二次函数与面积计算问题ppt课件

二次函数中的面积计算问题 例1 已知抛物线y x2 2x 3与x轴交于A B两点 其中A点位于B点的左侧 与y轴交于C点 顶点为P S AOC S BOC 0 3 1 0 3 0 1 4 S COP S PAB S PCB S ACP 在平面直角坐标系中 有两点A 1 0 B 3 0 如图 小敏发现所有过A B两点的抛物线如果与y轴负半轴交于点C M为抛物线的顶点 那么 ACM与 ACB的面积比不变 请你求出这个比值 2004绍兴中考题 二次函数中面积问题常见解决方法 一 运用 二 运用 四 运用分割 三 运用相似 例1 如图1 抛物线顶点坐标为点C 1 4 交x轴于点A 3 0 交y轴于点B 1 求抛物线和直线AB的解析式 2 求 CAB的铅垂高CD及S CAB 3 设点P是抛物线 在第一象限内 上的一个动点 是否存在一点P 使S PAB S CAB 若存在 求出P点的坐标 若不存在 请说明理由 一 运用 3 设P点的横坐标为x PAB的铅垂高为h 练习1 如图 在直角坐标系中 点A的坐标为 2 0 连结OA 将线段OA绕原点O顺时针旋转120 得到线段OB 1 求点B的坐标 2 求经过A O B三点的抛物线的解析式 3 在 2 中抛物线的对称轴上是否存在点C 使 BOC的周长最小 若存在 求出点C的坐标 若不存在 请说明理由 4 如果点P是 2 中的抛物线上的动点 且在x轴的下方 那么 PAB是否有最大面积 若有 求出此时P点的坐标及 PAB的最大面积 若没有 请说明理由 解 1 如图1 过点B作BM x轴于M 由旋转性质知OB OA 2 AOB 120 BOM 60 M C 3 存在 x 1代入直线AB的解析式 点C的坐标为 1 P 2 设经过A O B三点的抛物线的解析式为 2 如图 抛物线y x2 bx c与x轴交于A 1 0 B 3 0 两点 1 求该抛物线的解析式 2 设 1 中的抛物线交y轴于C点 在该抛物线的对称轴上是否存在点Q 使得 QAC的周长最小 若存在 求出点Q的坐标 若不存在 请说明理由 P 3 在 1 中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P 使 PBC的面积最大 若存在 求出点P的坐标及 PBC的面积最大值 若不存在 请说明理由 3 如图 已知抛物线y ax2 bx 4与直线y x交于点A B两点 A B的横坐标分别为 1和4 1 求此抛物线的解析式 2 若平行于y轴的直线x m 0 m 1 与抛物线交于点M 3 在 2 的条件下 连接OM BM 是否存在m的值 使得 BOM的面积S最大 若存在 请求出m的值 若不存在 请说明理由 与直线y x交于点N 交x轴于点P 求线段MN的长 用含m的代数式表示 抛物线的解析式为y x2 2x 4 MN MP PN m2 3m 4 当m 1 5时 S有最大值 如图 二次函数图象与轴x交于A B两点 A在B的左边 与y轴交于点C 顶点为M 为直角三角形 图象的对称轴为直线 P点是抛物线上位于A C两点之间的一个动点 则的面积的最大值为 C 西湖区2011学年第一学期期末测试 P 3 1 3 Q P Q 例2 贵州省遵义市 如图 在平面直角坐标系中 Rt AOB的顶点坐标分别为A 0 2 O 0 0 B 4 0 把 AOB绕点O逆时针方向旋转90 得到 COD 点A转到点C的位置 抛物线y ax2 bx c a 0 经过C D B三点 1 求抛物线的解析式 2 若抛物线的顶点为P 求 PAB的面积 3 抛物线上是否存在点M 使 MBC的面积等于 PAB的面积 若存在 请求出点M的坐标 若不存在 请说明理由 二 运用 P 1 抛物线经过B 4 0 C 2 0 可设抛物线的解析式为y a x 2 x 4 D 0 4 代入上式 2 S PAB S四边形PEOB S AOB S PEA 6 3 假设存在这样的点M 其坐标为M x y y 2 E C 练习1 已知二次函数y x2 ax a 2 1 求证 不论a为何实数 此函数图象与x轴总有两个交点 2 设a 0 