2019_2020版高中数学习题课——抛物线的综合问题及应用练习（含解析）新人教A版选修.docx

习题课抛物线的综合问题及应用课后篇巩固提升基础巩固1.抛物线y=ax2的焦点是直线x+y-1=0与坐标轴交点,则抛物线准线方程是()A.x=-14B.x=-1C.y=-14D.y=-1解析抛物线开口向上或者向下,焦点在y轴上,直线x+y-1=0与y轴交点为(0,1),故14a=1,a=14,即抛物线的方程为x2=4y,故准线方程为y=-1,故选D.答案D2.若动圆与圆(x-2)2+y2=1相外切,又与直线x+1=0相切,则动圆圆心的轨迹方程是()A.y2=-4xB.y2=-8xC.y2=4xD.y2=8x解析设动圆圆心为O,半径为r,圆(x-2)2+y2=1的圆心为F(2,0),则OF=r+1,因为动圆到直线x+1=0的距离为r,所以点O到直线x+2=0的距离为r+1,则动点O到定点(2,0)的距离等于到直线x+2=0的距离,故动点O的轨迹为抛物线,焦点为F(2,0),准线为x=-2,轨迹方程为y2=8x.故答案为D.答案D3.已知F为抛物线y2=8x的焦点,过点F且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,则|FA|-|FB|的值等于()A.82B.8C.42D.4解析依题意F(2,0),所以直线方程为y=x-2,联立得y=x-2,y2=8x,消去y得x2-12x+4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|-|BF|=|(x1+2)-(x2+2)|=|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=144-16=82.答案A4.点F是抛物线x2=4y的焦点,若抛物线上的点M到F的距离为3,则点M到x轴的距离为()A.22B.23C.2D.3解析根据抛物线方程可求得焦点坐标为(0,1),准线方程为y=-1,根据抛物线定义,yM+1=3,解得yM=2,点M到x轴的距离为2,故选C.答案C5.如图所示,抛物线的顶点在坐标原点,焦点为F,过抛物线上一点A(3,y)向准线作垂线,垂足为B,若ABF为等边三角形,则抛物线的标准方程是()A.y2=12xB.y2=xC.y2=2xD.y2=4x解析设抛物线方程为y2=2px,取AB的中点为D,由A(3,y),B-p2,y,得D3-p22,y.因为ABF为等边三角形,所以FDAB.又Fp2,0,所以3-p22=p2,解得p=2,故抛物线方程为y2=4x.答案D6.过抛物线y2=2px(p0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的长为8,则p=.解析直线y=x-p2,则y=x-p2,y2=2px,所以x2-3px+p24=0,|AB|=8=x1+x2+p,所以4p=8,p=2.答案27.设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若FA+FB+FC=0,则|FA|+|FB|+|FC|=.解析由y2=4x,得F(1,0),准线方程为x=-1.又FA+FB+FC=0,可知F是ABC的重心,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),所以x1+x2+x33=1,即x1+x2+x3=3,由抛物线定义可得|FA|=x1+1,|FB|=x2+1,|FC|=x3+1,所以|FA|+|FB|+|FC|=x1+x2+x3+3=3+3=6.答案68.已知直线l与抛物线y2=4x交于A,B两点,O为坐标原点,若OAOB=-4,则直线l恒过的定点M的坐标是.解析设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2+y1y2=-4.当直线l的斜率不存在时,设其方程为x=x0(x00),则x02-4x0=-4,解得x0=2;当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+b,由y=kx+b,y2=4x,得ky2-4y+4b=0,得y1y2=4bk,则x1x2=y12y2216=b2k2,得b2k2+4bk=-4,所以bk=-2,即b=-2k,直线y=kx-2k=k(x-2)恒过定点(2,0).又直线x=2也恒过定点(2,0),得点M的坐标为(2,0).答案(2,0)9.过抛物线y2=8x的焦点作直线l,交抛物线于A,B两点,若线段AB中点的横坐标为3,求|AB|的值.解由抛物线y2=8x知,p=4.设A(x1,y1),B(x2,y2),根据抛物线定义知,|AF|=x1+p2,|BF|=x2+p2,所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+p2+x2+p2=x1+x2+p,所以x1+x2=|AB|-p.由条件知x1+x22=3,则x1+x2=6,所以|AB|-p=6.又因为p=4,所以|AB|=10.综上可知,|AB|的值是10.10.设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线的准线上,且BCx轴.证明:直线AC经过坐标原点O.证明抛物线的焦点为Fp2,0.