数学高考总复习基本不等式与不等式的证明.doc

数学高考总复习：基本不等式与不等式的证明编稿：林景飞 审稿；张扬 责编：严春梅知识网络 目标认知考试大纲要求：1. 了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题；2理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： ； ； 3了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明. 4了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题.会用数学归纳法证明贝努 利不等式：为大于1的正整数）；了解当n为实数时贝努利不等式也 成立.5了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等.重点：会用基本不等式、柯西不等式等解决简单的最大（小）值问题；了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等.难点：利用基本不等式、柯西不等式求最大值、最小值，特别注意等号成立条件；不等式的证明。知识要点梳理知识点一：绝对值不等式的性质1；2；知识点二：基本不等式1、如果那么当且仅当时取“=”号）.2、如果那么（ 当且仅当时取“=”号）.3、如果，那么（当且仅当时取“=”号）4、如果，那么（当且仅当时取“=”号）5、若a1,a2,., anR+，则: (nN) 当且仅当a1=a2=.=an时，取等号。知识点三：柯西不等式1. 二维形式的柯西不等式：（1）向量形式： 设是两个向量，则，当且仅当是零向量或存在实数k，使时，等 号成立。（2）代数形式： 若a、b、c、d都是实数，则，当且仅当ac=bd时，等号成立； 若a、b、c、d都是正实数，则，当且仅当ac=bd时，等号成立； 若a、b、c、d都是实数，则，当且仅当ac=bd时，等号成立；注意：柯西不等式的代数形式可以看作是向量形式的坐标化表示；（3）三角形式： 设，则。2. 三维形式的柯西不等式（代数形式）：若都是实数，则，当且仅当或存在实数k，使得时，等号成立。3. 一般形式的柯西不等式（代数形式）：若都是实数，则，当且仅当或存在实数k，使得时，等号成立。知识点四：不等式的证明1不等式证明的理论依据：不等式的概念和性质，实数的性质，以及一些基本的不等式：（1）若aR,则|a|0,a20.（2）若a,bR,则a2+b22ab.（3）若a,bR+,则（4）若a,b同号，则+2.（5）若a,b,cR+,则（6）若a,bR,则|a|-|b|a+b|a|+|b|2证明不等式的基本方法：比较法(作差、作商)，综合法，分析法，数学归纳法及反证法；另外还有如换元法、放缩法等。规律方法指导（1）基本不等式的功能在于“和积互化”。若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则 考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对 于给出的“积式”中的各项的“和”为定值则“积”有最大值。（2）在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。 一正：函数的解析式中，各项均为正数； 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。（3）在不等式证明过程中,应注重与不等式的运算性质联合使用,用放缩法证明时放大或缩小应适度。（4）柯西不等式是一个非常重要的不等式，其结构和谐，应用灵活广泛，灵活巧妙的运用它，可以使 一些较为困难的问题迎刃而解，并且柯西不等式本身的证明方法也值得在不等式证明中借鉴。利 用柯西不等式求最值的关键在于将式子进行恰当的“凑”变形。经典例题精析类型一：利用基本不等式求最值1求下列函数的最大（或最小）值.（1）； （2）， ； （3），（4）， ； （5），思路点拨：要求最值，根据基本不等式，需要对条件进行必要的变形.解析：（1） ， 当且仅当，即时取等号 时， （2）， 当且仅当即时，.（3）， 当且仅当即时，.（4）， 当且仅当 即时，.（5）， 当且仅当即时，总结升华：1用基本不等式求最值，一般要先对式子进行变形配凑出基本不等式满足的条件，这是经常需要使用 的方法，要学会观察学会变形.变量的范围是不可忽视的.2在利用平均值不等式求二元函数的最值问题时，注意通过消元，化二元问题为一元问题，要注意合 理变形，并寻求使等号成立的条件.举一反三：【变式1】已知,，且. 求的最大值及相应的的值方法一：,，且, .当且仅当 时两式同时取等号当,时，的最大值为.