概率论二维随机变量及其分布ppt课件

一 二维随机变量 在实际应用中 有些随机现象需要同时用两个或以 上的随机变量来描述 例如 研究某地区学龄前儿童 前儿童的发育情况时 体重 这里 某地区的全部学龄前儿童 上的两个随机变量 在这种情况下 我们不但要研究 多个随机变量各自的统计规律 而且还要研究它们之 间的统计相依关系 因而需考察它们的联合取值的统 计规律 即多维随机变量的分布 由于从二维推广到多维一般无实质性的困难 故我们 二维随机变量 由于从二维推广到多维一般无实质性的困难 故我们 二维随机变量 由于从二维推广到多维一般无实质性的困难 故我们 重点讨论二维随机变量 定义 设随机试验的样本空间为 而 上的二维随机变量或二维随机向量 注 一般地 完 二 二维随机变量的分布函数 而且还依赖于这两个随机变量的相互关系 与一维情况类 我们也借助 分布函数 来研究二维随机变量 定义 对任意实数 二元函数 故需 似 或称为随 二维随机变量的分布函数 记为 或称为随 二维随机变量的分布函数 记为 或称为随机 若将二维随机变量 视为平面上随机点的坐 标 则分布函数 二维随机变量的分布函数 二维随机变量的分布函数 的概率 如图1 由概率的加法法则 的概率 二维随机变量的分布函数 二维随机变量的分布函数 则可由 二维随机变量的分布函数 则可由 二维随机变量的分布函数 则可由 的 边缘分布函数 联合分布函数的性质 完 联合分布函数的性质 联合分布函数的性质 且 1 注 以上四个等式可从几何上进行说明 2 即 对任意固定的 对任意固定的 联合分布函数的性质 注 以上四个等式可从几何上进行说明 2 即 联合分布函数的性质 注 以上四个等式可从几何上进行说明 2 即 对任意固定的 当 对任意固定的 当 3 即 完 例1 1 试确定常数 2 解 1 由二维随机变量的分布函数的性质 可得 由这三个等式中的第一个等式知 例1 1 试确定常数 2 解 1 由这三个等式中的第一个等式知 例1 1 试确定常数 2 解 由这三个等式中的第一个等式知 故由第二 三个等式知 于是得 1 2 完 三 二维离散型随机变量及其概率分布 为二维离散型随机变量 均为离散型随机变量 定义 值为 则称 则 均为离 二维离散型随机变量及其概率分布 二维离散型随机变量及其概率分布 易见 满足下列性质 与一维情形类似 有时也将联合概率分布用表格形 式来表示 并称之为联合概率分布表 分布 二维离散型随机变量及其概率分布 分布 二维离散型随机变量及其概率分布 分布 关于 注 完 联合概率分布表 与一维情形类似 有时也将联合概率分布用表格形 式来表示 并称为联合概率分布表 联合概率分布表 联合概率分布表 对离散型随机变量而言 联合概率分布不仅比联合 分布函数更加直观 而且能够更加方便地确定 设二维离散型随机变 量的概率分布为 则 特别地 由联合概率分布可以确定联合分布函数 联合概率分布表 特别地 由联合概率分布可以确定联合分布函数 联合概率分布表 特别地 由联合概率分布可以确定联合分布函数 分布 关于 联合概率分布表 分布 关于 联合概率分布表 分布 关于 注 完 例2 设随机变量 在1 2 3 4四个整数中等可能地取 一个值 另一个随机变量 一整数值 解 且 取不 例2 设随机变量 在1 2 3 4四个整数中等可能地取 一个值 另一个随机变量 一整数值 解 例2 设随机变量 在1 2 3 4四个整数中等可能地取 一个值 另一个随机变量 一整数值 解 完 例3 把一枚均匀硬币抛掷三次 中正面出现的次数 出现次数之差的绝对值 解 例3 把一枚均匀硬币抛掷三次 中正面出现的次数 出现次数之差的绝对值 解 例3 把一枚均匀硬币抛掷三次 中正面出现的次数 出现次数之差的绝对值 解 缘分布 从而得右表 完 例4 设二维随机变量的联合概率分布为 解 例4 设二维随机变量的联合概率分布为 解 例4 设二维随机变量的联合概率分布为 解 完 例5 求 解 完 例6 十个值中取 一个值 设 并求分布律 解 数 所有可能取值为1 2 3 4 所有可能取值为0 1 2 的概 率 例6 十个值中取 一个值 设 并求分布律 解 数 例6 十个值中取 一个值 设 并求分布律 