当此函数图象与x轴的两个交点的距离为 时 求出此二次函数的解析式 3 若此二次函数图象与x轴交于A B两点 在函数图象上是否存在点P 使得 PAB的面积为 若存在 求出P点坐标 若不存在 请说明理由 1 a2 4 a 2 a 2 2 4 0 不论a为何实数 此函数图象与x轴总有两个交点 2 设x1 x2是x2 ax a 2 0的两个根则x1 x2 a x1x2 a 2 此函数图象与x轴的两个交点的距离为 x1 x2 2 13 即 x1 x2 2 4x1x2 13 a 2 4 a 2 13 整理得 a 1 a 5 0 解得a 1或a 5 a 0 a 1 此二次函数的解析式为y x2 x 3 3 设点P的坐标为 x y y 3 y 3再得x 2或x 3 x 0或x 1 P1 2 3 P2 3 3 P3 0 3 或P4 1 3 2 已知 t1 t2是方程t2 2t 24 0的两个实数根 且t1 t2 抛物线y x2 bx c的图象经过点A t1 0 B 0 t2 3 在 2 的条件下 当 OPAQ的面积为24时 是否存在这样的点P 使 OPAQ为正方形 若存在 求出P点的坐标 若不存在 说明理由 1 求这个抛物线的解析式 2 设点P x y 是抛物线上一动点 且位于第三象限 四边形OPAQ是以OA为对角线的平行四边形 求 OPAQ的面积S与x之间的函数关系式 并写出自变量x的取值范围 3 当S 24时 P的坐标为 3 4 4 4 当点P为 3 4 时 满足PO PA 此时 OPAQ是菱形 当点P为 4 4 时 不满足PO PA 此时 OPAQ不是菱形要使 OPAQ为正方形 那么 一定有OA PQ OA PQ 此时 点的坐标为 3 3 而 3 3 不在抛物线上 故不存在这样的点P 使 OPAQ为正方形 例3 如图 抛物线与x轴交于A x1 0 B x2 0 两点 且x1 x2 与y轴交于点C 0 4 其中x1 x2是方程x2 2x 8 0的两个根 1 求这条抛物线的解析式 2 点P是线段AB上的动点 过点P作PE AC 交BC于点E 连接CP 当 CPE的面积最大时 求点P的坐标 3 探究 若点Q是抛物线对称轴上的点 是否存在这样的点Q 使 QBC成为等腰三角形 若存在 请直接写出所有符合条件的点Q的坐标 若不存在 请说明理由 解 1 解方程x2 2x 8 0 得x1 2 x2 4 A 4 0 B 2 0 抛物线与x轴交于A B两点 可设抛物线的解析式为y a x 2 x 4 a 0 又 抛物线与y轴交于点C 0 4 a 2 4 4 三 运用相似 2 设点P的坐标为 m 0 过点E作EG x轴于点G 如图 A 4 0 B 2 0 AB 6 BP m 2 PE AC BPE BAC S CPE S CBP S BPE 2 m 4 当m 1时 S CPE有最大值3 此时点P的坐标为 1 0 G 练习1 如图 已知抛物线y ax2 bx c与x轴交于A B两点 与y轴交于点C 其中点A在x轴的负半轴上 点C在y轴的负半轴上 线段OA OC的长 OA OC 是方程x2 5x 4 0的两个根 且抛物线的对称轴是直线x 1 1 求A B C三点的坐标 2 求此抛物线的解析式 A 1 0 B 3 0 C 0 4 当m 2时 S有最大值2 D点坐标为 1 0 3 若点D是线段AB上的一个动点 与点A B不重合 过点D作DE BC交AC于点E 连结CD 设BD的长为m CDE的面积为S 求S与m的函数关系式 并写出自变量m的取值范围 S是否存在最大值 若存在 求出最大值并求此时D点坐标 若不存在 请说明理由 如图 抛物线y ax2 2ax c a 0 与y轴交于点C 0 4 与x轴交于A B两点 点A的坐标为 4 0 1 求该抛物线的解析式 2 点Q是线段AB上的动点 过点Q作QE AC 交BC于点E 连接CQ 当 CQE的面积最大时 求点Q的坐标 3 若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P 与直线AC交于点F 点D的坐标为 2 0 问是否有这样的直线l 使得 ODF是等腰三角形 若存在 请求出点P的坐标 