 4 a a 5 k l a ka la 6 k a b ka kb 7 kl a k la 8 1a a 其中a b g都是n维向量 k l为实数 5 除了上述八条运算规则 显然还有以下性质 例1 解 其中 移项规则 6 练习 P141习题三 7 第三节 向量间的线性关系 8 一 向量组的线性组合 定义 如果两个向量组可以互相表出 则称等价 9 例如 b 2 1 1 a1 1 0 0 a2 0 1 0 a3 0 0 1 因为b 2a1 a2 a3 或者说b可由a1 a2 a3线性表示 即b是a1 a2 a3的线性组合 10 称 为n维基本单位向量组 11 对线性方程组 将系数矩阵A分裂成列向量 则方程组改写为 12 例1 解 13 例2 解 14 但表示法不唯一 15 二 向量组的线性相关性 定义 16 包含零向量的向量组一定线性相关 单个向量线性相关当且仅当它为零向量 例3 设 有 17 定理 证 使 则 18 定理 线性无关 的充分必要条件是齐次线性方程组 有 无 非零解 19 例4 解 判断下列向量组的线性相关性 线性相关 20 解 线性无关 注意 1 写为列向量 拼成矩阵 2 只作行变换 21 推论 线性相关 线性无关 的充分必要条件是行列式 n维基本单位向量组 线性无关 22 例5 证 23 例6 证 必线性相关 用矩阵形式 24 有非零解 比如 25 定理 证 26 定理 证 再证表法唯一 设有两种表示法 即表法唯一 27 线性相关性的性质 1 如果向量组有一个部分组线性相关 则该向量组线性相关 等价命题 如果一个向量组线性无关 则其任一部分组 线性无关 线性相关的向量组添加若干向量仍线性相关 线性无关的向量组去掉若干向量仍线性无关 28 可以推广到添多个分量的情形 等价命题 线性相关的向量组各去掉一个 或几个 分量所得向量组仍线性相关 证 29 3 向量组的个数如果多于维数 则必线性相关 齐次线性方程组 未知量个数多于方程个数 必有非零解 线性相关 线性无关 的充分必要条件是行列式 30 由上述推论知 证略
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