2019_2020学年高中数学第2章平面向量22.2向量的减法学案北师大版必修4.docx

2.2向量的减法学 习 目 标核 心 素 养1.知道向量减法的定义，理解相反向量的意义2掌握向量减法的运算及几何意义，能作出两个向量的差向量.1.通过学习向量减法的定义及相反向量，体会数学抽象素养2通过向量减法的运算及几何意义作出向量的差，体会数学直观素养.向量的减法(1)相反向量定义把与a长度相等、方向相反的向量，叫作a的相反向量，记作a；规定：零向量的相反向量仍是零向量性质(1)零向量的相反向量仍是零向量，于是00；(2)互为相反向量的两个向量的和为0，即a(a)(a)a0；(3)若ab0，则ab，ba定义向量a加上b的相反向量，叫作a与b的差，即aba(b)，求两个向量差的运算，叫作向量的减法几何意义如图，设a，b，则ab，即ab表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量思考：向量减法的三角形法则是什么？提示(1)两个向量a，b的始点移到同一点；(2)连接两个向量(a与b)的终点；(3)差向量ab的方向是指向被减向量的终点这种求差向量ab的方法叫作向量减法的三角形法则概括为“移为共始点，连接两终点，方向指被减”1下列等式中，正确的个数是()abba；abba；0aa；(a)a；a(a)0.A1B2C3D4C由向量的加法及几何意义，可得：abba，正确；由向量的减法及其几何意义，得ab(ba)，即错误；0aa，正确；根据相反向量的定义及性质得(a)a，正确；而a(a)00，错误2在ABC中，a，b，则()AabBabCbaDabCba.3设正方形ABCD的边长为2，则|_.4如图，原式|()()|2|，正方形边长为2.2|4.4已知|a|1，|b|2，|ab|，则|ab|_.根据平行四边形法则，()21222，平行四边形为矩形，那么|ab|ab|.向量减法法则的应用【例1】如图所示，已知向量a、b、c、d，求作向量ab、cd.解如图所示，在平面内任取一点O，作a，b，c，d.则ab，cd.利用向量减法进行几何作图的方法(1)已知向量a，b，如图所示，作a，b，利用向量减法的三角形法则可得ab，利用此方法作图时，把两个向量的起点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量(2)利用相反向量作图，通过向量求和的平行四边形法则作出ab.如图所示，作a，b，b，则a(b)，即ab.1如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量abc.解如图所示，在平面内任取一点O，作a，b，则ab，再作c，则abc.向量加减法的混合运算【例2】化简下列各式：(1)()()；(2).解(1)法一：原式()().法二：原式()0.(2)法一：原式.法二：原式().化简向量的和差的方法(1)如果式子中含有括号，括号里面能运算的直接运算，不能运算的去掉括号.(2)可以利用相反向量把差统一成和，再利用三角形法则进行化简.(3)化简向量的差时注意共起点，由减数向量的终点指向被减数向量的终点.提醒：利用图形中的相等向量代入、转化是向量化简的重要技巧.2化简下列式子：(1)；(2)()()解(1)原式0.(2)原式()()0.向量加减法的综合应用探究问题1向量减法的实质是什么？提示加法的逆运算2|ab|与|a|，|b|之间的大小关系如何？提示|a|b|ab|a|b|.3怎样求两个向量的差？提示两个向量的差也可用平行四边形法则及三角形法则求得：用平行四边形法则时，两个向量也是共起点，和向量是对角线所对应的向量点，和向量是对角线所对应的向量，而差向量是另一条对角线所对应的向量，方向是从减向量指向被减向量；用三角形法则时，把减向量与被减向量的起点相重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点即作非零向量a，b的差向量ab，可以简记为：共起点，连终点，指向被减4向量的模与平行四边形形状的几何结论有哪些？提示在OACB中，a，b，则：(1)若|a|b|，则OACB为菱形(2)若|ab|ab|，则OACB为矩形(3)若|a|b|，且|ab|ab|，则OACB为正方形【例3】如图所示，在ABCD中，a，b，用向量a，b表示、，并回答下面几个问题(1)当a、b满足什么条件时，ACBD?(2)当ABCD满足什么条件时，|ab|ab|?思路探究解答本题首先要弄清四边形与向量条件的对应关系，再结合图形，灵活转化求解解a，b，ab，ab.(1)当|a|b|时，ABCD为菱形，因为菱形的对角线互相垂直，故此时有ACBD.(2)当ABCD为长方形时，因为长方形的对角线相等，所以|ab|ab|.1将例3中的条件变为“ABCD中ABC60，a，b，若|a|ab|2”，求|ab|的值解依题意，|ab|2，如图所示而|a|2.因为ABC60，所以ABC是等边三角形，所以BCAB.所以ABCD为菱形，ACBD，所以|a|222，即41，所以|ab|2.2若将例3中的条件变为“设平面内四边形ABCD及任一点O，a，b，c，d，若acbd且|ab|ad|”试判断四边形ABCD的形状解由acbd得abdc，即，于是AB綊CD，四边形ABCD为平行四边形又|ab|ad|，从而|，|，四边形ABCD为菱形1关于向量的加法和减法，一种方法就是依据三角形法则通过作图来解决，另一种方法就是通过表示向量的有向线段的字母符号运算来解决2用几个向量表示某个向量问题的解题步骤是：第一步，观察向量位置；第二步，寻找(或作)有关的平行四边形或三角形；第三步，利用三角形或平行四边形法则找关系；第四步，化简结果1向量减法是向量加法的逆运算即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量如aba(b)2在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”解题时要结合图形，准确判断，区分ab与ba.3以向量a，b为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为ab，ba.1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个向量的差仍是一个向量()(2).()(3)ab的相反向量是ba.()(4)|ab|ab|.()答案(1)(2)(3)(4)2若菱形ABCD的边长为2，