直线和圆的方程、圆锥曲线(高三理科).doc

直线和圆的方程、圆锥曲线一、直线和圆的方程一、直线的相关概念1.直线的倾斜角与斜率定义、公式直线l的倾斜角的范围是，当且仅当时,直线l的斜率k=tan.已知两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),当且仅当x1x2时,斜率k=,若x1=x2,则P1P2的斜率不存在,倾斜角.2.直线的方向向量过点P1(x1,y1),P2(x2,y2),的直线的方向向量为，当时，方向向量又可记为或3.直线方程的五种形式点斜式：l过点P0(x0,y0)，则l：y-y0=k(x-x0).当时，；当时，k不存在，.斜截式：l过定点(0,b)，斜率为k，则l：y =kx+b.b为l在y轴的截距.两点式：l过点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1x2),则.截距式：l与x轴交于点(a,0),与y轴交于(0,b),则,适用范围：不过原点且倾角不为0,.一般式：Ax+By+C=0,适用范围：平面内任何直线.4.平面内两条直线的位置关系有三种：重合、平行、相交(1)两直线平行的充要条件：两直线分别为：l1：y=k1x+b1；l2：y=k2x+b2，则l1l2k1=k2且b1b2；l1：A1 x +B1 y +C1=0，l2： A2 x +B2 y +C2=0，则l1l2A1B2-A2B1=0，当l1、l2，都存在时(2)两直线垂直的充要条件：两直线分别为：l1：y=k1x+b1；l2：y=k2x+b2，则l1l2k1k2=-1；l1：A1 x +B1 y +C1=0，l2：A2 x +B2 y +C2=0，则l1l2A1A2+B1B2=0(3)两直线重合:两直线分别为：l1：y=k1x+b1；l2：y=k2x+b2，则(4)两直线相交：k1k2；5.当直线平行于坐标轴时可结合图形进行考虑其位置关系。两条直线的交点:两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数。6.两条直线的夹角：l1：y=k1x+b1；l2：y=k2x+b2，l1到l2的角为，l1与l2的夹角为若，则；若则，7.点到直线的距离.点P0(x0，y0)到直线Ax+By+C=0的距离.8.两平行线间的距离.两平行线l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0(C1C2)之间的距离9.对称问题.(1)P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为(2)P(x0，y0)关于直线Ax+By+C=0的对称点是.10.常见的直线系方程：经过定点P(x0，y0)的直线系：y-y0=k(x-x0)已知直线斜率的直线系方程：y=kx+b(b参数，k常数)是一族平行直线已知l：Ax+By+C=0，与l平行的直线系方程：Ax+By+m=0(参数)与l：Ax+By+C=0垂直的直线系方程Bx-Ay+n=0(n参数)经过两直线A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0二、线性规划线性规划的图解法的步骤：(1)求可行解-即可行域：将约束条件中的每一个不等式，当做等式作出相应的直线，并确定原不等式表示的半平面，然后求出所有半平面的交集，即为可行解（可行域）(2)作出目标函数的等值线：目标函数（且为常数），当时一个指定的常数时，就表示一条直线。位于这条直线上的点，具有相同的目标函数值，因此称之为等值线。当为参数时，就得到一组平行线，这一组平行线完全刻画出目标函数的状态变化注：，表示点到点距离的平方；表示点与点连线的斜率对于给定的线性约束条件，求的最大值，若，当直线在轴上截距最大时，有最大值；若，当直线在轴上截距最小时，有最大值(3)求出最终结果：在可行域内平行移动目标函数等值线，从图中能判定问题是有唯一最优解，或是有无穷最优解，还是无最优解(4)求线性规划问题的最优整数解问题“局部调微法”：在球线性目标函数的最优解时，先根据基本方法求出目标函数的最值，但若此时最优解不是整数（即此时直线经过的点不是整点），可先根据求出此时的，然后根据条件把得值微调为大于（或小于）的与最接近的整数，再求出直线与可行域各直线的交点坐标，然后在这些交点之间寻找整点“小范围搜索法”：.在边界折线顶点附近的小范围内搜索一个可行域内的整点；.在该点作一条斜率为（其中分别为目标函数中变量的系数）的直线，与可行域边界折线相交得到一个小范围的区域.在这个小范围区域内继续搜索全部最优整数解三、圆的方程1.