定积分概念、性质ppt课件

定积分的概念微积分基本公式 17世纪 从实际需要中人们提出许多问题 归结起来有两类 速度问题 切线问题 导数研究了事物变化的速度 定积分则研究相反的问题 事物变化的累积和 如面积 路程 电量多少 变量作功等等 本章将重点学习定积分的概念 几何意义及微积分基本定理 前言 4 1定积分概念 一 定积分的引入 曲边梯形面积的求法 注 此 面积 一定是以x轴为一边的曲边梯形 例如 求曲线y x2 直线x 0 x 1和y 0所围成的面积 如图所示 此问题的难点是图形有一边是曲的 如何求它的面积呢 研究此问题的基础是已知矩形的面积公式S 长 宽 a b 那么研究方法是 无限细分 以直代曲 将曲边图形分划为若干个小矩形 用小矩形面积 Si矩近似代替小曲边梯形面积 Si曲 即 如果右边的和式有极限 n 则极限值即为整个曲边梯形的面积 即 如图所示 1 将区间 0 1 n等分 其分点分别为 2 得n个小条形 每个小条形的宽均为 高则分别 取区间右端点xi i 1 2 n 的函数值 3 相乘为第i个小矩形面积 x y 0 x2 x3 xn 1 xn 1 y x2 x0 x1 4 第i个小曲边梯形面积近似 5 曲边梯形面积S曲近似 若取n 10 容易发现n越大 即区间分得越细 则此面积误差越小 6 直到用极限方法令n 得曲边梯形的精确值 总结 求曲边梯形面积的步骤 引例1 曲边梯形的面积 演示 其中 设物体的运动速度 引例2 变速直线运动的路程 分割区间 取近似值 作和 取极限 1 细分区间 2 取近似值 3 作和 4 取极限 曲边梯形面积A 变速运动的路程S 记为 记为 二 定积分的概念 演示 定积分定义 如果当最大的子区间的长度时 此和式有极限 则此极限叫作f x 在 a b 上的定积分 记为 即 在定积分中 其中 为积分号 把字母s拉长 a b为积分下限和上限 即积分变量x的范围 a x b 又叫积分区间 f x 为被积函数 f x dx称为被积表达式 上例曲边图形的面积用定积分表示 注意 据定义有如下说明 1 定积分是特殊和式极限 它是一个定数 2 定积分的大小仅与区间 a b 和被积函数f x 有关 3 规定 1 若函数在上连续 2 若函数在上有界 且只有有限个间断点 三 定积分存在的充分条件 则在上可积 则在上可积 有界是函数在区间 a b 上可积的必要条件 表示曲线与x轴围成的图形面积的代数和 表示曲线与x轴围成的图形面积 四 定积分的几何意义 演示 1 2 2 若是奇函数 则 1 若是偶函数 则 五 定积分的几何性质 由定积分几何意义可得 补充规定 定积分几何意义的应用 解因为在上连续 所以存在 例用定义求定积分 规定 六 定积分的基本性质 无论a b c的相对位置如何 3 式均成立 可推广至有限个函数的代数和的情形 定积分的基本性质 性质6 介值定理 设f x 在 a b 上可取得最大值M和最小值m 于是 由性质5有 几何意义也很明显 再根据闭区间上的联系函数的介值定理可得 如果变速直线运动物体的运动方程是S S t 则在时间段 T1 T2 内所发生的位移变化为S T2 S T1 如果物体的运动方程为V V t 则由定积分可知 微积分基本公式 而 微积分基本公式 一 变上限的积分定理 证明思路参见书 例1 例2 解 用分点0插分区间 x 2x 例3 例4 设在区间上连续 是它的任意一个原函数 微积分基本公式 二 牛顿 莱布尼兹公式 证明思路 例2求下列定积分 解因为在上连续 是它的一个原函数 所以 或 解原式 几何意义 解原式 几何意义 解原式 解原式 合理应用对称区间上奇偶函数的积分性质 简化定积分的计算 解 分段函数的积分计算 应分区间选取相应的函数 函数在x 1处间断 exit 引例曲边梯形的面积 exit 定积分的定义 exit 定积分的几何意义 exit 估值定理 exit 积分中值定理 牛顿 莱布尼兹公式 返回 若是奇函数 则 若是偶函数 则 定积分的几何意义 是偶函数 是奇函数 偶函数 奇函数 广义积分 定义假设对在 a b 有定义且可积 1 对于 a 上的无穷积分如果存在 我们称收敛 且定义 否则 称发散 2 对于 b 的无穷积分如果存在 我们称收敛 且定义 否则 称发散 广义积分