初等几何研究试题答案(1)(李长明版).doc

初等几何研究试题答案（I）一、线段与角的相等1.O1、O2相交于A、B,O1的弦BC交O2于E,O2的弦BD交O1于F,求证: （1）若DBA=CBA,则DF=CE; (2) 若DF=CE,则DBA=CBA. 证明:(1)连接AC、AE、AF、AD 在O1中,由CBA=DBA得AC=AF 在O2中,由CBA=DBA得AE=AD 由A、C、B、E四点共圆得1=2 由A、D、B、E四点共圆得3=4 所以ACEAFD DF=CE (2)由（1）得1=2,3=4 DF=CEACEAFDAD=AE在O2中,由AD=AE可得DBA=CBA2.在ABC中,AC=BC,ACB=90O ,D是AC上的一点,AEBD的延长线于E,又AE=BD,求证:BD平分ABC.证明:延长AE,BC交于点F3.已知在凸五边形ABCDE中,BAE=3,BC=CD=DE,且BCD=CDE=1802, 求证:BAC=CAD=DAE.证明:连接BD,得CBD是等腰三角形且底角是CDB=180(1802)2=.BDE=(1802)-=1803A、B、D、E共圆同理A、C、D、E共圆BAC=CAD=DAE4.设H为锐角ABC的垂心,若AH等于外接圆的半径.求证:BAC=60C证明:过点B作BDBC,交圆周于点D,连结CD、AD DBC=90, CD是直径,则CAD=90 由题,可得AHBC, BHAC BDAH, ADBH 四边形ADBH是 AH=BD又AH等于外接圆的半径(R) BD=R,而CD=2R 在RtBCD中,CD=2BD,即BCD=30BDC=60又BAC=BDC BAC=BDC=605.在ABC中,C=90o,BE是B的平分线,CD是斜边上的高,过BE、CD之交点O且平行于AB的直线分别交AC、BC于F、G,求证AF=CE. 证明:如图13,1=2.2=3,GB = GO, 5=4=6,CO =CE, FGAB,AFCF=BGCG=GOCG,又FCOCOG,COCF=GOCG=AFCF,CO=AF,CO=CE,AF=CE. 6.在ABC中,先作角A、B的平分线,再从点C作上二角的平分线值平行线,并连结它们的交点D、E,若DEBA,求证:ABC等腰.证:如图所示设AC、ED的交点为FAD是A的平分线1=2DEAB1=3CEAD3=5, 4=21=2=3=4=5则FAD和FCE是等腰三角形AF=DF,EF=CFAC=DE同理可证BC=DEAC=BCABC是等腰三角形7.三条中线把ABC分成6个三角形,若这六个三角形的内切圆中有4个相等.求证:ABC是正三角形证明:AOF、AOE、COD、COE、BOF、BOD面积都相等SOFB=SOEC即:BFr+FOr+BOr=CEr+OEr+OCr (BF+FO+BO)r= (CE+OE+OC)rBF+FO+BO=CCE+OE+OCCE+OE+OC-OG-OI=CE+OE+OC-OL-OJ2DH+2BH=2FK+2CK2BF=2CE又F、E分别为AB、AC之中点AB=AC同理:AB=BC故ABC是正三角形.8.平行四边形被对角线分成四个三角形中,若有三个的内切圆相等证明:该四边形为菱形.证明:又AOB、BOC 、COD、DOA四个三角形的面积相等 四边形为菱形9.凸四边形被对角线分成4个三角形,皆有相等的内切圆,求证:该四边形是菱形 .ABDCPNO1O2OO3O4MQ 证明:连结O1 、O2,分别作O1 、O2到AC的垂线,垂足分别为P 、M 在ABC中,BO是O1 、O2的公切线 BOO1 O2 又O1 、O2半径相同,且都与AC相切 O1 O2AC BOAC BDAC 两个相等的内切圆O1 、O3在对顶三角形 AOB与COD中 周长CAOB=CCOD AO+BO+AB=CO+DO+CD 又OP=OQ=OM=ON （AO+BO+AB)-(OP+OQ)=(CO+DO+CD)-(OM+ON) 2AB=2CD AB=CD 同理AD=BC四边形ABCD是平行四边形 又ACBD 四边形ABCD是菱形10.在锐角ABC中,BD,CE是两高,并自B作BFDE于F,自C 作CGDE于G,证明:EF=DG.MGOFEDCBA证明:设O,M分别是BC,FG的中点, 所以OMBF, 因为BFFG, 所以OMFG, 又因为BEC=BDC= 所以BCDE四点在以BC为 直径的圆上, 因为OMDE, 所以OM平分ED, 所以FM-EM=MG-MD 即EF=DG.11.ABC中,M是BC的中点,I是内心,BC与内切圆相切与K.求证:直线IM平分线段AK.证明:作出A的旁切圆O,设它与BC边和AB,BC的延长线分别切于D,E,F,（如图）连接AD交内接圆于L,则因内接圆和旁切圆以A为中点成位似,则:ILBC,即K,I,L共线于是原题借中位线可如下转化MI平分AK,M平分DKBD=KC后者利用圆I与圆O两条外公切线相等EG=FHBD+BK=CD+CK则反推过去,得到IM平分线段AK.12在ABC中,M是BC的中点,I是内心,AHBC于H,AH交MI于E,求证:AE与内切圆半径相等. 证明:如图所示 作ABC的内切圆, 切点分别交于BC于点K、AB于点F、AC于点G,连接KL与AC KL是直径, 又M为BC的中点,I为内心,则AL又AHBC AHLK 又点E点I分别都在AH、LK上 AELI 四边形AEIL为平行四边形 AELI 命题得证.13.