圆的方程的三种形式 (1)圆的标准方程形式：，圆心，半径；(2)圆的一般方程形式：当时，表示以为圆心, 为半径的圆；当时，方程只有实数解，即只表示一个点;当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形(3)圆参数方程形式：,圆心，半径.(4)二元二次方程表示圆的充要条件:A=C0B=0D2+E24AF0.2.直线与圆的位置关系及相应充要条件位置关系有三种相离相切相交.判断方法：(1)几何法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为R，那么直线与圆相离dR；直线与圆相切d=R；直线与圆相交于不同两点0d0直线与圆相交；=0直线与圆相切；r)，圆心距为d，则可用R，r及d的运算关系表示两圆的位置关系，两圆外离的充要条件是dR+r；两圆外切的充要条件是d=R+r；两圆交于不同两点的充要条件是R-rdR+r；两圆内切的充要条件是d=R-r；两圆内含的充要条件是0dR-r.4.圆的切线方程(1)过圆上一点的切线方程是.(2)过圆上一点的切线方程是(3)圆，圆上一点的切线方程为：5.直线被圆截得的弦长计算(1)几何方法：运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长及半径构成直角三角形计算，公式:(2)代数方法：运用韦达定理及弦长公式进行计算.6.圆系方程的应用能力(1)，圆：有公共点，则经过它们公共点的圆系方程：(2)圆，圆有公共点，则经过它们公共点的圆系方程：(且不含圆)注：当时，表示过两圆公共点的直线方程.二、圆锥曲线椭圆一、椭圆的定义及标准方程：则的轨迹方程：（焦点在轴）当焦点在轴时，标准方程二、椭圆的定义及性质：1、椭圆的第一定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆.2、椭圆的第二定义：平面内一动点到一定点的距离与到一定直线的距离之比等于常数，且的动点的轨迹叫做椭圆（未必是标准方程形式）3、椭圆标准方程的两种形式：.当时分别表示中心在原点，焦点在轴和轴上的椭圆.4、椭圆的几何性质：（1）范围：，椭圆位于直线围成的矩形里（2）对称性：关于轴、轴和原点对称，轴、轴时对称轴，原点是对称中心，即椭圆中心（3）顶点：（4）长轴、短轴：长轴：，是长半轴长；短轴：，是短半轴长（5）离心率：.的大小反映了椭圆的扁平程度，当越趋于1时，椭圆越扁平；当越趋于0时，椭圆越趋于圆（6）准线：准线方程：（7）焦半径：椭圆上任意一点到焦点的线段叫做椭圆的焦半径.（8）焦点三角形：椭圆上的点与两焦点构成的称作焦点三角形，当时，即为短轴端点时，最大，且，当时，即为短轴端点时，（9）焦点弦（过焦点的弦）：为椭圆的焦点弦，弦终点.则弦长.通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦叫做椭圆的通径，长为）最短，；，.（10）焦准距：椭圆的焦点到相应准线的距离叫做焦准距，为（11）椭圆上到中心距离最远及最近的点：设，.当时，；当时，5、椭圆的参数方程：表示长半轴长，表示短半轴长，参数的几何意义是离心角三、直线与椭圆的位置关系问题1、三种位置关系：相交、相切、相离2、，椭圆：，相交于，则联立直线与椭圆方程得：，解出，或，双曲线1、双曲线的定义及标准方程，.标准方程：2、双曲线中的焦点三角问题椭圆上的点与两焦点构成的称作焦点三角形，中，3、与椭圆有公共焦点的双曲线可设为4、双曲线的简单几何性质：（1）范围：（2）对称性：关于轴、轴和原点对称，轴、轴是对称轴，原点是对称中心，即双曲线的中心（3）顶点：，为双曲线的实轴，叫做双曲线的实半轴长； ，为双曲线的虚轴，叫做双曲线的虚半轴长（4）渐近线：（5）离心率：.越大，双曲线的形状从扁狭逐渐变得宽阔，即“张口”增大，5、双曲线的第二定义：动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数，则点的轨迹是双曲线.焦准距：6、两种特殊的双曲线（1）等轴双曲线：渐近线方程：，两条渐近线夹角，（2）共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.具有共同渐近线，相等的焦距.离心率倒数的平方和为1为共轭双曲线7、双曲线的参数方程，写成标准形式：抛物线1、抛物线的定义及标准方程（1）定义：平面内与一个定点（焦点）和一条定直线（准线）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.