方法二：,，即当且仅当,时，取等号.当,时，.当,时，的最大值为.【变式2】已知且，求的最小值.方法一：且（当且仅当即时等号成立）. 的最小值是16. 方法二：由，得，当且仅当即时取等号，此时 的最小值是16.方法三：由得，当且仅当时取等号，的最小值是16.【变式3】已知, 且，求的最小值及相应的值.【答案】, , 又, 当且仅当即时取等号 当时，取最小值.类型二：利用绝对值不等式求最值2. 求的最小值思路点拨：根据绝对值的几何意义求最小值，或利用绝对值不等式性质，或转化为函数，然后利用函数图象求解.解析：方法一：根据绝对值的意义 就是数轴上表示的点P和表示-2的点A的距离与点P和表示1的点B的距离之和. 易知，表示-2的点A与表示1的点B的距离是3，当表示的点P在B点的右侧或在A点的左侧时，P、A距离与P、B的距离之和大于A、B的距离；当点P落在线段AB的内部（包括端点）时，P、A的距离与P、B的距离之和恰好等于A、B的距离.对数轴上任意一点P总有PA+PBAB，当P在线段AB内部（包括端点）时取等号.的最小值是3（当且仅当时）.方法二：依据绝对值不等式性质（当且仅当即时）的最小值是3.方法三：利用函数图象将原不等式转化为构造函数，即作出函数的图象(如图)，它是分段函数，从图象可知，当时，的最小值为3故当时，的最小值为3.总结升华：1. 方法一和方法二的应用较形象、直接、简单，但只能在绝对值符号里的字母系数相同时才能使用； 当绝对值符号里的字母系数不相同时，一般使用方法三.2方法二在应用性质时，要保证中为常数.举一反三：【变式1】求的最值【答案】由得：，的最小值为，最大值为6. 【变式2】不等式对恒成立，则实数的取值范围是_；【答案】设，则对恒成立， ， 的最小值为，实数的取值范围是.【变式3】不等式对恒成立，则常数的取值范围是_；【答案】设，则对恒成立， ， 的最大值为，实数的取值范围是.类型三：利用柯西不等式求最值3. 求函数的最大值.思路点拨：因为，联想到三角恒等式，因而这个式子恰好具有柯西不等式的特征，利用柯西不等式解题就水到渠成.解析：当且仅当，即时，取等号，函数有最大值.总结升华：1. 利用不等式解决最值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件这 个函数的解析式是两部分的和，若能化为ac+bd的形式就能利用柯西不等式求其最大值2. 当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解.不等式中的等号能否取得是求最值问题的关键举一反三：【变式1】已知，求的最大值.法一：由柯西不等式（当且仅当时等号成立）于是的最大值为.法二：令，则于是的最大值为.【变式2】设，求函数的最大值【答案】根据柯西不等式 ，故.当且仅当，即时等号成立，此时，【变式3】求函数的最大值【答案】函数的定义域为1，5，且y0，当且仅当时，等号成立， 即时函数取最大值，最大值为.类型四：证明不等式4 已知：, 求证：.方法一：作差比较法作差：, , , , 成立.方法二：作商比较法 , ， 作商：， , , 成立.方法三：分析法 , ， 欲证， 只需证 ，即证 只需证：, 即证： ， ， 成立.方法四：综合法 , , , , , 两边除以得： 成立.举一反三：【变式1】已知：,求证：证明：，即,两边开方得：同理可得，三式相加，得：【变式2】已知a,b,c(0,1)，求证：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a，至少有一个不大于.证明：反证法假设原结论不成立，即，则三式相乘有：又0a,b,c1, .同理有：，以上三式相乘得，这与矛盾，假设错误，原结论成立.说明：数学问题中的“至少有一个”问题一般多采用反证法.反证法的基本思路是“假设矛盾肯定”，采用反证法证明不等式时，从与结论相反的假设出发，推出矛盾的过程中，每一步推理都必须是正确的.【变式3】用数学归纳法证明：.证明：（1）当时，左式=，右式=， 当时，原不等式成立；（2）假设时，不等式成立， 即, 则当时， 左边= 右边=，要证左边右边， 只要证 ， 只要证 ， 只要证 只要证, 即证. 而上式显然成立，所以原不等式成立， 即时，左式右式. 由（1),（2)可知，原不等式对均成立.高考题萃1（重庆）已知函数的最大值为M,最小值为m,则的值为（ ）(A) (B) (C) (D)答案：C解析：且，由，得，时，时，时，或时，.2（广东）已知，若关于的方程有实根，则的取值范围是_答案：；解析：方程即,利用绝对值的几何意义(或零点分段法进行求解)可得实数的取值范围为。3（江苏）11.的最小值为_。答案：3；解析：由得，代入得，当且仅当时取“=”。4（海南、宁夏）已知函数。