权的定义ppt课件

第一章观测误差及其传播 1 1 5权与定权的常用方法 如图所示 在水准测量中 A B C为三个已知点 P为待定点 由3个已知点分别向待定点做水准测量 假设每公里的观测精度相同 而三条水准路线的长度不同 分别为S1 S2 S3 最终P点高程如何计算 取三次测量的平均值可以吗 设三条水准路线求得的P点高程分别为 则 权的原始语义之一 就是秤锤的意思 广雅 释器 曰 锤 谓之权 2 1 5权与定权的常用方法 一 权的定义 表示各观测值方差之间按比例关系的数字特征 权 数学描述 如选定任一常数 则定义 权之间的比例关系 权之比 相应方差倒数之比 3 1 5权与定权的常用方法 例 已知水准网所有水准路线等精度 且各条路线的距离为 假定每公里观测高差的中误差为 得权 各线路观测高差的中误差 若 若 得权 权之间比例 4 3 权是用来比较各观测值间精度高低的 是相对精度指标 权的意义不在于其本身数值大小 重要是其之间的比例关系 对于单个观测值而言 权无意义 1 5权与定权的常用方法 权的性质 1 选定一个值 即有一组对应的权 反之亦成立 4 为了使权能起到比较精度高低的作用 同一问题只能选定一个值 2 一组观测值的权 其大小随着的不同而异 但不论选用何值 权之间的比例关系不变 6 事先给出一定的条件 就可以确定出观测值的权的数值 5 权与中误差的平方成反比 中误差越小 权越大 表明观测值越可靠 5 1 5权与定权的常用方法 二 单位权中误差 权等于1的观测值称为单位权观测值 权等于1的观测值的方差称为单位权方差 也称为方差因子 权等于1的观测值的中误差称为单位权中误差 权的单位 基础概念 同类观测值 权是无量纲 无单位 不同类观测值 权有单位 例 边角网中设测角中误差单位为 秒 测边中误差单位为 mm 若单位取 秒 则角度的权无单位 边长的权的单位为 若单位取 mm 则边长的权无单位 角度的权的单位是 6 1 设单位长度 例如一公里 的距离观测值的方差为 则全长为S公里的距离观测值的方差为取长度为C公里的距离观测值方差为单位权方差 即 则距离观测值的权为 1 5权与定权的常用方法 三 定权常用方法 1 距离观测值的权 2 设长度为S公里的距离观测值的方差为 和分别为测距固定误差和比例误差 取单位权方差则距离观测值的权为 1 设单位长度 例如一公里 的距离观测值的方差为 则全长为S公里的距离观测值的方差为取长度为C公里的距离观测值方差为单位权方差 即 则距离观测值的权为 7 1 5权与定权的常用方法 设每站观测高差精度相同 其中误差均为 如图所示 在水准网中 有n 7条水准路线 现沿每一条路线测定两点间的高差 得各路线的观测高差为 各路线的测站数分别为 由协方差传播律得 各观测高差的中误差为 设单位权中误差为 由权定义得 且有关系 8 1 5权与定权的常用方法 2 水准测量的权 若某段高差的测站数 则他的权为 当时 有 C的两个意义 1 C是1测站的观测高差的权 2 C是单位权观测高差的测站数 各测站观测高差同精度时 各路线的权与测站数成反比 9 1 5权与定权的常用方法 由协方差传播律得 各观测高差的中误差为 设单位权中误差为 由权定义得 且有关系 在水准测量中 若已知每一公里的观测高差的中误差均相等 设为已知各路线的观测距离为 10 1 5权与定权的常用方法 2 水准测量的权 若某段高差的测站数 则他的权为 当时 有 C的两个意义 1 C是1公里的观测高差的权 2 C是单位权观测高差的公里数 每公里观测高差同精度时 各路线的权与距离数成反比 11 1 5权与定权的常用方法 在水准测量中 究竟是用水准路线的距离S定权 还是用测站数定权 要是具体情况而定 一般来说 起伏不大的地区 每公里的测站数大致相同 可按水准路线的距离定权 而起伏较大的地区 每公里测站数相差较大 则按测站数定权 12 设有 它们分别是次同精度观测值的平均值 若每次观测的方差均为 则的方差为 则算术平均值的权为 1 5权与定权的常用方法 3 同精度观测值的算术平均值的权 取 若令 则他的权为 当时 有 C的两个意义 1 C是1次的观测的权倒数 2 C是单位权观测值的观测次数 13 边长观测值的权 则方向观测值的权 无单位 边长观测值的方差为 或 1 5权与定权的常用方法 4 边角网中方向观测值和边长观测值的权 边角网中有两类不同量纲的观测值 方向 或角度 和边长 取 设方向观测值的方差为 14 1 5权与定权的常用方法 注意 在测量工作中 一般是先根据事先给定的条件 按上述方法确定观测值权 然后进行平差 再根据权的定义式的变形公式 来求观测值或其他函数的中误差 权变形公式 适用范围 该公式不仅适合于观测值 同时也适合于观测值的函数 15 今天你会定权了吗 16 1 6协因数与协因数传播律 一 协因数与协因数阵 为的协因数 为的协因数 为关于的协因数或相关权倒数 17 1 6协因数与协因数传播律 由此可得 协因数阵 协因数阵的特点 1 主对角元素是随机变量的协因数 即权倒数 2 非主对角元素是随机变量关于随机变量的互协因数 且有 因此协因数阵也为对称阵 3 表明随机变量与随机变量独立 