代换在不等式解题中的应用.doc

代换在竞赛不等式中的应用査正开江苏省常熟市中学 215500 摘要：以国内外数学竞赛题（或改编题）的解答为例，介绍在处理不等式问题中的七种基本代换，即目标代换、三角代换、常量代换、对偶代换、均值代换、增量代换、条件代换的方法和作用；并给出附有简答与提示的配套练习题，以使读者能及时反馈掌握.关键词：竞赛不等式 基本代换 数学解题就是把未知问题通过正确的推理转化为已知结论的过程.它的核心内容就是化归，而化归的首要环节就是代换，因而合理的代换就成为解题的关键.本文举例介绍在数学竞赛类不等式问题中常用的基本代换，供读者参考.1目标代换根据所求结论的结构特征，结合已知条件，做出合适的目标代换.1.1 简单对称代换例1：已知，求证：. 分析：这是一个经典的不等式，曾多次作为竞赛题，证法很多.本题难点在于分母为多项式故可将分母作简单对称代换即可.证明：设，则，.原不等式.由均值不等式知此式显然成立，从而原不等式得证.说明：通过代换，把分母变成单项式便于处理，当然也可利用柯西不等式加以证明.1.2 部分特征代换例2：设为非负实数，求证：.其中表示循环和（中等数学 数学奥林匹克高中训练题（135）加试二）.分析：这是一个难度较高的不等式证明题，根据循环和的本质，采用对称轮换进行代换.证明：设,原不等式.由柯西不等式,.说明：通过代换实际上达到了消元的效果.1.3 整体代换例3：已知实数，且满足: ，试求的最大值（数学通报2011年3月号问题1993）.分析：原问题所提供解答（文1）采用三角代换进行处理较繁琐，技巧性又较强，再加上排版错误，很难让读者理解.其实只要把条件变形一下，再整体代换即可.解：原条件化为，设，则，则且，.利用抽屉原则：，中至少有两个不小于或者不大于，不妨设，,.又,.当且仅当即=1时取等号，最大值为3说明：通过代换可达到简化效果，值得注意的是巧用抽屉原则来证明不等式堪称一绝.1.4 参数待定代换例4：已知实数满足，求的最大值(2009年浙江省高中数学竞赛预赛题).分析：引入参数，再应用均值不等式待定系数加以处理.解：设，根据目标，联想均值不等式,若,因，故，的最大值为.说明：这种代换通过分析可有效沟通条件与结论之间的联系.2三角代换 把问题通过代换转化为三角（或三角形）的一种代换，具有广泛的应用性.2.1三角代换例5：若且，证明：（第15届伊朗数学竞赛试题）.分析：这个代数不等式其条件是分式，结论是根式，直接证明较复杂，可考虑三角代换.证明：设， 则条件简化为，.待证不等式转化为.这就是柯西不等式的三元情形，原不等式成立.说明：这种代换既考虑到去掉结论中的根号，又兼顾到条件中的倒数问题，起到了“一石二鸟”的功效.2.2三角形代换例6：设，求证.分析：本题是一个很优美的不等式，如果引入变换，则可以化为一个三角形的三边.证明：令，则即转化为证,（数学教学问题73）（1983年瑞士数学竞赛题）.因，.所以，当且仅当即时取等号.说明：这种代换是联系代数不等式与三角形不等式的有效途径.3常量代换把已知条件或常数进行置换的一种代换，可使问题得到简化明朗.例7：若且，求证：.分析：这是安振平老师在文2提出的二十六个优美不等式中的第十九个不等式，它可通过三角代换或构造函数给以证明，但若采用常量代换，即把“3”置换成“”更简捷.证明：原不等式等价于,将“3”置换成“”，则它又等价于.不妨设，则，.若，不等式显然成立; 若，则同例6一样可证,从而原不等式成立.说明：通过代换可有效利用条件，使不等式齐次化（一般化）.4对偶代换 通过构造对偶式子达到解题目的.例8：设且，求证（24届全苏数学竞赛）.分析：根据不等式结构特征，可考虑构造原不等式左边的对偶式来证明.证明：设则,.因为，即,从而原不等式成立.说明：这种通过构造对偶式解决问题，充分体现出数学的对称和谐之美.5均值代换它是均衡换元的一种代换，既可对条件实施，也可对结论实施.例9：已知，求证：。