（2）标准方程：2、焦半径公式及焦点弦问题（标准方程）（1）焦半径：是抛物线上一点，是焦点，则为焦半径（2）焦点弦：过焦点的直线与抛物线相交于两点，即为抛物线的焦点弦，则有：；，当时，焦点弦最短，是通径，长为；若直线倾角为，则，当时，为抛物线的通径长3、抛物线的简单性质：标准方程（1）范围：（2）对称性：关于轴对称，对称轴为轴（3）顶点：原点（4）离心率：4、三个结论：（1）抛物线只有一个焦点，一个顶点，一条对称轴，一条准线，无中心（2）抛物线上任意一点的焦半径长为（3）过抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的一条弦称为抛物线的通径，通径长为5、椭圆、双曲线、抛物线的统一定义，变形：（1）当时，点的轨迹是椭圆（2）当时，点的轨迹是双曲线（3）当时，点的轨迹是抛物线注：直线与圆锥曲线的位置关系1.直线与圆锥曲线位置关系的基础知识(1)直线与圆锥曲线的位置关系可通过对直线与圆锥曲线方程组成的二元二次方程组的解的情况来讨论若方程组消元后得到一个一元二次方程，则根据来讨论若方程组消元后得到一个一元一次方程，则相交于一个公共点.值得注意的是，直线与二次曲线只有一个公共点时，未必一定相切(2)“直线与圆锥曲线位置关系” 的解题套路：对于“直线与圆锥曲线位置关系”问题，要熟悉以下基本套路设直线，圆锥曲线：设直线与曲线相交于两点，联立，2.圆锥曲线的最值问题常见题型：求三角形面积的最值；求四边形(对角线互相垂直)面积的最值；求向量的模的最值等.3.圆锥曲线的范围问题：如何求参数的范围，关键是列出不等式思路一：判别式法：若直线与圆锥曲线相交于两点，则思路二：根据三角形两边之和大于第三边(注意三点共线的情况)思路三：用函数的思想求范围：若题设告诉m的范围，要求n的范围，可找出m、n之间的关系，当n=f(m),即求函数n=f(m)的值域即可；当m=g(n)时，可根据m的范围，求解不等式g(n)p(假设mp)4.圆锥曲线的定值问题：在圆锥曲线中，有些几何向量与参数无关，这就构成了定值问题。解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的。定值问题同证明题类似，在求定值之前已知道定值的结果(如未告诉可采用特殊值处理)。首先大胆假设参数运算推理到最后参数统消，定值显现。5.圆锥曲线的定点问题：若涉及直线过定点问题，则直线一定为含有参数的动直线，即直线系。对于直线系方程，可将方程化为，令，且，求出交点即为定点。6.圆锥曲线的对称问题：两点对称问题应注意条件：(1)两点的连线与对称直线垂直；(2)两点连线段的中点在对称直线上。方法：(1)判别式法；(2)点差法：即将直线与圆锥曲线的两个交点带入曲线方程得，将两式作差即可得出中点坐标和斜率之间的关系。例题：1（2009浙江理）过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为若，则双曲线的离心率是( ) 21世纪教育网 A B C D【解析】对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B，C，则有，因2(2009湖北卷理)已知双曲线的准线过椭圆的焦点，则直线与椭圆至多有一个交点的充要条件是( )A. B. C. D.【解析】易得准线方程是 所以 即所以方程是联立可得由可解得A3（2009全国卷理）已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点，若,则的离心率为( )m A B. C. D. 解：设双曲线的右准线为,过分 别作于,于, ,由直线AB的斜率为,知直线AB的倾斜角为,由双曲线的第二定义有.又 故选A4（2009天津卷理）设抛物线=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，=2，则BCF与ACF的面积之比=A. B. C. D.解析：由题知，又由A、B、M三点共线有，得 。，故选择A5（2009重庆卷理）已知以为周期的函数，其中。若方程恰有5个实数解，则的取值范围为（ ）AB C D【解析】因为当时，将函数化为方程，实质上为一个半椭圆，其图像如图所示，同时在坐标系中作出当得图像，再根据周期性作出函数其它部分的图像，由图易知直线与第二个椭圆相交，而与第三个半椭圆无公共点时，方程恰有5个实数解，将代入得令由同样由与第二个椭圆由可计算得综上知6（2009重庆卷理）已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是 解法1：因为在中，由正弦定理得则由已知，得，即，且知点P在双曲线的右支上，设点由焦点半径公式，得则解得由双曲线的几何性质知，整理得解得，故椭圆的离心率解法2：由解析1知由双曲线的定义知 ，由椭圆的几何性质知，则，即所以解得，故椭圆的离心率7（2009全国卷理）如图，已知抛物线与圆相交于、四个点。（I）求得取值范围；（II）当四边形的面积最大时，求对角线