（京津鲁琼专用）2020版高考数学第二部分专题六函数与导数第2讲基本初等函数、函数与方程练习.docx

第2讲基本初等函数、函数与方程做真题题型一指数与指数函数1(2019高考全国卷)已知alog20.2，b20.2，c0.20.3，则()AabcBacbCcabDbca解析：选B.因为alog20.21，c0.20.3(0，1)，所以acb.故选B.2(2016高考全国卷)已知a2，b4，c25，则()AbacBabcCbcaDcab解析：选A.因为a216，b416，c25，且幂函数yx在R上单调递增，指数函数y16x在R上单调递增，所以bac.3(一题多解)(2019高考全国卷)已知f(x)是奇函数，且当x0可得x0时，f(x)f(x)ea(x)eax，则f(ln 2)ealn 28，所以aln 2ln 83ln 2，所以a3.法二：由f(x)是奇函数可知f(x)f(x)，所以f(ln 2)f(ealn )8，所以aln ln 83ln 2，所以a3.答案：3题型二对数与对数函数(一题多解)(2016高考全国卷)若ab1，0c1，则()AacbcBabcbacCalogbcblogacDlogaclogbc解析：选C.法一：由ab1，0cbc，A错；因为0c1，所以1c1ac1，又ab0，所以abbc1abac1，即abcbac，B错；易知ylogcx是减函数，所以0logcblogca，D错；由logbclogaclogac0，又ab10，所以alogbcblogac0，所以alogbc0，a1)3幂函数了解幂函数的概念：结合函数yx，yx2，yx3，y，yx的图象，了解它们的变化情况4函数与方程(1)结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系(2)了解二分法求方程近似解5函数模型及其应用(1)会比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义(2)了解函数模型的广泛应用(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)基本初等函数的图象与性质典型例题 (1)(2019高考北京卷)下列函数中，在区间(0，)上单调递增的是()AyxB y2xCylogxDy(2)(2019高考天津卷)已知alog27，blog38，c0.30.2，则a，b，c的大小关系为()AcbaBabc CbcaDca0，且a1)的图象可能是( )【解析】(1)对于幂函数yx，当0时，yx在(0，)上单调递增，当0，且a1)，当0a1时，yax在(，)上单调递增，而选项B中的函数y2x可转化为y，因此函数y2x在(0，)上单调递减，故选项B不符合题意；对于对数函数ylogax(a0，且a1)，当0a1时，ylogax在(0，)上单调递增，因此选项C中的函数ylogx在(0，)上单调递减，故选项C不符合题意，故选A.(2)因为alog27log242，blog381，c0.30.21，所以cba.故选A.(3)通解：若0a1，则y是减函数，而yloga是增函数且其图象过点，结合选项可知，没有符合的图象故选D.优解：分别取a和a2，在同一坐标系内画出相应函数的图象(图略)，通过对比可知选D.【答案】(1)A(2)A(3)D基本初等函数的图象与性质的应用技巧(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a1和0a1时，两函数在定义域内都为增函数；当0a0和bcBbacCbcaDcab解析：选D.alog3，cloglog35，由对数函数ylog3x在(0，)上单调递增，可得log35log3log33，所以ca1.借助指数函数y的图象易知b(0，1)，故cab，选D.3(2019贵州教学质量测评改编)已知函数yloga(x3)(a0，a1)的图象恒过定点A，则点A的坐标为_；若点A也在函数f(x)3xb的图象上，则f(log32)_解析：令x31可得x2，此时yloga1，可知定点A的坐标为.点A也在函数f(x)3xb的图象上，故32b，解得b1.所以f(x)3x1，则f(log32)3log321211.答案：1函数与方程典型例题命题角度一确定函数零点的个数或其存在情况 (1)已知实数a1，0b1，0b1，f(x)axxb，所以f(1)1b0，所以f(1)f(0)0，得函数f(x)的单调递增区间为(2，0，由f(x)0，得函数f(x)的单调递减区间为(，2)，且易知x1时，f(x)0恒成立，即证exa(x1)当x，令f(x)，则f(x)0，则f(x)单调递减，即有f(x)0成立，a可以是任意实数；当x1时，a，令f(x)，则f(x)，当x(1，2)时，f(x)0，f(x)单调递增，所以当x2时，f(x)取得极小值，也是最小值e2，即有ae2.综上，实数a的取值范围是(e2，0，故选A.【答案】(1)D(2)A利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解(3)转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解 对点训练1(2019长春市质量监测(一)已知函数f(x)与g(x)1sin x，则函数F(x)f(x)g(x)在区间2，6上所有零点的和为()A4B8C12D16解析：选D.令F(x)f(x)g(x)0，得f(x)g(x)，在同一平面直角坐标系中分别画出函数f(x)1与g(x)1sin x的图象，如图所示，又f(x)，g(x)的图象都关于点(2，1)对称，结合图象可知f(x)与g(x)的图象在2，6上共有8个交点，交点的横坐标即F(x)f(x)g(x)的零点，且这些交点关于直线x2成对出现，由对称性可得所有零点之和为42216，故选D.2已知函数f(x)kx(e为自然对数的底数)有且只有一个零点，则实数k的取值范围是_解析：由题意，知x0，函数f(x)有且只有一个零点等价于方程kx0只有一个根，即方程k只有一个根，设g(x)，则函数g(x)的图象与直线yk只有一个交点因为g(x)，所以函数g(x)在(，0)上为增函数，在(0，2)上为减函数，在(2，)上为增函数，g(x)的极小值g(2)，且x0时，g(x)，x时，g(x)0，x时，g(x)，则g(x)的图象如图所示，由图易知0k200，两边同时取对数，得n1，又3.8，则n4.8，即a5开始超过200，所以2022年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.2某食品的保鲜时间y(单位：h)与储存温度x(单位：)满足的函数关系式为yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数)若该食品在0 的保鲜时间是192 h，在22 的保鲜时间是48 h，则该食品在33 的保鲜时间是_ h.