浅谈高中数学中不等式的证明(原创)

浅谈高中数学中不等式的证明 【摘 要】针对不同类型不等式，探讨相应的证明方法，使证明更简洁、高效.【关键词】 比较法；综合法；分析法；反证法；三角换元法；放缩法不等式的证明是高中数学中的一个难点，其涉及面广、题型广泛、证发灵活多变。在高考中，命题方向重在考察逻辑推理能力，如何巧妙、简捷地实现不等式的论证，则需要选择正确的证明方法。下面我就高中数学中不等式的证明，给出以下几种常用的方法。一、比较法用比较法证明不等式，一般分三个步骤：作差（或作商）、变形、判断，变形一般为通分、因式分解、配方等。例1. 已知均为正实数，且，求证： 分析：用作差法证明证明：因为，所以故，所以例2. 设求证：分析：对于含有幂指数类的用作商法证明：因为，所以 而，故注：作商比较只适用于不等式两边同号时的比较。二、综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理证明，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫做顺推证法或由因导果法。例3. 为互不相等的正数，且，求证：分析：由所证形式联系到基本不等式证明：因为，且为互不相等的正数 所以 则注：利用综合法证明不等式时，注意基本不等式的应用技巧。三、分析法一般地，从要证明的不等式的结论出发，逐步寻求使此不等式成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫做分析法。分析法又叫逆推法或执果索因法。例4.若，且，求证：证明：因为，且，所以要证，即证，只需证，又即，化简得：即因，所以上面的不等式成立，则成立。注：分析法中通过“逆思”探寻证明思路，但要注意分析过程步步可逆。四、反证法一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。即否定结论逻辑推理导出矛盾否定结论错误，则原结论正确。例5.已知为不小于1的正数，求证：不可能同时大于分析：假设三个式子都大于，经推理得矛盾，证实结论的否定不成立，则原结论成立。证明：假设三个式子都大于，即， 则有基本不等式得：，同理得，将上面三式相加，得 ，即矛盾，故原不等式成立。注：反证法体现了数学中“正难则反”的思想，所推出的矛盾要么与已知条件矛盾，要么与定理、公理矛盾，要么与假设本身矛盾。 五、三角换元法 在不等式证明中，对于形如(a,b为常数)等类似形式为已知条件时，可引用三角换元化繁为简。将代数问题转化为三角问题。 例7.设实数满足，求证： 分析：由联想到三角换元 解析：令，则 当，即时，取得最大值 注：三角换元在不等式证明以及求函数的最值、解析几何中参数的范围及最值方面有着极大的作用，常常可化难为易。六、放缩法适当的放大或缩小，再利用不等式的传递性，达到证明的目的，常见的放缩法有：“添舍”放缩、“分母”放缩和“单调”放缩。例6.证明：分析：采用“分母”放缩法证明证明：由于 （且） 则 =即原不等式成立。 注：通常，若所证不等式两边形式