相似三角形的计算与证明

1 2013四川绵阳 如图 四边形ABCD是菱形 对角线AC 8cm BD 6cm DH AB于点H 且DH与AC交于G 求GH的长 解 四边形ABCD是菱形 AC BD AO 4cm BO 3cm GAH BAO AHG AOB 90 GAH BAO 2 2013山东菏泽 如图所示 在 ABC中 BC 6 E F分别是AB AC的中点 动点P在射线EF上 BP交CE于点D CBP的平分线交CE于Q 当CQ CE时 求EP BP的长 解 延长BQ交EF于点G G 1 2 E F分别是AB AC的中点 EG BC 2 G CQB EQG EG 2BC 12 1 2 1 2 2 G 1 G PB PG EP BP EP PG EG 12 3 2013四川巴中10分 如图 在平行四边形ABCD中 过点A作AE BC 垂足为E 连接DE F为线段DE上一点 且 AFE B 1 求证 ADF DEC 2 若AB 8 AD 6 AF 4 求AE的长 证明 1 四边形ABCD是平行四边形 AB CD AD BC B C 180 4 3 1 B 1 2 180 2 C ADF DEC 8 8 6 4 ADF DEC DE 12 解 2 4 2013泰安 如图 四边形ABCD中 AC平分 DAB ADC ACB 90 E为AB的中点 1 求证 AC2 AB AD 2 求证 CE AD 3 若AD 4 AB 6 求的值 证明 1 1 2 1 2 ADC ACB 90 ADC ACB AC2 AB AD 1 2 2 求证 CE AD 3 ACB 90 E是AB中点 CE AE EB 2 3 1 2 1 3 CE AD 解 3 4 6 3 CE AD CFE AFD AD 4 CE AB 3 5 2009年安徽 如图 M为线段AB的中点 AE与BD交于点C DME A B 且DM交AC于F ME交BC于G 1 写出图中三对相似三角形 并证明其中的一对 2 连结FG 如果 45 AB 4 AF 3 求FG的长 EMF EAM DMG DBM AFM BMG 解 1 3 45 1 A B 1 45 ACB 90 AC BC AB AB BC 4 AF 3 CF 1 M为线段AB的中点 AFM BMG 解 2 证明 1 1 2 3 4 ACB 90 CD AB 2 4 4 A 90 2 A E是AC的中点 1 3 DE AE 3 A 1 2 3 4 1 2 F F FDB FCD 2 GD EF 5 6 E是AC的中点 CD AB GD GC 5 6 90 2 5 1 2 1 6 90 GD EF 7 2013四川南充8分 如图 等腰梯形ABCD中 AD BC AD 3 BC 7 B 60 P为BC边上一点 不与B C重合 过点P作 APE B PE交CD于E 1 求证 APB PEC 2 若CE 3 求BP的长 证明 1 1 2 3 四边形ABCD是等腰梯形 B 3 C AB CD 2 3 1 B 1 2 APB PEC 1 3 2 3 3 x 7 x F G 解 2 作AF AC于F DG BC于G 四边形AFGD是矩形 AF DG FG AD 3 AB CD B 60 ABF DCG HL BF CG 2 APB PEC BP2 7BP 12 0 BP 3或BP 4 8 2013湖南株洲 已知在 ABC中 ABC 90 AB 3 BC 4 点Q是线段AC上的一个动点 过点Q作AC的垂线交线段AB 如图1 或线段AB的延长线 如图2 于点P 当点P在线段AB上时 求证 AQP ABC 当 PQB为等腰三角形时 求AP的长 图1 图2 证明 1 ABC 90 PQ AC APQ ABC A A AQP ABC 解 2 图1 连接CP 如图1 当 PQB为等腰三角形时 QPB 90 QPB只能为顶角 PQ PB PQ AC ABC 90 CP CP PQC PBC CQ CB 4 AQ AC CQ 1 AQP ABC 图1 图2 如图2 当P在AB延长线上时 QPB 90 当 PQB为等腰三角形时 BP BQ 1 2 1 P P A 1 2 90 2 A AB BQ BP AP 2AB 6 9 2013四川宜宾10分 如图1 在Rt ABC中 BAC 90 AD BC于点D 点O是AC边上的一点 连接BO交AD于F OE OB交BC边于点E 1 求证 ABF COE 2 当O为AC边中点 2时 如图2 求的值 3 当O为AC边中点 n时 如图2 请直接写出的值 图1 图2 图1 证明 1 1 2 3 4 BAC 90 AD BC BO OE 2 3 3 1 90 C ABD ABD 4 90 2 1 4 C ABF COE 2 作OG AC 交AD的延长线于G G AC 2AB O是AC边的中点 AB OC OA 由 1 知 ABF COE ABF COE BF OE G BAD DAC 90 BAD ABD 90 DAC ABD 又 BAC AOG 90 AB OA ABC OAG OG AC 2AB OG OA BAC 90 AB OG ABF GOF 10 2013年福建莆田8分 定义 如图1 点C在线段AB上 若满足AC2 BC AB 则称点C为线段AB的黄金分割点 