在矩形ABCD中,M是AD的中点,N是BC的中点,在CD的延长线取P点,记Q为PM与AC的交点,求证:QNMMNP证明:利用矩形的中心 设O是矩形ABCD的中心,则O也是MN的中点, 延长QN交OC的延长线于R,如图,则O 又是PR的 中点,故NC平分PNR.,而NMNG. NM平分PNQ14.给定以O为顶点的角,以及与此角两边相切于A、B的圆周,过A作OB的平行线交圆于C,连结OC交圆于E,直线AE交OB于K,求证:OK=KB.证明:如图所示,过C作圆的切线交OB延长线于D.OD,OA,CD都是圆的切线,且ACCD四边形ACDO是等腰梯形,DOA=DBOC=ACO,ACO=OAK BOC=OAKDOA=D AOKODC OA=OB OB=OA=2KO,即OK=KB15.在等腰直角ABC的两直角边CA,CB上取点D、E使CD=CE,从C、D引AE得垂线,并延长它们分别交AB于K、L,求证:KL=KB. AVBVLVKVBVEVBVHBVEVBVDVBVCVVBVBVBV证明:延长AC至E使CE=CE,再连BE交AE的延长线于H. ABC是等腰直角三角形 AC=BC ,ACB=BCE=90又CE=CE BCEACECAE=CBE AEC=BEH BHEACEBHE=ACB=90 DLCKEB及DC=CE KL=LB. 16. 点M在四边形ABCD内,使得ABMD为平行四边形,试证:若CBM=CDM,则ACD=BCM.证:作ANBC且AN=BC,连接DN、NCABMD为平行四边形,ANBC且AN=BCABCN、DMCN为平行四边形,AD=BMDN=CM、AN=BCADNBMC1=3,2=4,6=71=23=4A、C、N、D共圆（视角相等）5=7（同弧AD）5=6即ACD=BCM17.已知ABC=ACD=60,且ADB=90-BDC,求证:ABC是等腰的.证明:延长CD使得BDDE,并连结AEADB90BDC2ADBBDC180又BDCADBADE180ADBADE又BDDE,ADADADBADEABDAED60,ABAE又ACD60ACE为正三角形ACAEABACABC为等腰三角形18.O1、O2半径皆为r,O1平行四边形过的二顶A、B,O 2过顶点B、C,M是O1、O2的另一交点,求证AMD的外接圆半径也是r.证明: 设O为MB的终点 连接CO并延长O1于E 则由对称知O为CE的中点 O平分MBO平分CEMEBC是平行四边形MEBCADMEAD亦是平行四边形MAEAMDAMD的外接圆半径也为r19.在凸五边形ABCDE中,有ABC=ADE,AEC=ADB, 求证:BAC=DAE. DCBEAF 证明:连接BD,CE,设它们相交于F,如图, AEC=ADB. A,E,D,F四点共圆. DAE=DFE. 又ABC=ADE=AFE. A,B,C,F四点共圆. BAC=BFC. 又DFE=BFC. BAC=DAE.20.在锐角ABC中,过各顶点作其外接圆的切线,A、C处的两切线分别交B处的切线于M、N,设BD是ABC的高（D为垂足）,求证:BD平分MDN. 证明:如上图,m、n分别表示过M、N的切线长,再自M作MMAC于M, 作NNAC于N,则有NBNCNMAMNCNAM/CN=AM/CN=m/n又MMBDNNMD/DN=MB/BN=m/n由等比性质知m/n=(MDAM)/(DN-CN)=AD/DCADMCDNDM/DN=m/n即DM/m=DN/nBD平分MDN21.已知:AD、BE、CF是ABC的三条高.求证:DA、EB、FC是DEF的三条角平分线.证明:连结DF、FE、DECFAB ADBCB、D、H、F共圆13ADBC BEACB、D、E、A共圆2=32=1AD平分EDF同理,CF平分EFD BE平分FED即证:DA、EB、FC是DEF的三条角平分线22.已知AD是ABC的高,P是AD上任意一点,连结BP-CP,延长交AC、AB于E、F,证DA平分EDF.BCADEFIJP证:过E、F两点分别作EH、FG,使EHBC,FGBC,且交CF、BE于I、JEHBC,ADBC,FGBCEHADFG=又EIPJFPEHDFGDDFJ=DEIFDB=EDC即ADF=ADE即DA平分EDF23.圆内三条弦PP1、QQ1、RR1、两两相交,PP1与QQ1交于B,QQ1与RR1交于C,RR1与PP1交于A,已知:AP=BQ=CR,AR1=BP1=CQ1,求证:ABC是正三角形.解:设AP=BQ=CR=m,AR1=BP1=CQ1,则由相交弦定理得m(c+n)=n(b+m)m(a+n)=n(c+m) m(b+n)=n(a+m) 即ma=nc mb=na mc=nb 三式相加得m=n 所以a=b=c即ABC是正三角形24.H为ABC的垂心,D、E、F分别为BC、CA、AB的中点,一个以H为心的圆交DE于P、Q,交EF于R、S,交FD于T、V.求证:CP=CQ=AR=AS=BT=BUABCHDEFRSTQKCAB证明:连结AS、AR、RH由相交弦定理知:AHHA=BHHB=CHHC AS2=AR2=AK2+KR2设H的半径为r,在KRH中,KR2=r2-HK2AS2=r2+（AK+KH）（AK-HK） =r2+AH(AK-HK)在ABC中,F、E为AB、AC的中点,且AABC AK=KAAS2=AR2=r2+AHHA同理:BT2=BU2=r2+BHHB CP2=CQ2=r2+CHHC25、在锐角三角形ABC中,AD、BE、CF是各边上的高,P、Q分别在线段DF、E