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高等数学（上）期中测试题一 填空题：（每小题4分，共32分，要求：写出简答过程，并且把答案填在横线上）1.设在上处处连续，则。解 ,有连续性有2.已知,则。解 已知则3.函数在上的最大值为解 令得则最大值为4. 设，则, 解 5. 设，则解 两边取对数有两边关于求导得,整理后即得结果6. 设函数由方程确定，则。解 对方程两边关于求导 得: 则7. 曲线在点处的曲率解 则8.函数在处的二阶泰勒公式为解 由,代入泰勒公式即得二选择题：（每小题4分，共32分，每小题的四个选项中只有一个是正确的，要求写出简答过程，并且将答案对应的选项的字母填入题后括号里）1.当时，下列函数中为无穷小的函数是（ ）。A. ； B.； C. ； D. 。解 不存在不存在 2.设，则在点处（ ）。A. 极限不存在； B. 极限存在，但不连续；C连续，但不可导； D. 可导。解 由则在点处连续又不存在则在点处不可导3.设，则（ ）。 A. ； B. ； C. ； D. 。解 4.曲线在处的切线方程是（ ）。 A. ； B. ； C. ； D. 。解 则切线方程为5.已知函数，则（ ）。 A. ； B. ； C. ； D. 。解 则即得结果6.曲线的凹区间是（ ）。 A. ； B. ； C.； D. 以上都不对。解 当时,则曲线是凹的7.若，在内且，则在内有（ ）。 A. ； B. ； C. ； D. 。解 设 则又由 且 则 8.函数对一切满足，若，则（ ）。A.是的极大值；B.是的极小值；C. 是曲线的拐点；D. 不是的极值，也不是曲线的拐点。解 当， 当也即，则不是拐点又,则是的极小值三解答题：1.求函数的单调区间与极值。（8分）解 定义区间为,令有 或者 极小值极大值则在单调减少,在上单调增加极小值:, 极大值:2.求下列极限。（每小题6分） 解 原式 解 应用洛比塔法则,有原式3.确定函数的间断点，并指出间断点所属的类型。（8分）解 函数在处无定义.由于 故,从而是的无穷间断点又,故所以,因此是的跳跃间断点4.（8分）设函数在上连续，在内可导，且，证明： 存在，使； 存在，使得。证 设由在上连续，在内可导则在上连续,可导在上由零点定理,
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