解 数 即有边缘分布律 完 四 二维连续型随机变量及其概率密度 定义 为其分布函 数 若存在一个非负可积的二元函数 任意实数 有 的概率密度 密度函数 密度 联合密度函数 使得对 1 连续型随机变量及其概率密度 1 连续型随机变量及其概率密度 1 3 的概率为 特别地 边缘分布函数 2 连续型随机变量及其概率密度 特别地 边缘分布函数 连续型随机变量及其概率密度 特别地 边缘分布函数 上式表明 是连续型随机变量 且其密度函数为 同理 是连续型随机变量 且其密度函数为 连续型随机变量及其概率密度 连续型随机变量及其概率密度 度函数 4 则有 进一步 根据偏导数的定义 可推得 有 小时 即 完 例7 1 求分布函数 2 求概率 解 1 即有 例7 1 求分布函数 2 求概率 解 2 即有 及其下方的部分 如图 于是 例7 1 求分布函数 2 求概率 解 于是 2 例7 1 求分布函数 2 求概率 解 于是 2 例7 1 求分布函数 2 求概率 解 于是 2 完 例8 其它 求 1 的值 2 两个边缘密度 解 1 例8 其它 求 1 的值 2 两个边缘密度 解 2 例8 其它 求 1 的值 2 两个边缘密度 解 2 例8 其它 求 1 的值 2 两个边缘密度 解 2 即 例8 其它 求 1 的值 2 两个边缘密度 解 2 即 完 例9 求边缘概率密度 解 例9 求边缘概率密度 解 例9 求边缘概率密度 解 完 二维均匀分布 其面积为 若二维随机 其它 注 几何上为定义在 面 应用举例 二维均匀分布 应用举例 二维均匀分布 应用举例 的概率与小区域的 而与 的位置无关 上任投一质点 若质点 面积成正比 分布 注 关于服从矩形域上的均匀分布的一个结论 完 矩形域上的均匀分布 且分别为 其它 其它 仍为均匀分布 但对其它形状的区域 不一定有上述结论 完 例10 分布 解 从而 例10 分布 解 例10 分布 解 成 完 二维正态分布 且 的二维正态分布 记为 注 1 如右图 服从二维正态分布的概率密度函数的典型 二维正态分布 注 1 如右图 服从二维正态分布的概率密度函数的典型 二维正态分布 注 1 如右图 服从二维正态分布的概率密度函数的典型 2 二维正态分布的两个边缘 即 密度仍是正态分布 完 推导 二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布 事实上 因为 而且 于是 令 则有 令 则有 令 则有 同理 注 上述结果表明 二维正态随机变量的两个边原缘 分布都是一维正态分布 且都不依赖于参数 亦即 注 上述结果表明 二维正态随机变量的两个边原缘 分布都是一维正态分布 且都不依赖于参数 亦即 注 上述结果表明 二维正态随机变量的两个边原缘 分布都是一维正态分布 且都不依赖于参数 亦即 对给定的 态分布 但它们的边缘分布都是相同的 一般来说是不能确定二维随 因此仅由关于 完 例11 解 注 此例说明 边缘分布均为正态分布的二维随机 变量 其联合分布不一定是二维正态分布 完 课堂练习 1 将两封信随意地投入3个邮筒 投入第1 2号邮筒中信的数目 分布及边缘概率分布 2 求 1 2 的边缘密度 完 练习解答 1 将两封信随意地投入3个邮筒 投入第1 2号邮筒中信的数目 分布及边缘概率分布 解 各自的可能取值显然均为 由题设知 因而相应的概率 均为0 我们将其标在联合概率分布表中相应位置 取其它值的概率可由古典概型计算 由于对 称性 我们实际上只需计算下列概率 练习解答 解 练习解答 解 边缘概率分布可直接在联合概率分布表中计算 的概率分布由 列和产生 见下表 练习解答 解 边缘概率分布可直接在联合概率分布表中计算 的概率分布由 列和产生 见下表 练习解答 解 边缘概率分布可直接在联合概率分布表中计算 的概率分布由 列和产生 见下表 完 课堂练习 2 求 1 2 的边缘密度 解 1 由密度函数的性质 有 由此易得 从而 2 课堂练习 解 2 课堂练习 解 2 即 根据对称性 有 完 内容小结 1 与一维情形相对应 本书引入了多维随机 变量的概念 二维随机变量及其分布函数 随机向量联合分布函数的性质 离散型随机向量及其概率分布 离散型