第十章-随机过程的基本知识.ppt

第一节随机过程的概念和记号随机过程研究的是随时间变化的随机现象例1 随机游动 研究一醉汉醉酒后的行走路线 t时刻他所在的位置记作 X t Y t 则 X t Y t t 0 为一个 二维 随机过程 特点1 每一时刻t 这个位置是不确定的 有随机性 是随机变量 特点2 整个过程随时间t在不断变化 第一节随机过程的概念和记号 例2 信号干扰 电子元器件由于内部微粒子随机热骚动引起的端电压称为热噪声电压 记t时刻的热噪声电压为X t 则 X t t 0 是一个随机过程 特点1 每时刻t 热噪声电压X t 的取值是随机的 X t 是随机变量特点2 随时间t的变化 X t 在延续变化 V t V t V t t t t 例3 股票的价格 记t时刻股票的价格为Y t 则 Y t t 0 是一个随机过程 图特点1 给定时刻t 股票价格Y t 不可预测 可以认为是随机变量 特点2 股票价格Y t 随时间t的变化在不断变化 例4排队问题 记X t 表示 0 t 小时内通过柜台的人数 则 X t t 0 是一个随机过程 特点1 在时刻t通过柜台的人数是不确定的 固定t X t 是随机变量 特点2 通过柜台的人数X t 随时间的增加在变化 增加 随机过程的定义 随时间t变化的一族随机变量 X t t属于T 称作随机过程 t称作时间参数 T称作时间参数集 具体的一次实现称作一条样本曲线 t固定 X t 是随机变量 随机过程的分类 按时间参数集进行划分 随机序列 时间参数集T为可数集 则称 X t t属于T 为时间序列 例 股票价格X t 的时间参数集按日 周计算 可以认为是时间序列 连续时间过程 时间参数集T为连续统 则称过程为连续时间过程 例 热噪声电压 随机过程的分类 按随机变量的类型划分 1 连续型随机过程若 X t t属于T 在t t0时所取随机变量X t0 是连续型 称该过程为连续型随机过程 例 热噪声电压X t 服从 a b 上均匀分布2 离散型当X t 是离散型 如排队问题是离散型随机过程 t时刻通过的人数X t 只能取可数个值 据研究 X t 服从泊松分布 随机过程的意义 孤立地研究一个随机变量有时不能满足生活需要 或者说人们对单个随机变量掌握的信息不够多 需要将所有相关的历史信息联系在一起考虑 如股票的价格 人们需要了解过去的价格分布 以帮助我们预测未来 热噪声电压是随机的 从其历史分布状况能够有助于检测它 避开它 第二节随机过程的统计描述 一 随机过程的分布函数族对于固定的t X t 是一个随机变量 考虑X t 的分布函数 一维分布 还可以考虑 X t1 X t2 的联合分布函数 二维分布 定义 称作随机过程 X t t属于T 的一个n维分布函数 n维分布函数的意义 X 1 X 2 是二维随机变量 它的分布函数就是一个二维分布函数 X 3 X 1 2 也有相应的分布函数二维分布函数可以有无穷多个一个随机过程完全取决于它的有限维分布 例1 设随机过程X t A Bt t 0 其中A B是相互独立的随机变量 都服从正态分布N 0 1 求X t 的一维和二维分布 解 1 一维分布固定t X t A Bt是正态随机变量的线性组合 应服从N E X t E A Bt E A tE B 0 tx0 0D X t D A Bt D A D tB 1 t 2x1所以X t 服从N 0 1 t 2 分布2 二维分布对于任意t1 t2 考虑 X t1 X t2 是正态随机变量的组合构成 应该服从二维正态分布 二维正态分布取决于E X t1 E X t2 以及协方差矩阵 例2 设随机过程X t Acos t t实数 其中A是随机变量 其分布律为 P A 1 P A 2 P A 3 1 3求 1 X t 的一维分布函数 2 二维分布函数 分布函数 1 2 3 1 D1 D2 D3 D4 1 1 2 2 1 3 3 2 X1 X2 二 随机过程的数字特征 1 称作随机过程 X t t属于T 的均值函数 例 设随机过程X t Acos t t实数 其中A是随机变量 其分布律为 P A 1 P A 2 P A 3 1 3求X t 的均值函数解 E X t E Acos t cos t E A E A 1x 1 3 2x 1 3 3x 1 3 2所以E X t 2cos t 数 二 随机过程的数字特征 均值函数E X t 均方值函数方差函数均方差函数 二 随机过程的数字特征 自相关函数自协方差函数 作业P315 1 二 随机过程的数字特征 例设随机过程X t Acos t t实数 其中A是随机变量 其分布律为 P A 1 P A 2 P A 3 1 3求X t 的均方值函数 方差函数以及均方差函数 解 E X t X t E AAcos t cos t cos 2 t E A 2 cos 2 t 1x1 2x2 3x3 3 例 设随机过程X