相似五大模型总结老师

学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：初三 课 时 数：3学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：吴猛授课类型T(同步知识主题)C （专题方法主题）T （学法与能力主题）授课日期及时段2016-07-27相似三角形模型总结模型一：A型或反A型1（2011河北模拟）将三角形纸片ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B，折痕为EF已知AB=AC=6，BC=8，若以点B，F，C为顶点的三角形与ABC相似，那么BF的长度是（）AB4C或2D4或考点：相似三角形的性质；解一元一次方程；翻折变换（折叠问题）菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：根据折叠得到BF=BF，根据相似三角形的性质得到=，设BF=x，则CF=8x，即可求出x的长，得到BF的长，即可选出答案解答：解：ABC沿EF折叠B和B重合，BF=BF，设BF=x，则CF=8x，当BFCABC，=，AB=6，BC=8，=，解得：x=，即：BF=，当FBCABC，解得：x=4，当ABCCBF时，同法可求BF=4，故BF=4或，故选：D点评：本题主要考查了相似三角形的性质，折叠问题，解一元一次方程等知识点，解此题的关键是设BF=x，能正确列出方程1、 如图：ABC中，D是AB上一点，AD=AC，BC边上的中线AE交CD于F。求证：答案：证明：（方法一）如图延长AE到M使得EM=AE，连接CMBE=CE，AEB=MEC BEACEM CM=AB，1=B ABCMM=MAD，MCF=ADFMCFADF CM=AB，AD=AC （方法二）过D作DGBC交AE于G则ABEADG，CEFDGF，AD=AC，BE=CE 模型二：X型和反X型1（2012朝阳）如图，在正方形ABCD内有一折线段，其中AEEF，EFFC，并且AE=4，EF=8，FC=12，则正方形与其外接圆形成的阴影部分的面积为80160考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；正多边形和圆菁优网版权所有专题：压轴题分析：首先连接AC，则可证得AEMCFM，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得EM与FM的长，然后由勾股定理求得AM与CM的长，则可求得正方形与圆的面积，则问题得解解答：解：连接AC，AE丄EF，EF丄FC，E=F=90，AME=CMF（对顶角相等），AEMCFM，AE=4，FC=12，EM=2，FM=6，在RtAEM中，AM=2，在RtFCM中，CM=6，AC=8，在RtABC中，AB=ACsin45=8=4，S正方形ABCD=AB2=160，圆的面积为：（）2=80，正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为80160故答案为：80160点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，正方形与圆的面积的求解方法，以及勾股定理的应用此题综合性较强，解题时要注意数形结合思想的应用2、如图，弦和弦相交于内一点，求证：.思路点拨：题目中求证的是等积式，我们可以转化为比例式，从而找到应证哪两个三角形相似.同时圆当中同弧或等弧所对的圆周角相等要会灵活应用.证明：连接 ，.在.3如图，ABCADE且ABC=ADE，ACB=AED，BCDE交于点O则下列四个结论中，1=2；BC=DE；ABDACE；AO、CE四点在同一个圆上，一定成立的有（）A1个B2个C3个D4个【答案】D模型三：字母型1如图，点A，B，C，D为O上的四个点，AC平分BAD，AC交BD于点E，CE=2，CD=3，则AE的长为（）A2 B2.5 C3 D3.5【答案】B.2（2015南通）如图，AB为O的直径，C为O上一点，弦AD平分BAC，交BC于点E，AB=6，AD=5，则AE的长为（）A2.5B2.8C3D3.2考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理菁优网版权所有专题：压轴题分析：连接BD、CD，由勾股定理先求出BD的长，再利用ABDBED，得出=，可解得DE的长，由AE=ADDE求解即可得出答案解答：解：如图1，连接BD、CD，AB为O的直径，ADB=90，BD=，弦AD平分BAC，CD=BD=，CBD=DAB，在ABD和BED中，ABDBED，=，即=，解得DE=，AE=ADDE=5=2.8故选：B点评：此题主要考查了三角形相似的判定和性质及圆周角定理，解答此题的关键是得出ABDBED3、已知如图，CD是RtABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交CA于F。