如图2 ABC中 AB AC l A 36 BD平分 ABC交AC于点D 5分 求证 点D是线段AC的黄金分割点 3分 求出线段AD的长 图1 图2 证明 1 2 A 36 AB AC 1 ABC C BD平分 ABC 3 1 2 A 36 3 1 A 72 C AD BD BC C C BCD ACB 即BC2 AC CD AD2 AC CD 点D是线段AC的黄金分割点 AD2 AC CD AC 1 AD2 AC AC AD AD2 1 AD 11 2013年广东珠海9分 如图 在Rt ABC中 C 90 点P为AC边上的一点 将线段AP绕点A顺时针方向旋转 点P对应点P 当AP旋转至AP AB时 点B P P 恰好在同一直线上 此时作P E AC于点E 1 求证 CBP ABP 2 求证 AE CP 3 当 BP 5时 求线段AB的长 证明 1 1 2 3 4 5 BC P E 4 5 PP A 1 3 3 5 2 PP A 90 2 3 1 2 1 2 3 4 5 证明 2 F 作PF AB与F 7 8 6 6 7 AP AP AFP P EA PF AE PC BC PF AB 1 2 PF PC AE CP 解 3 BC P E BCP P PE 设PE 2x CP AE 3x AP AP 5x 1 2 3 4 5 F 7 8 6 多条线段具有某一关系 用一个字母表示其中的一条线段 其余的线段就可用这个字母的代数式表示出来 总结与体会 12 2013 泸州 如图 点E是矩形ABCD的边CD上一点 把 ADE沿AE对折 点D的对称点F恰好落在BC上 已知折痕AE 10cm 且tan EFC 求该矩形的周长 1 2 3 解 四边形ABCD是矩形 B C D 90 ADE与 AFE关于AE轴对称 D AFD AF AD BC 1 2 2 3 90 1 3 1 2 3 BF 3x AB 4x BC 5x FC BC BF 2x AF2 EF2 AE2 该矩形的周长为 13 2013湖北鄂州 如图 Rt ABC中 BAC 90 AD BC于点D 若BD CD 3 2 求tanB的值 AD BC BAC 90 解 B BAD 90 BAD DAC 90 B DAC BDA ADC 90 BDA ADC BD CD 3 2 设BD 3x CD 2x AD2 6x2 14 如图 在 ABC中 AB AC 5 BC 8 D是边AB上一点 且tan BCD 1 试求sinB的值 2 试求 BCD的面积 解 1 作AE BC交BC于E E AB AC 5 BC 8 BE CE 4 F 2 作DF BC于F 设DF x 则CF 2x BF 8 2x AE BC DF BC DF AE BFD BEA 设DF x 则CF 2x BF 8 2x 15 2013四川南充 如图 正方形ABCD的边长为2 过点A作AE AC AE 1 连接BE 求tanE的值 F M N 作EF BA交BA的延长线于F 解 正方形ABCD的边长为2 AE 1 AE AC AM EF BAM BFE F M N AMN CBN AC 4 AN NC 4 16 如图 ABC中 D是BC中点 AD AC DE BC 垂足为D DE与AB相交于点E EC与AD相交于点F 求证 ABC FCD 若S FCD 5 BC 10 求DE的长 1 2 证明 DB DC ED BC BE EC B 2 又 AD AC ACB 1 ABC FCD 作AG BC于G G ABC FCD S ABC 20 AG 4 DG CG 2 5 又 ED BC AG BC ED AG BDE BGA 17 2011资阳 如图1 在梯形ABCD中 已知AD BC B 90 AB 7 AD 9 BC 12 在线段BC上任取一点E 连结DE 作EF DE 交直线AB于点F 1 若点F与B重合 求CE的长 3分 2 若点F在线段AB上 且AF CE 求CE的长 4分 3 设CE x BF y 写出y关于x的函数关系式 直接写出结果即可 2分 图1 图2 备用图 解 1 当F与B重合时 四边形AFEB是矩形 CE BC BE BC AD 3 2 作DG BC于G 四边形ABGD是矩形 B 1 900 1 2 3 4 3 4 90 DE EF 2 3 90 2 4 DGE EBF 设BF m 则AF CE 7 m EG 4 mBE 5 m AB DG 7 m1 2 m2 10 不合题意 舍去 CE 5 DGE EBF 18 2012安徽 如图1 在 ABC中 D E F分别为三边的中点 G点在边AB上 BDG与四边形ACDG的周长相等 设BC a AC b AB c 1 求线段BG的长 2 求证 DG平分 EDF 3 连接CG 如图2 若 BDG与 DFG相似 求证 BG CG 图1 图2 解 1 D C F分别是 ABC三边中点 BDG与四边形ACDG周长相等 BD DG BG AC CD DG AG BG AC AG 又 BG AG AC b c 2 D C F分别是 ABC三边中点 DF BF BG BF FG DF FG DE AB 1 2 3 1 3 DE AB 2 3 1 2 DG平分 EDF 3 BDG与 DFG 1 B 1 3 3 