分析：本题要证明，可设进行均衡代换，从而实现减少未知数，简化式子的目的.证明：令，不妨设，设因为，因，故，.说明：通过此种代换达到减元增设的效果.6增量代换 根据有些不等式的式子特征，采用增量代换可有效简化因式.例10：设，则 证明：当，设，则当且仅当即时取等号.当，设，则当且仅当即时取等号，根据式子特征其它情形同样可证，所以原不等式成立.注：通过增量代换使问题得以有效简化.例11：已知实数满足，求实数的取值范围（2011年全国高中数学联合竞赛一试B卷第9题）解：设代入，得 将 代入得 同理可得： 是方程（*）的两根 得 即 得 从而 说明：增量代换与均值代换都是一种有效增设，有异曲同工之美.7条件代换 对一些常见的已知条件，可进行有效的代换，从而达到简化解题的目的.7.1三个正数之积为1的代换这类问题在不等式问题中很常见，一般有三种方法加以代换，现举三例加以说明.例12：设且，求证： 分析：这是三个正数之积为1的问题，可设，其中进行代换证明：设，其中（应用柯西不等式的变式）说明：这种代换是三个正数之积为1的代换中最普遍适用的一种代换，它把有条件约束问题转化为无条件约束问题.例13：已知实数都不为0，满足，求证： （数学通讯2011.3问题征解46）分析：三个正数之积为1，可将这一条件进行代换，从而使问题简化.证明：由，不妨设，则，故说明：这也是一种三个正数之积为1的常见代换，较适用于齐次问题.例14：设为正实数且满足，试证： （第36届试题）分析：这类非齐次不等式采用上述两种代换效果不好，可考虑采用倒数代换处理.证明：设，则且从而原不等式等价于 ，原不等式成立.说明：通过这种变换可达到次数平衡，使问题便于处理.7.2三个正数之和为1的代换这类问题也是较为常见的，最一般的方法就是考虑三角形代换.中，有恒等式可设，其中为的三内角，这样就实现了代数不等式与三角不等式的互换.例15：设，且，求证：（2005年法国数学竞赛题）分析：这一代数不等式结构很复杂，利用代数方法直接证明有较大难度，注意到条件，考虑三角形代换.证明：且，设其中为的三内角，则同理：，设则由琴生不等式可知：，从而原不等式得证.说明：这一代换实现了代数不等式与三角不等式转化的有效途径，具有广泛的适用性.7.3三个正数之和等于三个正数之积的代换这一问题联系到三角形中有恒等式,因而一般也考虑三角形代换.例16：已知且，求代数式的最大值（1998年韩国数学奥林匹克改编）分析：作代换，由已知易得，于是问题转化为中，求的最大值.解：设，均为锐角，由条件得：，设由琴生不等式可知：,当且仅当时取等号.当且仅当时，原式取最大值说明：有关与三角形恒等式关联的问题（比如三个正数两两之积的和为1）可采用类似的方法进行三角形代换.综上所述，代换在处理有关不等式问题中起着较关键的作用，值得注意的是，这些代换并不是独立的，有时需配合使用才能收到奇效.且代换只是解题的一个环节，它指明了解题的方向和策略，完成解题还需有足够的数学知识、方法、技巧的支撑.配套练习题：（有兴趣的读者不妨一练）1已知，求证：2满足，求证：3已知且满足，求证：4求最大实数，使不等式对任意恒成立（2010年新知杯上海高中数学竞赛）5设是正实数，且，试确定的最大值（1999年越南奥林匹克试题）6设的三边长为，求证：（2008年浙大自主招生试题）7已知且，求证：（数学通报2008.3.问题与解答1724）8（2003年北京高一数学竞赛复赛题）9设，满足条件求证：10若是非负实数且，证明不等式11已知且，求证：12设，求证： 13设，求证： 14已知且，求证：（2008年加拿大数学奥林匹克试题）15设，证明：简答提示1设，则原不等式2设，由条件得：即又，故，3设，则，原命题即证而 成立4设，则仿例4可求出，从而可得5由得，令，则，当且仅当即时，67，左=8设，又，即，即9由得，设代入得，同理：10不妨设，故令，则，即原不等式成立.11令，其中所证不等式，从而原不等式成立.12由条件可设，其中原不等式 例6已证.13设，则且，即为例