（1）作出函数的图像；（2）解不等式。解析：（）图像如下： （）不等式，即，由得由函数图像可知，原不等式的解集为5（全国卷）设函数数列满足，（）证明：函数在区间是增函数；（）证明：；（）设，整数证明：解析：（）当0x1时，f(x)=1lnx1=lnx0所以函数f(x)在区间（0,1）是增函数，（）当0x1时，f(x)=xxlnxx又由（I）有f(x)在x=1处连续知，当0x1时，f(x)f(1)=1因此，当0x1时，0xf(x)1 下面用数学归纳法证明： 0anan+11 （i）由0a11, a2=f(a1)，应用式得0a1a21， 即当n=1时，不等式成立（ii）假设n=k时，不等式成立，即0akak+11则由可得0ak+1f(ak+1)1，即0ak+1ak+21故当n=k+1时，不等式也成立综合（i）（ii）证得：anan+11（）由（）知，an逐项递增，故若存在正整数mk，使得amb，则ak+1amb否则，若amb(mk)，则由0a1amb1(mk)知，amlnama1lnama1lnb0 ak+1=akaklnak=ak1ak1lnak1aklnak=a1amlnam由知amlnamk (a1lnb)于是ak+1a1+k|a1lnb|a1+(ba1)=b6（安徽）设数列满足，其中为实数。（）证明：对任意成立的充分必要条件是；（）设，证明：；（）设，证明：解析：（1）必要性 ：， 又 ，即 充分性 ：设，对用数学归纳法证明 当时，。 假设 则，且 ， 由数学归纳法知对所有成立（2）设 ， 当时，结论成立 当 时， ,由（1）知， 所以 且 （3）设 ， 当时，结论成立 当时，由（2）知 学习成果测评基础达标：1设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（）A B.C. D.2已知，成等差数列，成等比数列，则的最小值 是（）A B C D3下列各函数中，最小值为2的是()A. B. C. D.4. 设，则的最大值为（）A. B. C. D. 5. 若，则的最小值是（）A B. C. D. 26. 若，则，之间的大小顺序关系是（）A. B. C.D. 7若(均为不等于零的实数)，则下列不等式成立的是（）A ； B C D 8设,方程的解是（）A.B. C. D.9. 已知，, 求证：.10已知，且.求证：(1) ； (2) .11若，试求的最小值及最小值点.12设x+y+z=19，求函数的最小值.能力提升：13某生物生长过程中，在三个连续时段内的增长量都相等，在各时段内平均增长速度分别为,该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为（）A. B. C. D.14函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为_15已知函数f(x)=, f(x)的导函数是.对任意两个不相等的正数，证明：（）当时，；（）当时，.16设函数.()当x=6时,求的展开式中二项式系数最大的项;()对任意的实数x,证明()是否存在,使得an恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a的值;若不存在,请说明理由.综合探究：17已知为正整数，（I）用数学归纳法证明：当时，；（II）对于，已知，求证：，；（III）求出满足等式的所有正整数参考答案：基础达标：1C ； 2D； 3. B； 4. C； 5. A； 6. B； 7.C； 8.B；9证明：要证：成立， 只需证,只需证：，即证 只需证 ，即证,，, ，成立，成立.10证明：(1) .(2)法一：法二：, ,.11解析：由柯西不等式：得，所以，当且仅当时成立.为求最小值点，需解方程组 ，解得.因此，当时，取得最小值，最小值为，最小值点为.12解析：根据柯西不等式当且仅当，即时等号成立，此时能力提升：13. D解析：设三个连续时间段的时长分别为、，依题意有,总的增长量为，则，故该生物在所讨论的整个时段内平均增长速度为，选D.144解析：函数的图象恒过定点，则由题意知：即，所以；又，所以，所以（当且仅当时取等号），故的最小值为4.15解析：（）由得而 又， ，又 由、得即（）证法一：由，得下面证明对任意两个不相等的正数,有恒成立即证成立设，则令得，列表如下：极小值，对任意两个不相等的正数，恒有证法二：由，得是两个不相等的正数设，则，列表：极小值 即 即对任意两个不相等的正数，恒有16. 解析：（）展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是（）证法一：因证法二：因 而故只需对和进行比较.令，有由，得因为当时，单调递减；当时，单调递增，所以在处有极