线性代数-24-矩阵的初等变换与矩阵的秩.ppt

2 4矩阵的初等变换与矩阵的秩1 矩阵的初等变换2 矩阵的秩 定义2 16下列三种变换称为矩阵的初等行变换 此时变换的是第i行 第j行没有变化 同理可定义矩阵的初等列变换 把 r 换成 c 2 4 1矩阵的初等变换 矩阵的初等变换 通常称 1 换法变换 2 倍法变换 3 消法变换 初等变换的逆变换仍为初等变换 且变换类型相同 逆变换 逆变换 逆变换 三种初等变换对应着三种初等方阵 矩阵初等变换是矩阵的一种基本运算 应用广泛 2 4 2初等矩阵 由单位矩阵I经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵 定义2 17 1 交换I的两行或两列 得初等对换矩阵 初等矩阵是可逆的 逆矩阵仍为初等矩阵 定理2 3 证明 具体验证即可 另两种情形同理可证 一般记法 2 行阶梯形矩阵 行最简矩阵 标准形 定义2满足下列两个条件的形如阶梯的矩阵 1 若有零行 则该行下方所有行元素均为零 2 如果某一行元素不全为零 并且第一个不为零的元素位于第i列 则它下方的所有行 若存在 的前i个元素全为零 定义行最简矩阵是指在阶梯形中 1 非零行第一个非零元素为1 2 每一行第一个非零元素1所在的列中其它元素都为零 即 定理2 4对任何矩阵Am n 总可以经过有限次初等行变换 把它化为行阶梯形矩阵 行最简矩阵 定理2 5任何一个矩阵A都与一个形式为 的矩阵等价 r min m n D称为矩阵A的标准形 2 4 3初等变换求逆矩阵 为了得到利用初等变换求矩阵的逆的方法 我们首先需要建立如下的定理 定理2 6n阶矩阵A可逆的充要条件是A的标准形是In 由 就有 上面第一式表示经有限个初等行变换化为单位矩阵 第二式表示经这些初等行变换变为 用分块矩阵形式把上两式写成 或 由定理2 6知道若A可逆 则A 1可表为有限个初等矩阵的乘积 即 即 初等行变换 这表明如果对矩阵 A B 施行初等行变换 当把A化为In时 B就化为A 1B 例10求矩阵X 使AX B 其中 解如果A可逆 那么X A 1B 所以 例2 18求解矩阵方程AX A X 其中 解把所给方程变形为 A I X A 2 4 2矩阵的秩k阶子式 在m n矩阵A中 任取k行与k列 k m k n 位于这些行列交叉处的k2个元素 不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式 称为矩阵A的k阶子式 例如 D 是A的一个二阶子式 取1 2行 2 4列 定义2 19矩阵A中不为零子式的最高阶数 称为矩阵A的秩 记作r A 规定 零矩阵的秩是0 从而A 0当且仅当r A 0 3 矩阵A的秩为r当且仅当A中存在非零的r阶子式 而所有的r 1阶子式 若存在 均为零 由定义不难得到 1 若A是m n矩阵 则A的秩不会大于矩阵的行与列数 即 2 例2 17 解 例2 18 解A中有一个3阶子式而所有4阶子式均为零 所以r A 3 问题 经过变换矩阵的秩变吗 矩阵秩的计算 因为对任何矩阵都可以经过有限次初等行变换变成行阶梯形矩阵 其非零行的行数就是矩阵的秩 定理2 8初等变换不改变矩阵的秩 即若A经过初等变换化成B 则r A r B 推论2 5设A是m