解析：由已知，得eb192，e22kb48，两式相除得e22k，所以e11k，所以e33kb(e11k)3eb19224，即该食品在33 的保鲜时间是24 h.答案：24一、选择题1已知函数f(x)(m2m5)xm是幂函数，且在x(0，)时为增函数，则实数m的值是()A2B4C3D2或3解析：选C.f(x)(m2m5)xm是幂函数m2m51m2或m3.又在x(0，)上是增函数，所以m3.2函数yax21(a0，且a1)的图象恒过的点是()A(0，0)B(0，1)C(2，0)D(2，1)解析：选C.令x20，得x2，所以当x2时，ya010，所以yax21(a0，且a1)的图象恒过点(2，0)3若alog，be，clog3cos ，则()AbcaBbacCabcDcab解析：选B.因为0log0，所以0ae01，所以b1.因为0cos 1，所以log3cos log310，所以cac，选B.4已知函数f(x)lg是奇函数，且在x0处有意义，则该函数为()A(，)上的减函数B(，)上的增函数C(1，1)上的减函数D(1，1)上的增函数解析：选D.由题意知，f(0)lg(2a)0，所以a1，所以f(x)lglg ，令0，则1x0且a1)的值域为y|00且a1)的值域为y|0y1，则0a1，故loga|x|是偶函数且在(0，)上单调递减，由此可知yloga|x|的图象大致为A.620世纪30年代，为了防范地震带来的灾害，里克特(C.F.Richter)制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为Mlg Alg A0，其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅已知5级地震给人的震感已经比较明显，则7级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的()A10倍B20倍C50倍D100倍解析：选D.根据题意有lg Alg A0lg 10Mlg (A010M)所以AA010M，则100.故选D.7已知f(x)|ln(x1)|，若f(a)f(b)(a0Bab1C2ab0D2ab1解析：选A.作出函数f(x)|ln(x1)|的图象如图所示，由f(a)f(b)(ab)，得ln(a1)ln(b1)，即abab0，所以0abab0，又易知1a0.所以ab40，所以ab0.故选A.8已知f(x)是定义在R上的奇函数，且x0时，f(x)ln xx1，则函数g(x)f(x)ex(e为自然对数的底数)的零点个数是()A0B1C2D3解析：选C.当x0时，f(x)ln xx1，f(x)1，所以x(0，1)时f(x)0，此时f(x)单调递增；x(1，)时，f(x)0时，f(x)maxf(1)ln 1110.根据函数f(x)是定义在R上的奇函数作出函数yf(x)与yex的大致图象如图所示，观察到函数yf(x)与yex的图象有两个交点，所以函数g(x)f(x)ex(e为自然对数的底数)有2个零点9(2019重庆市学业质量调研)已知函数f(x)2xlog3 ，若不等式f3成立，则实数m的取值范围是()A(1，)B(，1)CD解析：选D.由0得x(2，2)，又y2x在(2，2)上单调递增，ylog3 log3 log3在(2，2)上单调递增，所以函数f(x)为增函数，又f(1)3，所以不等式f3成立等价于不等式ff(1)成立，所以解得m1时，方程有两个实根C当k0时，方程有一个实根D当k1时，方程有实根解析：选ABD.方程f(x)k化为e|x|k|x|，设y1e|x|，y2k|x|.y2k|x|表示斜率为1或1的直线，折线与曲线y1e|x|恰好有一个公共点时，k1.如图，若关于x的方程f(x)k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是(1，)故选ABD.12(多选)已知函数f(x)|2x2|b的两个零点分别为x1，x2(x1x2)，则下列结论正确的是()A1x12Bx1x21Cx1x21解析：选AC.函数f(x)|2x2|b有两个零点，即y|2x2|的图象与直线yb有两个交点，交点的横坐标就是x1，x2(x1x2)，在同一平面直角坐标系中画出y|2x2|与yb的图象如图所示，可知1x122，所以2x1x24，所以x1x22.13(多选)已知f(x)为定义在R上的偶函数，当x0时，有f(x1)f(x)，且当x0，1)时，f(x)log2(x1)下列命题正确的有()Af(2 016)f(2 017)0B函数f(x)在定义域上是周期为2的周期函数C直线yx与函数f(x)的图象有1个交点D函数f(x)的值域为(1，1)解析：选ACD.根据题意，可在同一平面直角坐标系中画出直线yx和函数f(x)的图象如图所示，根据图象可知，A，f(2 016)f(2 017)0正确；B，函数f(x)在定义域上不是周期函数，所以B不正确；C，根据图象可知yx与f(x)的图象有1个交点，所以C正确；D，根据图象，函数f(x)的值域是(1，1)，所以D正确二、填空题14已知函数f(x)则ff(log2 )_解析：由题可得flog2，因为log2 0，所以f2log266，故ff8.答案：815已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在区间0，)上单调递增，若f(1)，则x的取值范围是_解析：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(ln x)ff(ln x)f(ln x)f(ln x)f(ln x)2f(ln x)，所以f(1)等价于|f(ln x)|f(1)，又f(x)在区间0，)上单调递增，所以1ln x1，解得xe.答案：16已知函数f(x)log3 a在区间(1，2)内有零点，则实数a的取值范围是_解析：因为函数f(x)log3a在区间(1，2)内有零点，且f(x)在(1，2)内单调，所以f(1)f(2)0，即(1a)(log32a)0，解得log32a1.答案：17偶函数f(x)满足f(x1)f(x1)，且当x0，1时，f(x)x，则