画出完整正四棱锥的三个投影

3 3切割体的投影 教学目的 1 熟悉截交线的性质 熟练掌握平面与常见平面立体和回转体的截交线的画法 2 掌握常见平面立体和回转体切口的分析方法和画法 3 截切体的尺寸标注方法 教学重点 1 截平面截切平面立体和回转体时截交线的求法 2 切割体的尺寸标注 教学难点 截交线的绘制方法 3 3切割体的投影 3 3 1切割体及截交线的概念基本体被平面截切后的部分称为切割体 截切基本体的平面称为截平面 基本体被截切后的断面称为截断面 截平面与立体表面的交线称为截交线 如图3 16所示 图3 16截交线的基本概念及零件示例 3 3切割体的投影 截交线的形状与基本体表面性质及截平面的位置有关 但任何截交线都具有下列两个基本性质 1 任何基本体的截交线都是一个封闭的平面图形 平面折线 平面曲线或两者的组合 2 截交线是截平面与立体表面的共有线 由以上性质可以看出 求画截交线的实质就是要求出截平面与基本体表面的一系列共有点 然后依次连接各点即可 3 3 2平面切割体的投影由于平面立体的表面都是由平面所组成的 所以它的截交线是由直线围成的封闭的平面多边形 多边形的各个顶点是截平面与平面立体的棱线或底边的交点 多边形的每一条边是平面立体表面与截平面的交线 因此 求平面立体切割后的投影 首先要求出平面立体的截交线的投影 就是求出截平面与平面立体上被截各棱线或底边的交点的投影 然后依次相接 3 3切割体的投影 例3 1 试求正四棱锥被一正垂面P截切后的投影 图3 17 解 1 空间及投影分析因截平面P与四棱锥四个棱面相交 所以截交线为四边形 它的四个顶点即为四棱锥的四条棱线与截平面P的交点 图3 17四棱锥被一正垂面截切 3 3切割体的投影 截平面垂直于正立投影面 而倾斜于侧立投影面和水平投影面 所以 截交线的正面投影积聚在P 上 而其侧面投影和水平投影则都是类似形 2 作图先画出完整正四棱锥的三个投影 因截平面P的正面投影具有积聚性 所以截交线四边形的四个顶点 的正面投影1 2 3 4 可直接得出 据此即可在水平投影上和侧面投影上分别求出1 2 3 4和1 2 3 4 将顶点的同面投影依次连接起来 即得截交线的投影 在三个投影图上擦去被截平面P截去的投影 即完成作图 注意侧面投影上的细虚线不要遗漏 具体作图请看图3 17 3 3切割体的投影 例3 2 试求四棱锥被二平面截切后的投影 图3 18 解 1 空间及投影分析四棱锥被二平面截切 截平面P为正垂面 其与四棱锥的四个棱面的交线与前例相似 截平面Q为水平面 与四棱锥底面平行 所以其与四棱锥的四个棱面的交线 同底面四边形的对应边相互平行 利用平行线的投影特性很容易求得 此外 还应注意两平面P Q相交亦会有交线 所以平面P和平面Q截出的截交线均为五边形 平面P为正垂面 其截交线投影特性同前例分析 平面Q为水平面 其截交线正面投影和侧面投影皆具有积聚性 水平投影则反映截交线的实形 2 作图画出完整四棱锥的三个投影先求平面Q截四棱锥后的截交线 可由正投影1 在俯视图上求1 由1作四边形与底面四边形对应边平行可得1 2 5点 平面Q与平面P的交线 可由正投影3 4 在俯视图上求得3 4 所求1 2 3 4 5即为截交线在水平投影面上的投影 其正面投影和侧面投影分别为1 2 3 4 5 和1 2 3 4 5 再求平面P截四棱锥后的截交线 可按前例方法求出6 7 8 和6 7 8 及6 7 8 将 各点同面投影连接起来 即得截交线在三投影面上的投影 3 3切割体的投影 图3 18四棱锥被二平面截切 注意 平面Q与平面P交线的水平投影3 4应为细虚线 在侧面投影上的细虚线也不要遗漏 3 3切割体的投影 3 3 3回转切割体的投影回转体的表面是曲面或曲面加平面 它们切割后的截交线 一般是封闭的平面曲线或平面曲线与直线围成的平面图形 求截交线的实质 就是要求出截平面与回转体上各被截素线的交点 然后依次光滑相连 1 圆柱切割体根据截平面与圆柱轴线的相对位置不同 圆柱切割后其截交线有三种不同的形状 见表3 1 表3 1平面与圆柱的交线 3 3切割体的投影 当截平面与圆柱轴线平行时 其截交线为矩形 其中两对边为圆柱面的素线 当截平面与圆柱轴线垂直相交时 其截交线为圆 当截平面与圆柱轴线倾斜相交时 其截交线为椭圆 例3 3 求一斜切圆柱的截交线的投影 图3 19 解 圆柱被正垂面P截断 由于截平面P与圆柱轴线倾斜 故所得的截交线是一椭圆 它既位于截平面P上 又位于圆柱面上 因截平面P在V面上的投影有积聚性 故截交线的V面投影应与PV重合 圆柱面的H面投影有积聚性 截交线的H面投影与圆柱面的H面投影重合 所以 只需求出截交线的W面投影 其作图过程 图3 19 如下 图3 