B BD DC DG BG CG 19 如图 Rt ABC中 C 90 AB 2点P为BC上一动点 PD AB PD交AC于点D 连结AP 1 求AC BC的长 2 设PC的长为x ADP的面积为y 当x为何值时 y最大 并求出最大值 解 C 90 AC 2 PD AB tanB tan DPC 20 2010资阳 如图 在直角梯形ABCD中 已知AD BC AB 3 AD 1 BC 6 A B 90 设动点P Q R在梯形的边上 始终构成以P为直角顶点的等腰直角三角形 且 PQR的一边与梯形ABCD的两底平行 9分 当点P在AB边上时 在图中画出一个符合条件的 PQR 不必说明画法 2 当点P在BC边或CD边上时 求BP的长 解 1 如图所示 2 如图 当点P在BC上时 作QE BC于E DF BC于F E F 3 x x x x 6 2x 四边形ABPD BEQR是矩形QE DF PQR是等腰直角三角形 设BF EF QE PB x则DF AB 3 CE 2x CEQ CFD 2 如图 当点P在DC上时 H 连结BP 作DH BC于H PQR是等腰直角三角形 四边形PQBR是正方形PR DH 设BR PQ PQ BQ m则CR 6 m DH AB 3 BH AD 1 CRP CHD 21 2012四川巴中12分 如图 在平面直角坐标系中 点A C分别在x轴 y轴上 四边形ABCO为矩形 AB 16 点D与点A关于y轴对称 tan ACB 点E F分别是线段AD AC上的动点 点E不与点A D重合 且 CEF ACB 求AC的长和点D的坐标 说明 AEF与 DCE相似 当 EFC为等腰三角形时 求点E的坐标 解 四边形ABCO是矩形 AB OC 16 B 90 点D与点A关于y轴对称 OD OA BC 12 D 12 0 OA OD OC AD BC AD 解 CA CD 4 3 2 1 又 1 6 4 5 5 6 AEF DCE 解 当 EFC为等腰三角形时 有CE CF CE EF FC FE三种可能情况 EFC为等腰三角形 当CE CF时 1 CFE 1 CFE 2 3 这与 CFE 3矛盾 CE CF不成立 当CE EF时 AEF DCE AE CD 20 OE AE OA 20 12 8 E 8 0 当EF CF时 ECF 1 3 CE AE OE OA OE2 162 12 OE 2 又 OE2 OC2 CE2 满足条件的点E的坐标为 E 8 0 E 0 22 2012四川宜宾 如图 在 ABC中 已AB AC 5 BC 6 且 ABC DEF 将 DEF与 ABC重合在一起 ABC不动 DEF运动 并满足 点E在边BC上沿B到C的方向运动 且DE始终经过点A EF与AC交于M点 1 求证 ABE ECM 2 探究 在 DEF运动过程中 重叠部分能否构成等腰三角形 若能 求出BE的长 若不能 请说明理由 3 当线段AM最短时 求重叠部分的面积 ABE ECM 1 证明 AB AC B C 1 2 3 ABC DEF B 1 1 2 B 3 3 2 2 解 1 B C 且 4 C 1 4 1 2 3 4 5 当 4 5时 AE ME ABE ECM CE AB 5 BE 1 当 1 5时 AM ME 5 B C C CAE CBA 3 解 设BE x ABE ECM AE BC EM AC 23 2012自贡12分 如图 在菱形ABC中 AB 4 BAD 120 AEF为正三角形 点E F分别在菱形的边BC CD上滑动 且E F不与B C D重合 证明 不论E F在BC CD上如何滑动 总有BE CF 当点E F在BC CD上滑动时 分别探讨四边形AECF和 CEF的面积是否发生变化 如果不变 求出这个定值 如果变化 求出最大 或最小 值 证明 连接AC 四边形ABCD是菱形 BAD 120 AB BC CD ABAD BC AB CD B 180 BAD 60 ABC是等边三角形 AC AB 又 AEF是正三角形 AE AF 1 2 2 3 60 1 3 ABE ACF BE CF 作AG BC于G 四边形AECF的面积不发生变化 ABE ACF S四边形AECF S ABC S四边形AECF CEF的面积有变化 作EH DC的延长线于H 设BE CF x则EC 4 x BAD BCD 120 ECH 60 当x 2时 S EFC的面积最大为 24 在Rt ABC中 A 90 AB 6 AC 8 D E分别是边AB AC的中点 点P从点D出发沿DE方向运动 过点P作PQ BC于Q 过点Q作QR BA交AC于R 当点Q与点C重合时 点P停止运动 设BQ x QR y 求点D到BC的距离DH的长 求y关于x的函数关系式 不要求写出自变量的取值范围 是否存在点P 使 PQR为等腰三角形 若存在 请求出所有满足要求的x的值 若不存在 请说明理由 解 A 90 DH BC A BHD 90 B B BHD BAC AB 6 AC 8 D是AB中点 BD 3 QR AB CQR CBA 假设存在 仍然分PQ PR PQ RQ PR QR三种情况解答 当A P Q三点在一条直线上时 点D E分别是AB AC的中点 AP PQ PQ AB ARQ BAC 90 AP P