求证：证明：CD是RtABC斜边AB上的高，E为BC的中点CE=EB=DE B=BDE=FDAB+CAB=90，ACD+CAB=90 B=ACD FDA=ACDF=F FDAFCD ADC=CDB=90，B=ACD ACDCBD 即模型四：一线三等角1已知：如图，ABC中，BAC90，ABAC1，点D是BC边上的一个动点(不与B，C点重合)，ADE45(1)求证：ABDDCE；(2)设BDx，AEy，求y关于x的函数关系式；(3)当ADE是等腰三角形时，求AE的长答案：（1）AA判定（一线三等角）（2）（3）三种情况舍去一种，AE=2-，或AE=1/23已知点A、B分别在反比例函数（x0），（x0）的图象上，且OAOB，则的值为（）A B2 C D3【答案】B模型五：旋转相似和八字模型1如图，O为矩形ABCD的中心，将直角三角板的直角顶点与O点重合，转动三角板使两直角边始终与BC，AB相交，交点分别为M，N如果AB=4，AD=6，OM=x，ON=y则y与x的关系是（）A B Cy=x D 【答案】D2. 点A,B,C都在半径为的圆上，直线AD直线BC，垂足为D，直线BE直线AC，垂足为E，直线AD与BE相交于点H，若,则ABC所对的弧长等于 （长度单位）.6. 或 （弦所对的劣弧与优弧长）EABDFGC（图1）3、如图1，ABC和GAF是两个全等的等腰直角三角形，图中相似三角形(不包括全等)共有( )A1对 B2对C3对 D4对答案：C4如图，在PAB中，点C、D在边AB上，PCPDCD，APB120(1)试说明APC与PBD相似(2)若CD1，ACx，BDy，请你求出y与x之间的函数关系式(3)小明猜想：若PCPD1，CPD，APB，只要与之间满足某种关系式，问题(2)中的函数关系式仍然成立你同意小明的观点吗？如果你同意，请求出与所满足的关系式；若不同意，请说明理曲 5、（2015浙江宁波，第17题4分）如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=12，过点A，D两点的O与BC边相切于点E，则O的半径为 【课堂练习】1、（2015年浙江杭州12分）如图，在ABC中(BCAC)，ACB=90，点D在AB边上，DEAC于点E（1）若，AE=2，求EC的长 （2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P，问：线段CP可能是CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由 2、如图所示，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，DME=A=B=a，且DM交AC于F，ME交BD于G。（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；（2）连结FG，如果a=45，AB=4，AF=3，求FG的长3、如图ABC中，AD为中线，CF为任一直线，CF交AD于E，交AB于F，求证：AE：ED=2AF：FB。4、如图，在三角形ABC中，AB=AC，点E、F分别在AB和AC上，CE与BF相交于点D，若AE=CF，D为BF的中点，则AE：AF为 能力提升训练：例1、如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=6，ABC=60；点P是射线AD上的一个动点（与点A不重合），BP与AC相交于点E，设AP=（1）求AC的长； （2）如果ABP和BCE相似，请求出的值； （3）当ABE是等腰三角形时，求的值。 ABDPCE解：（1）过点作 在中， 在中， （2）过点作 在中， 如果和相似 又 即 解得（不合题意，舍去） （3） 当时 即 解得 当时 即 解得 在中， 在线段上截取 综上所述，当是等腰三角形时， 例2、如图，矩形的边在的边上，顶点、分别在边、上已知，设，（1）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；1（2）联结，当为等腰三角形时，求的值解：（1）过点A作AHBC，垂足为H，.在中，.四边形是矩形，在上， ， ，, 又， ，,（2）当时，可证,得：，解得，此时，当时，可求：，得：，解得：，此时，当时，过作于，则，可证即：，得：，解得:此时，综上述，的值是或或。