设直线AB的方程为x=my+p2,代入抛物线方程,得y2-2pmy-p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=-p2.BCx轴,且点C在准线上,C-p2,y2,则kCO=2py1.又由y12=2px1,得kAO=y1x1=2py1,故kCO=kAO,即直线AC经过坐标原点O.能力提升1.一动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且动圆恒与直线x+2=0相切,则此动圆必过定点()A.(4,0)B.(2,0)C.(0,2)D.(0,0)解析圆心C在抛物线上,设与直线x+2=0相切的切点为A,与x轴交点为M,由抛物线的定义可知,CA=CM=R,直线x+2=0为抛物线的准线,故根据抛物线的定义得到该圆必过抛物线的焦点(2,0).故选B.答案B2.已知抛物线y2=-2px(p0)与直线x-y-1=0相切于点A,该抛物线的焦点坐标为F,则|AF|等于()A.1B.2C.4D.22解析由y2=-2px,x-y-1=0,得x2-2(1-p)x+1=0,由题意可得4(1-p)2-4=0,解得p=2或p=0(舍去),代入可得x=-1,则|AF|等于点A到准线的距离,故|AF|=1+1=2.答案B3.过点(0,-2)的直线与抛物线y2=8x交于A,B两点,若线段AB中点的横坐标为2,则|AB|等于()A.217B.17C.215D.15解析设直线方程为y=kx-2,A(x1,y1),B(x2,y2).由y=kx-2,y2=8x,得k2x2-4(k+2)x+4=0.因为直线与抛物线交于A,B两点,所以=16(k+2)2-16k20,即k-1.又x1+x22=2(k+2)k2=2,所以k=2或k=-1(舍去).故|AB|=1+k2|x1-x2|=1+22(x1+x2)2-4x1x2=5(42-4)=215.答案C4.已知A(3,2),若点P是抛物线y2=8x上任意一点,点Q是圆(x-2)2+y2=1上任意一点,则|PA|+|PQ|的最小值为()A.3B.4C.5D.6解析抛物线y2=8x的焦点F(2,0),准线l:x=-2,圆(x-2)2+y2=1的圆心为F(2,0),半径r=1,过点P作PB垂直准线l,垂足为B,由抛物线的定义可知|PB|=|PF|,则|PA|+|PQ|PA|+|PF|-r=|PA|+|PB|-1,当A,P,B三点共线时|PA|+|PB|取最小值为5,|PA|+|PQ|PA|+|PB|-15-1=4.即有|PA|+|PQ|取得最小值4,故选B.答案B5.已知点F是抛物线C:y2=2px(q0)的焦点,过点R(2,1)的直线l与抛物线C交于A,B两点,点R为线段AB的中点,若|FA|+|FB|=5,则直线l的斜率为()A.3B.1C.2D.12解析由于点R(2,1)为AB中点,根据抛物线的定义|FA|+|FB|=xA+xB+p=22+p=5,解得p=1,抛物线方程为y2=2x.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y12=2x1,y22=2x2,两式相减并化简,得y2-y1x2-x1=2y1+y2=221=1,即直线l的斜率为1,故选B.答案B6.如图所示,直线y=x-2与圆x2+y2-4x+3=0及抛物线y2=8x依次交于A,B,C,D四点,则|AB|+|CD|=.解析依题意,直线y=x-2恰好经过圆的圆心和抛物线的焦点.由y2=8x,y=x-2,得x2-12x+4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=12,于是|AD|=x1+x2+p=12+4=16,而|BC|=2r=2,故|AB|+|CD|=|AD|-|BC|=16-2=14.答案147.已知抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴上,且抛物线上有一点P(2,m)到焦点F的距离为3,直线y=x-1与抛物线C交于A,B两点,O为坐标原点.(1)求抛物线C的方程;(2)求AOB的面积S.解(1)抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴上,且过一点P(2,m),所以可设抛物线的方程为y2=2px(p0).因为点P(2,m)到焦点的距离为3,即2+p2=3,解得p=2,所以抛物线的标准方程为y2=4x.(2)联立方程y=x-1,y2=4x,化简,得x2-6x+1=0,设交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6,x1x2=1.可得|AB|=2|x1-x2|=8.点O到直线y=x-1的距离d=|-1|2=22,所以AOB的面积为S=12|AB|d=12822=22.8.设抛物线C:x2=2py(0p0,由韦达定理得x1+x2=4k,x1x2=-8.kQN=y2-y1x2+x1=x224-x124x2+x1=x2-x14,直线QN方程为y-y1=x2-x14(x+x1),即y=y1+x2-x14(x+x1)=x2-x14x+x1(x2-x1)4+x124=x2-x14x+x1x24,x1x2=-8,直线QN方程为y=x2-x14x-2,即直线QN方程恒过定点(0,-2).(法二)依题意知,直线QN的斜率存在且不为0,设直线QN方程为y=kx+b,Q(x1,y1),N(x2,y2),则M(-x1,y1),联立x2=4y,y=kx+b,消去y,得x2-4kx-4b=0.