实验5非线性方程求根及其MATLAB实现PPT课件

分类数学实验之 方程求近似实根问题 考虑方程f x 0 求根分为两步 先确定某个根的近似值 再将初始近似值加工成满足精度要求的结果 两分法迭代 理论基础 零点定理 设f x C a b f a f b 0 区间 a b 就是方程 根的存在区间 再用下面的方法改善根的精度 方程求根数值算法的基本思想 取 a b 的中点x0 a b 2 若f x0 0 则x0即是根 否则 f a f x0 0 令a1 a b1 x0 取 a b 的左半部 f x0 f b 0 令a1 x0 b1 b 取 a b 的右半部 a b f a f a b 2 f b f x x y 将上述做法重复n次 得到n个小区间 且bn an b a 2n a b 两分法迭代 当n足够大时即可达到满意的精度 例1求方程x3 1 1x2 0 9x 1 4 0的一个实根 使误差不超过10 3 两分法迭代 解 首先观测图形 作f x 的图像 ezplot x 3 1 1 x 2 0 9 x 1 4 x 1 0 01 1 y x 3 1 1 x 2 0 9 x 1 4 函数表达式figure plot x y LineWidth 2 画出图形holdon y1 zeros size x y1 0plot x y1 r LineWidth 4 bisect m关于此程序的解释见 方程求根的代码解释 一文 按两分法的思想 进行迭代求根 为了使得程序具有通用性 将方程的表达式写成一个函数 functiony myequation x y x 3 1 1 x 2 0 9 x 1 4 这样修改y的表达式 即可求出其他方程的实根 3 运行二分法的程序 两分法迭代的加速 a b f a f a b 2 f b f x x y c 以f a f b 的连线在x轴的交点作为新的出发点 但此方法不一定能真正加速 原理请详见教材p191 程序 fastbisect m 不动点迭代 称满足方程f x x的点x为函数f的不动点 求函数f的不动点 可以从一个初始点x0出发 以格式xn 1 f xn 进行迭代 x1 f x0 x2 f x1 xk 1 f xk 得到x0 x1 x2 xn 如果该数列是收敛的 则 将方程f x 0 化为等价方程x x 2 取某个定数x0 做数列 xn 其中 x1 x0 x2 x1 xk 1 xk 3 设 x 连续 且 a就是方程f x 0的根 a就是函数 的一个不动点 即a a 等价于f a 0 y f x x0 f x0 x1 f x0 f x1 x2 f x1 y x x 收敛的迭代 发散的迭代 x0 不动点迭代 解 可将方程写成下三种形式 x 14 x2 functionf iterfun x f 14 x 2 f 14 x 1 f x x 2 x 14 2 x 1 1 将三种迭代形式写成函数存起来 2 演示程序使用的程序 iter m 不动点迭代 收敛性蛛网图 一般地 若函数 x 在含不动点 的某邻域内一阶导数连续 且 则存在一个邻域 x 对任何的x0 其迭代序列必收敛 高级例子iterexample2 m请同学们自己消化 3 牛顿迭代法 记 a b 为方程f x 0的根的存在区间 f a 与f b 异号 且对于每个x a b f x 0 f x 保持符号不变 取x0 a b 对f x 用微分中值定理 近似地 有f x p x f x0 f x0 x x0 令p x 0 得到f x 0的近似根 记为x1 为改善根的精确程度 反复实施这一过程 得到牛顿迭代公式 xk 1就是从线性方程f xk f xk x xk 0 1 中解得的根x 以点 xk f xk 为切点 曲线y f x 的切线y f xk f xk x xk 2 方程 2 与y 0相联立 得到与x轴的交点 该交点即xk 1 x x0 x0 f x0 x1 x1 f x1 x2 例3求方程 在x0 2附近的近似实根 准确到小数点后4位数字 解 迭代公式为 计算步骤如下 1 选x0 2 按照迭代公式计算x1 2 若 x1 x0 0 00001 终止迭代 否则 x0 x1 转 1 3 输出迭代次数和近似根 编程步骤如下 1 写函数 function fun dfun fun0 x fun x 3 3 x 1 求原函数的值dfun 3 x 2 3 求一阶导数的值 2 写牛顿迭代法的程序 x0 2 fun dfun fun0 x0 x1 x0 fun dfun i 1 whileabs x1 x0 0 00001x0 x