练习：1.如图，已知一个三角形纸片，边的长为8，边上的高为，和都为锐角，为一动点（点与点不重合），过点作，交于点，在中，设的长为，上的高为（1）请你用含的代数式表示（2）将沿折叠，使落在四边形所在平面，设点落在平面的点为，与四边形重叠部分的面积为，当为何值时，最大，最大值为多少？【答案】解：（1）（2）的边上的高为，当点落在四边形内或边上时，=（0）当落在四边形外时，如下图，设的边上的高为，则 所以 综上所述：当时，取，当时，取，当时，最大，MNCBEFAA12如图，已知直线与直线相交于点分别交轴于两点矩形的顶点分别在直线上，顶点都在轴上，且点与点重合 （1）求的面积；（2）求矩形的边与的长；（3）若矩形从原点出发，沿轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为秒，矩形与重叠部分的面积为，求关于的函数关系式，并写出相应的的取值范围ADBEOCFxyy（G）【答案】（1）解：由得点坐标为由得点坐标为由解得点的坐标为 （2）解：点在上且 点坐标为又点在上且点坐标为 （3）解法一：当时，如图1，矩形与重叠部分为五边形（时，为四边形）过作于，则ADBEORFxyyM（图3）GCADBEOCFxyyG（图1）RMADBEOCFxyyG（图2）RM即即当时，如图2，为梯形面积，G（8t,0）GR=,当时，如图3,为三角形面积，3已知：把RtABC和RtDEF按如图甲摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上BAC=DEF=90，ABC=45，BC=9cm，DE=6cm，EF=8cm如图乙，DEF从图甲的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向ABC匀速移动，在DEF移动的同时，点P从DEF的顶点F出发，以3cm/s的速度沿FD向点D匀速移动当点P移动到点D时，P点停止移动，DEF也随之停止移动DE与AC相交于点Q，连接BQ、PQ，设移动时间为t（s）解答下列问题：（1）设三角形BQE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（2）当t为何值时，三角形DPQ为等腰三角形？（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、B三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行线分线段成比例菁优网版权所有【专题】压轴题；分类讨论【分析】（1）在RtDEF中由勾股定理可以得到DF=10同理，在RtABC中，ABC=45，所以ABC为等腰直角三角形；由DEBC，ACB=45，知QEC也是等腰直角三角形，所以，QE=CE=t，则BE=BCCE=9t；则BQE的面积y=BEQE（0t）；（2）在RtDEF中，DE=6，DF=10，所以，cosD=，sinD=；在RtPDG中，通过sinD求得PG、cosD解得DG，那么GQ=DQDG；在RtPGQ中，利用勾股定理，求得PQ2若DPQ为等腰三角形时，分三种情况：若DP=DQ；若DP=PQ；当DQ=PQ时；（3）当t=0时，点B、P、Q在同一条直线上；当B、Q、P在同一直线上时，过点P作DE的垂线，垂足为G，则PGBE，DPGDFE；然后由相似三角形的对应边成比例求得 PG、DG的值，而DQ=6t，所以求得GQ=DQDG的值，根据平行线的判定定理知GPBE，可证GPQQBE，所以，GP：BE=GQ：EQ，从而解得t=，点B、Q、P在同一直线上【解答】解：（1）ACB=45，DEF=90，EQC=45EC=EQ=t，BE=9t，（2分）即：（）（1分）（2）当DQ=DP时，6t=103t，解得：t=2s（2分）当PQ=PD时，过P作PHDQ，交DE于点H，则DH=HQ=，由HPEF，则，解得s（2分）当QP=QD时，过Q作QGDP，交DP于点G，则GD=GP=，可得：DQGDFE，则，解得s（2分）（3）假设存在某一时刻t，使点P、Q、B三点在同一条直线上则，过P作PIBF，交BF于点I，PIDE，于是：，则，解得：s答：当s，点P、Q、B三点在同一条直线上（3分）【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线分线段成比例解答（2）题时，需注意分类讨论，全面考虑等腰三角形的腰与底的各种情况4如图，已知ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t2时，判断BPQ的形状，并说明理由；（2）设BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）作QR/BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，APRPRQ？