07~08中国石油大学华东线性代数考题答案

2007 2008 学年第一学期期末考试 线性代数 试卷答案与评分标准 2007 2008 学年第一学期期末考试 线性代数 试卷答案与评分标准 专业班级 姓 名 学 号 开课系室 应用数学系 考试日期 题 号 一 二 三 四 五 六 七 总分 得 分 阅卷人 卷 1 注 意 事 项 1 请在试卷正面答题 反面及附页可作草稿纸 2 答题时请注意书写清楚 保持卷面清洁 3 试卷本请勿撕开 否则作废 4 本试卷共七道大题 满分 100 分 注 意 事 项 1 请在试卷正面答题 反面及附页可作草稿纸 2 答题时请注意书写清楚 保持卷面清洁 3 试卷本请勿撕开 否则作废 4 本试卷共七道大题 满分 100 分 一 单项选择题 每小题 3 分 共 18 分 一 单项选择题 每小题 3 分 共 18 分 在下列每小题的 4 个备选项中 只有一个是最符合题意的 请将其代码 A B C D 填在题后的括号内 在下列每小题的 4 个备选项中 只有一个是最符合题意的 请将其代码 A B C D 填在题后的括号内 若A是 3 阶方阵 且1 A 则 A2 D A 2 B 2 C 8 D 8 设A和B均为n n 阶矩阵 则必有 C A BABA B BAAB C BAAB D 111 BABA 设矩阵 m n A 的秩为 R Amn m E为m阶单位阵 下列结论正确的是 A A A 的m个行向量必线性无关 B A 的任意m个列向量必线性无关 C A 的任意一个m阶子式不等于零 D 可通过初等行变换变为 0 m E 非齐次方程组bxA nm 中 系数矩阵 A 的秩为r 则 A A mr 时 bAx 有解 B nr 时 bAx 有唯一解 C nm 时 bAx 有解 D nr 时 bAx 有无穷多解 A 是三阶矩阵 有特征值 1 2 4 则下列矩阵中 满秩矩阵是 B A EA B 2EA C 2AE D 4AE 设 210 111 012 k k A 则A是正定阵的条件是 D A 2 k B 1 k D 对任何k A不正定 2 二 填空题 每小题 3 分 共 分 二 填空题 每小题 3 分 共 分 在下题每小题的横线上填入你认为正确的答案 在下题每小题的横线上填入你认为正确的答案 设 1 010 100 001 AA则则 010 100 001 已知向量组 2 5 4 0 0 0 2 1 1 2 1 321 t的秩为 2 则 t 3 若向量组 321 线性相关 则向量组 211 312 323 一定是线性 相关相关 的 已知向量 1 1 1 1 1 2 1 2 则与 1 2 同时正交的非零向量为 3 1 0 1 若线性方程组 414 343 232 121 axx axx axx axx 有解 则常数 4321 aaaa应满足条件 0 4321 aaaa 已知三维向量空间的一个基为 0 1 1 1 2 1 0 1 1 1 0 3 则向量 0 0 2 u在该基下的坐标是 1 1 1 3 三 计算题 每小题 6 分 共 4 分 三 计算题 每小题 6 分 共 4 分 1 计算行列式 1111 1111 1111 1111 1111 a a Da a a 解 将行列式的 2 3 4 5 行都加到第一行 然后第一行提出公因子 得 111111111 11111111 4 11111111 11111111 11111111 a aa Daaa aa aa 3 将第一行乘以 1 后加到其余各行 得 4 11111 01000 4 4 1 00100 00010 00001 a Daaaa a a 6 2 计算 n 阶行列式 ab ba ba ba 000 000 000 000 解 按第一行展开 即得 ba b ba b b a ba a ba aD n n 00 000 00 000 1 000 00 000 00 1 4 nnn ba 1 1 6 4 3 设 101 020 101 A 且BAEAB 2 求矩阵B 解 由BAEAB 2 得 EAEABEA 3 验证知矩阵EA 是可逆的 所以 201 030 102 EAB 6 4 已知PBAP 其中 100 000 001 B 112 012 001 P 求A及 5 A 解 114 012 001 112 012 001 1 1 P 2 1 PBPA 114 012 001 100 000 001 112 012 001 116 002 001 4 APBPPPBPBPA 11515 116 002 001 6 5 四 10 分 设有向量组 0 2 3 0 1 3 4 1 1 1 1 1 321 2 4 5 2 4 1 求此向量组的秩 并求一个最大无关组 2 将其余向量用这个最大无关组线性表示 解 记 2011 4231 5341 2011 A 0000 0000 1110 1101 r 4 故知 1 向量组的秩为 2 5 21 是一个最大无关组 6 2 213 214 10 6 五 10 分 设向量组 1234 线性无关 12342134 3124 4123 试证明向量组 1234 线性无关 证 证 设有数 1234 k k k k满足 11223344 kkkk0 将 i i 1 2 3 4 的 表达式代入并整理 得 23411342 12431234 kkk kkk kkk kkk 0 2 因为向量组 1234 线性无关 所以有 234 134 124 123 kkk0 kkk0 kkk0 kkk0 方程组的系数行列式 011111111111 101110110 111 D3330 1101110100 11 11101110000 1 方程组只有零解 1234 k k k k0 所以 1234 线性无关 5 设 A 为三阶实对称矩阵 且满足条件02 2 AA 已知 A 的秩2 Ar 求 A 的全部特征值 解 解 l A 的一个特征值 对应的特征向量为 则 0 A 2 2 A 于是 2 2 22 AA 由条件 02 2 AA推知0 2 2 又由于0 故有02 2 解得 0 2 3 因为实对称矩阵 且2 Ar 所以A必相似于对角阵 0 2 2 因此 矩阵 A 的全部特征值为0 2 321 5 7 六 10分 五 设有方程组 本题 10 分 五 设有方程组 本题 10 分 42 4 321 2 321 321 xxx xxx xxx 问 问 为何值时 此方程组有唯一解 无解或有无穷多解 并在有无穷多 解时求出其解 为何值时 此方程组有唯一解 无解或有无穷多解 并在有无穷多 解时求出其解 解 解 方程组的增广矩阵 22 114114 A b 11 01 14 11240228 114 0228 00 4 1 2 4 3 1 当4 1 时 3R AR A b 方程组有唯一解 5 2 当1 时 R AR A b 方程组无解 7 3 当4 时 2R AR A b 方程组有无穷多解 此时 11441030 0228 0114 00000000 A b 等价方程组 13 23 3 4 xx xx 方程组通解为 1 2 3 30 14 10 x xk x 10 8 七 10 分 已知二次型 32 2 3 2 2 2 1321 4332 xxxxxxxxf 求正交变换 Pyx 将此二次型化成标准型 并写出此标准型 解 解 3 2 1 321321 320 230 002 x x x xxxxxxf 3 2 1 321 x x x Axxx 特征多项式 5 2 1 320 230 002 AE 特征值为5 2 1 4 对于各个特征值 求特征向量 1时 0 220 220 001 3 2 1 x x x 解得 1 1 0 1 2时 0 120 210 000 3 2 1 x x x 解得 0 0 1 2 5时 0