不相关 18 1 6协因数与协因数传播律 二 互协因数阵 设有观测向量和 它们的方差阵分别为和 关于的互协方差阵为 令 为的协因数阵 为的协因数阵 为关于的互协因数阵 19 1 6协因数与协因数传播律 说明 中的对角元素是各个的权倒数 非对角元素是关于的相关权倒数 2 中的元素就是关于的相关权倒数 和为和的权逆阵 为关于的相关权逆阵 二 互协因数阵 4 因 所以 20 1 6协因数与协因数传播律 三 权阵 设有独立观测值 其方差为 权为 单位权方差为 X的协因数阵为 则有 1 是由独立观测值的权构成的对角阵 与权逆阵 协因数阵 互为逆阵 通常称为的权阵 21 1 6协因数与协因数传播律 1 独立观测值的协因数阵 权阵是对角阵 主对角元素就是相应观测值的权 2 当观测值相关 其协因数阵是非对角阵 权阵的主对角元素不再是相应观测值的权 三 权阵 权阵说明 22 1 6协因数与协因数传播律 例 已知观测值向量的权阵为 试求观测值的权 解 观测值向量的协因数阵 由协因数的定义可知 说明 当观测值相关 其协因数阵是非对角阵 权阵的主对角元素不再是相应观测值的权 23 1 6协因数与协因数传播律 四 协因数传播律 设有观测值向量和的线性函数 根据协方差传播律 顾及协方差阵与协因数阵的关系 化简得 协因数传播律 广义传播律 1 线性函数 24 1 6协因数与协因数传播律 如果Z和W的各个分量是X和Y的非线性函数 2 非线性函数 求微分法 线性化 协因数传播律 25 1 6协因数与协因数传播律 3 独立观测值 对于独立观测值 假定各的权为则的权阵 协因数阵均为对角阵 若有函数 权倒数传播律 26 1 6协因数与协因数传播律 例 设独立观测值的权均为 试求算术平均值的权 解 由此知 算术平均值之权等于观测值之权的n倍 27 1 6协因数与协因数传播律 例 设独立观测值的权均为 试求的权 解 此时x为带权平均值 带权平均值的权等于各观测值权之和 应用权倒数传播律 28 1 6协因数与协因数传播律 解 29 1 7由真误差计算中误差及其实际应用 一 用不同精度的真误差计算单位权中误差的基本公式 设有一组同精度独立观测值 且其数学期望为 真误差为 有 观测值的中误差为 当为有限值时得到中误差的估值为 同精度独立的真误差计算中误差 式 2 式 1 30 1 7由真误差计算中误差及其实际应用 若为一组不同精度的独立观测值 的数学期望 方差和权分别为和 由权的定义得 单位权中误差 若单位权中误差已知 则可求得各观测值的中误差 问题 如何利用一组不同精度的真误差来求得单位权中误差 现设是一组同精度 且权的独立真误差 通过前面介绍我们知道 为了单位权中误差 应需要得到一组精度相同且权为1的独立的真误差 得到此组真误差后就可按照式 1 或 2 求解 设 权倒数传播律 式 3 31 由式 2 知 由此可知通过式 3 求得的是一组同精度且权为1的真误差 由于是独立真误差 故也是一组独立真误差 即有 1 7由真误差计算中误差及其实际应用 理论值 估值 不同精度独立的真误差计算单位权中误差 32 1 7由真误差计算中误差及其实际应用 二 由真误差计算中误差的实际应用 一般情况 观测量真值 或数学期望 不知 因此真误差不知 因此不能直接利用公式求解中误差或方差 然而 某些情况下 由若干个观测量组成的函数 其真值已知 故真误差可知 如 一个三角形内角和为180 三角形闭合差就是三角形内角观测值之和的真误差 一 由三角形闭合差求测角中误差 设在一个三角网中 以同精度独立观测了各三角形之内角 由各观测角值计算而得的三角形闭合差分别为 他们为真误差 由公式得三角形内角和中误差为 由于 设测角方差均为 菲列罗公式 33 1 7由真误差计算中误差及其实际应用 二 由真误差计算中误差的实际应用 二 由双观测值之差求中误差 在测量工作中 常常对一系列被观测量分别进行成对观测 这种成对观测称为双观测 设对量 分别观测两次 得独立观测值和权 第一次 第二次 权 观测值和是对同一量的两次观测的结果 称为一个观测对 这种成对的观测 称为双观测 设对内精度相同 对间精度不同 两次观测值的差数 差数的真误差就是差数本身 34 1 7由真误差计算中误差及其实际应用 由权倒数传播律得 由双观测值之差求得的单位权方差 观测值和的方差 第i对观测值平均值的方差 35 1 7由真误差计算中误差及其实际应用 例 设分5段测定A B两水准点间的高差 每段各测两次 其结果列于下表中 试求 1 每公里观测高差的中误差 2 第二段观测高差的中误差 3 第二段高差的平均值的中误差 4 全长一次 往测或返测 观测高差的中误差及全长平均值的中误差 36 1 7由真误差计算中误差及其实际应用 解 1 单位权中误差 每公里观测高差的中误差 为 37 1 7由真误差计算中误差及其实际应用 2 第二段观测高差的中误差为 3 第二段高差平均值的中误差为 38 1 7由真误差计算中误差及其实际应用 4 全长一次观测高差的中误差为 全长高差平均值的中误差为 39 内容小结 1 协因数传播律 2 协因数传播律的应用 权倒数传播律 1 权倒数传播律 及其应用条件 2