【答案】 解：(1)BPQ是等边三角形,当t=2时,AP=21=2,BQ=22=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,所以BQ=BP.又因为B=600,所以BPQ是等边三角形.(2)过Q作QEAB,垂足为E,由QB=2y,得QE=2tsin600=t,由AP=t,得PB=6-t,所以SBPQ=BPQE=(6-t)t=t2+3t；(3)因为QRBA,所以QRC=A=600，RQC=B=600，又因为C=600,所以QRC是等边三角形,所以QR=RC=QC=6-2t.因为BE=BQcos600=2t=t,所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EPQR,EP=QR,所以四边形EPRQ是平行四边形,所以PR=EQ=t,又因为PEQ=900,所以APR=PRQ=900.因为APRPRQ,所以QPR=A=600,所以tan600=,即,所以t=,所以当t=时, APRPRQ 5、如图，已知过A（2，4）分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M、N，若点P从O点出发，沿OM作匀速运动，1分钟可到达M点，点Q从M点出发，沿MA作匀速运动，1分钟可到达A点（1）经过多少时间，线段PQ的长度为2？（2）写出线段PQ长度的平方y与时间t之间的函数关系式和t的取值范围；（3）在P、Q运动过程中，是否可能出现PQMN？若有可能，求出此时间t；若不可能，请说明理由；（4）是否存在时间t，使P、Q、M构成的三角形与MON相似？若存在，求出此时间t；若不可能，请说明理由【考点】相似形综合题菁优网版权所有【分析】（1）在直角PQM中利用勾股定理，PM2+MQ2=PQ2，即可列方程求得t的值；（2）根据（1）中的式子即可直接求解；（3）首先求得直线MN的解析式，PQMN则两直线的一次项系数乘积是1，据此即可求解；（4）分当PMQMON和QMPMON，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解【解答】解：（1）A（2，4），OM=AN=2，AM=ON=4，点P1分钟可到达M点，点Q1分钟可到达A点，点P的运动速度是2个单位每分钟，点Q的运动速度是4个单位每分钟设经过t分钟，则PM=22t，MQ=4t，在直角PQM中，PM2+MQ2=PQ2，即（22t）2+16t2=4，解得：t=或0（舍去），即经过分钟，线段PQ的长度为2；（2）y=（22t）2+16t2，即y=20t28t+4；（3）M的坐标是（2，0），N的坐标是（0，4），设直线MN的解析式是y=kx+b，则，解得：，则直线MN的解析式是：y=2x+4，当PQMN时：=，解得：t=，即当t=时，PQMN；（4）当PMQMON时，=，即：=，解得：t=；当QMPMON时，=，即=，解得：t=故当t=或时，P、Q、M构成的三角形与MON相似【点评】本题是相似三角形的性质以及勾股定理、一次函数的性质的综合应用，正确进行讨论是关键6、（2013杭州）如图，已知正方形ABCD的边长为4，对称中心为点P，点F为BC边上一个动点，点E在AB边上，且满足条件EPF=45，图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称，设它们的面积和为S1（1）求证：APE=CFP；（2）设四边形CMPF的面积为S2，CF=x，求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围，并求出y的最大值；当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时，求y的值【考点】四边形综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）利用正方形与三角形的相关角之间的关系可以证明结论；（2）本问关键是求出y与x之间的函数解析式首先分别用x表示出S1与S2，然后计算出y与x的函数解析式这是一个二次函数，求出其最大值；注意中心对称、轴对称的几何性质【解答】（1）证明：EPF=45，APE+FPC=18045=135；而在PFC中，由于