若不存在 请说明理由 2 如图 在梯形ABCD中 DC AB A 90 AD 6厘米 DC 4厘米 BC的坡度i 3 4 动点P从A出发以2厘米 秒的速度沿AB方向向点B运动 动点Q从点B出发以3厘米 秒的速度沿B C D方向向点D运动 两个动点同时出发 当其中一个动点到达终点时 另一个动点也随之停止 设动点运动的时间为t秒 1 求边BC的长 2 当t为何值时 PC与BQ相互平分 3 连结PQ 设 PBQ的面积为y 探求y与t的函数关系式 求t为何值时 y有最大值 最大值是多少 BC 10 t 0 t 时 E F C D A B Q P E 综合 得 当t 3秒时 y有最大值为 厘米2 3 11 杭州 本小题满分12分 图形既关于点O中心对称 又关于直线AC BD对称 AC 10 BD 6 已知点E M是线段AB上的动点 不与端点重合 点O到EF MN的距离分别为h1和h2 OEF与 OGH组成的图形称为蝶形 1 求蝶形面积S的最大值 2 当以EH为直径的圆与以MQ为直径的圆重合时 求h1与h2满足的关系式 并求h2的取值范围 解 1 由题意 得四边形ABCD是菱形 即 由 ABD AEF 例4 如图 抛物线y x2 2x k与x轴交于A B两点 与y轴交于点C 0 3 图2 图3为解答备用图 1 k 点A的坐标为 点B的坐标为 2 设抛物线y x2 2x k的顶点为M 求四边形ABMC的面积 3 1 0 3 0 2 M的坐标为 1 4 S四边形ABMC S AOC S COM S MOB 9 四 运用分割方法 3 在x轴下方的抛物线上是否存在一点D 使四边形ABDC的面积最大 若存在 请求出点D的坐标 若不存在 请说明理由 4 在抛物线y x2 2x k上求点Q 使 BCQ是以BC为直角边的直角三角形 D 3 设D m m2 2m 3 连结OD 如图 则0 m 3 m2 2m 3 0 S四边形ABDC S AOC S COD S DOB 四边形ABDC的面积最大 4 Q1 2 5 和Q2 1 4 练习1 如图 已知抛物线y ax2 bx 3 a 0 与x轴交于点A 1 0 和点B 3 0 与y轴交于点C 1 求抛物线的解析式 2 设抛物线的对称轴与x轴交于点M 问在对称轴上是否存在点P 使 CMP为等腰三角形 若存在 请直接写出所有符合条件的点P的坐标 若不存在 请说明理由 3 如图 若点E为第二象限抛物线上一动点 连接BE CE 求四边形BOCE面积的最大值 并求此时E点的坐标 y x2 2x 3 S四边形BOCE最大 且最大值为 E 2 如图 已知抛物线y a x 1 2 a 0 经过点A 2 0 抛物线的顶点为D 过O作射线OM AD 过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C B在x轴正半轴上 连结BC 1 求该抛物线的解析式 2 若动点P从点O出发 以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动 设点P运动的时间为t s 问 当t为何值时 四边形DAOP分别为平行四边形 直角梯形 等腰梯形 3 若OC OB 动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发 分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动 当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动 设它们的运动的时间为t s 连接PQ 当t为何值时 四边形BCPQ的面积最小 并求出最小值及此时PQ的长 当t 6s 5s 4s时 四边形DAOP分别为平行四边形 直角梯形 等腰梯形 3 练习 如图 OAB是边长为2的等边三角形 过点A的直线y x m与x轴交于点E 3 若点P是 2 中求出的抛物线AE段上一动点 不与A E重合 设四边形OAPE的面积为S 求S的最大值 1 求点E的坐标 2 求过A O E三点的抛物线解析式 解 1 过点A作AF x轴于