t Acos t t实数 其中A是随机变量 其分布律为 P A 1 P A 2 P A 3 1 3求X t 的自相关函数 协方差函数 解 R t1 t2 E X t1 X t2 E Acos t1 Acos t2 cos t1 cos t2 E A 2 14cos t1 cos t2 3C t1 t2 Cov X t1 X t2 E X t1 X t2 E X t1 E X t2 R t1 t2 E X t1 E X t2 14cos t1 cos t2 3 2cos t1 x2cos t2 2cos t1 cos t2 3 例2 随机相位正弦波其中a 是大于零的常数 随机变量服从上的均匀分布 求X t 的均值函数以及自相关函数 解 连续型随机变量 特征函数有什么用 在某些随机过程中 只要知道特征函数 就能够确定这个过程 二阶矩过程与正态过程 定义1 若随机过程 X t t属于T 的二阶矩都存在 则称该过程为二阶矩过程 E X 2 t 存在E X t E X t 2 存在定义2 如果一个随机变量的每一个有限维分布都是正态分布 则称此过程是正态过程 对于正态过程只要知道均值函数和自协方差函数 这个过程就确定了 例 设X t t是实数 其中A B相互独立 都服从N 0 分布 试说明X t 是正态过程 并求其均值函数和自协方差函数 解 对于任意的t1 t2 tn 考虑任意的实数 证服从一维正态分布是独立正态随机变量的线性组合 服从正态分布 故 X t1 X t2 X tn 服从n维正态分布 X t 是正态随机过程 二维随机过程 设X t Y t 是定义于同一个样本空间S和同一个参数集T上的随机过程 则称 X t Y t 是一个二维随机过程 1 二维随机过程的分布函数称作二维随机过程 X t Y t 的n m维分布函数 X t 与Y t 的独立性 两个随机过程X t Y t 相互独立的充要条件任意一个n m维联合分布函数 n维X t 的分布函数 m维Y t 的分布函数 二维随机过程的数字特征 1 互相关函数2 互协方差函数3 互协方差函数 0 则称两个过程不相关 例 X t Y t 已知 设W t X t Y t 试求W t 的均值函数及自相关函数 泊松过程 第三节泊松过程与维纳过程 1 独立增量过程例 记寻呼台在 0 t 时间内收到的寻呼次数为N t 则 0 2 2 5 5 9 时间段内收到的寻呼次数应该相互独立 即N 2 N 0 N 5 N 2 N 9 N 5 相互独立 这类过程称作独立增量过程 定义 如果随机过程 X t t 0 是二阶矩过程 对于任意n 及0 t0 t1 tn 都有X t1 X t0 X t2 X t1 X tn X tn 1 相互独立 则称X t 是独立增量过程 2 时齐性 定义 若对于任意的h s t 0 s h t h 都有X t h X s h 与X t X s 分布相同 则称X t 是增量平稳过程 3 计数过程 设N t 表示到时刻t为止已发生的 事件 个数 则N t 满足 1 N t 0 非负 取整数值 2 s t时 N s N t 3 s t时 N t N s 等于 s t 时间段内发生的事件数 称满足以上条件的过程为计数过程 前面寻呼台收到的寻呼次数是计数过程 4 独立增量过程的协方差 设X t 是独立增量过程且X 0 0 求Cx s t 解 记 则Y t 也具有独立增量 且当0 s t时 作业P3152 3 5 6 5 泊松过程的两个定义 定义1 一个计数过程 N t t 0 称为泊松过程 如果存在参数 使得N t 满足 1 N 0 0 从0开始计数 2 过程具有独立增量 3 短时间内发生一次事件的概率与时间间隔成比例 4 短时间内发生2次以上事件的概率非常小 则称N t 是强度为的泊松过程 相应质点出现的时刻称作泊松流 定义2 一个计数过程 N t t 0 称为泊松过程 如果存在参数 使得N t 满足 1 N 0 0 从0开始计数 2 过程具有独立增量 3 任意s t 6 两个定义的一致性 由定义2推定义1 由定义1推定义2 证 设 t 0 拆项 0 t 1 为解方程 对n作数学归纳 6 泊松流 通常记录到某一数量的质点所需的时间Wn 如W1表示一个质点到达的时间 W2表示两个质点到达所需的时间 Wn t n个质点到达的时间 t 0 t 时间内到达的质点数t 1 P N t n 求导 得 定理1 强度为的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量 且服从同一个指数分布 定理2 如果任意相继出现的两个质点的点间间距相互独立 且服从同一个指数分布 则质点流构成了强度为的泊松过程 维纳过程 维纳过程是布朗运动的数学模型 设W t 表示运动微粒从t 0时刻到t时刻位移的横坐标 1 具有平稳的独立增量 2 对于任意t s 0 W t W s 服从正态分布