19斜切圆柱的投影 3 3切割体的投影 1 作截交线的特殊点 特殊点通常指截交线上一些能确定截交线形状和范围的特殊位置点 如最高 最低 最前 最后 最左和最右点 以及转向轮廓线上的点 对于椭圆首先应求出长短轴的四个端点 因长轴的端点A B是椭圆的最低点和最高点 位于圆柱的最左 最右两素线上 短轴两端点C D是椭圆最前点和最后点 位于圆柱的最前 最后两素线上 这四点在H面上的投影分别是ab c d 在V面上的投影分别是a b c d 根据对应关系 可求出在W面上的投影a b c d 求出了这些特殊点 就确定了椭圆的大致范围 2 求一般点 为了准确地作出截交线 在特殊点之间还需求出适当数量的一般点 如图3 19所示 在截交线的水平投影上 取对称于中心线的四点e f g h 按投影关系可找到其正面投影e f g h 再求出侧面投影e f g h 3 依次光滑连接各点 即可得截交线的侧面投影 3 3切割体的投影 例3 4 在圆柱体上开出一方形槽 已知其正面投影和侧面投影 求作其水平投影 图3 20 3 20求圆柱上开一方形槽的投影 3 3切割体的投影 解 1 空间及投影分析由图中可以看出方形槽是由两个与轴线平行的平面P Q和一个与轴线垂直的平面T切出的 前者与圆柱面的交线是两条平行直线 后者与圆柱面的交线是圆弧 截平面P和Q为水平面 所以截交线的正面投影分别积聚在p 和q 上 同时 由于圆柱面的侧面投影具有积聚性 所以截交线的侧面投影都积聚在圆上 截平面T是一侧平面 所以截交线的正面投影积聚在t 上 侧面投影则积聚在圆上 2 作图先画出完整的圆柱体的水平投影 再画出截交线的水平投影 根据a b a b 和c d c d 画出a b和c d 再根据b e f 和b e f 画出bef 作图时应注意圆柱体的轮廓GE一段被截去 与之对称的一段轮廓未画 其情况相同 所以在g e 和ge一段没有轮廓线的投影 具体作图可见图3 20 3 3切割体的投影 解 如图3 21所示 该圆柱被切去了 等四部分形体 部分为由两平行于圆柱轴线的平面和一垂直于圆柱轴线的平面切割圆柱而成 切口为矩形 部分也为由两平行于轴线的平面和一垂直于轴线的平面切割圆柱而成 即在圆柱右端开一个槽 切口亦为矩形 部分是在切割 部分的基础上再挖去的一个小圆柱 其作图过程如下 图3 21 1 画出整个圆柱的三个投影 并切去 部分 图3 21 b 2 画切去 部分后的投影 图3 21 c 3 画挖去 部分 并完成全图 图3 21 d 图3 21求圆柱切割后的投影 例3 5 求作圆柱切割后的投影 图3 21 3 3切割体的投影 2 圆锥切割体截平面切割圆锥时 根据截平面与圆锥轴线位置的不同 与圆锥面的交线有五种情形 见表3 2 表3 2平面与圆锥的交线 3 3切割体的投影 下面举例说明平面与圆锥面的交线投影的作图方法 例3 6 完成平面P与圆锥面的交线的正面投影 求作圆锥切割后的投影 图3 22 解 1 空间及投影分析从侧面投影可以看出 平面P是平行于轴线的正平面 它与圆锥面的交线为双曲线 与圆锥底面的交线为直线段 如图3 22 b 所示 图3 22平面与圆锥面轴线平行时交线的画法 2 作图 作特殊点 特殊点为A B C三点 点C是双曲线的顶点 在圆锥最前素线上 两点A B为双曲线的端点 在圆锥底圆上 这三点也是极限点 a b 可直接由a b 求得 由于未画水平投影 c 必须通过辅助纬圆求得 这个纬圆的侧面投影应通过c 并与直线a b 相切 3 3切割体的投影 求一般点 从双曲线的侧面投影入手 用圆锥面上取点法 图中示出了在侧面投影上任取一点d 利用辅助纬圆求得d 的方法 同时还得到了与d 对称的另一点e 依次光滑连接各共有点的正面投影 完成作图 3 圆球切割体平面与球面的交线总是圆 图3 23所示是球面与投影面平行面 水平面Q和侧平面P 相交时 交线投影的基本作图方法 图3 23平面与球面交线的基本作图 3 3切割体的投影 例3 7 画出图3 24 a 所示立体的投影 解 1 空间分析该立体是在半个球的上部开出一个方槽后形成的 左右对称的两个侧平面P和水平面Q与球面的交线都是圆弧 P和Q彼此相交于直线段 图3 24球上开槽的画法 3 3切割体的投影 2 作图先画出立体的三个投影 再根据方槽的正面投影作出其水平投影和侧面投影 完成侧平面P的投影 图3 24 b 根据分析 平面P的边界由平行于侧面的圆弧和直线组成 先由正面投影作出侧面投影 要注意圆弧半径的求法 可与图2 23中的截平面P的求法进行对照 其水平投影的两个端点 应由其余两个投影来确定 完成水平面Q的投影 图3 24 c 由分析可知 平面Q的边界是由相同的两段水平圆弧和两段直线组成的对称形 作水平投影时