数字信号处理程佩青第一章离散时间信号与系统新PPT课件

1 内容提要 1 1离散时间信号 序列1 2线性移不变系统1 3常系数线性差分方程1 4连续时间信号的抽样本章小结 2 1 1离散时间信号 序列 1 离散时间信号 序列的定义2 序列的运算3 几种常用序列4 序列的周期性和能量 返回本章 3 1 离散信号 序列的定义 信号 是消息的表现形式 消息则是信号的具体内容 信号可以定义为一个传载信息的函数 在信号处理领域中 信号被定义为一个随机变化的物理量 离散信号 离散时间信号是时间为离散变量的信号 是时间上不连续的序列 表示方法 简化 n是整数 不是整数时没有定义 不能认为零 离散时间信号在nT点上的值 也就是序列的第n个采样 4 1 离散信号的定义 序列的表示方式 为了方便 公式表示法 图形表示法 离散时间信号的图形表示 返回本节 5 2 序列的运算 主要包括 卷积和 移位 翻褶 和 积 累加 差分 6 序列的运算 移位 移位 整个序列移动 7 序列的运算 翻褶 翻褶 设某一个序列x n 则x n 是以n 0的纵轴为对称轴将序列x n 加以翻褶 8 序列的运算 和 积 和 z n x n y n 积 z n x n y n 注意 时刻对齐 9 序列的运算 累加 累加 设某个序列x n 则序列x n 的累加序列y n 定义为 含义 y n 在n0上的值等于序列x n 在n0处的值以及n0以前的所有n上的值之和 例 10 序列的运算 累加 累加 累加后的图形 累加 11 序列的运算 差分 差分 设某个序列x n 则序列x n 的差分定义为 前向差分 后向差分 例 12 序列的运算 差分 前向差分 后向差分 13 序列的运算 差分 前向差分图形 后向差分图形 14 序列的运算 卷积和 卷积和 设两个序列为x n h n 则序列x n 和序列h n 的卷积和定义为 卷积和是求离散线性时不变系统输出响应 零状态响应 的主要方法 卷积和的运算在图形表示上可分为四步 翻褶 移位 相乘 相加 15 序列的运算 卷积和 翻褶 移位 相乘 相加 先在原变量坐标m上作出x m 和h m 将h m 以m 0为对称轴翻褶成h m 将h m 移位n得到h n m n为正整数时 右移n位 n为负整数时 左移n位 将x m 和h n m 的相同m值的对应点值相乘 把以上所有相同点的乘积值叠加起来 得到y n 16 序列的运算 卷积和 第一步 翻褶 例 17 序列的运算 卷积和 第二步 移位 第三 四步 相乘 相加 18 序列的运算 卷积和 一般对两个序列的卷积进行求解时 往往需要分成几个区域来考虑 仍依上面的例子为例来进行一下说明 之所以要分段求解 是因为不同时间段上求和范围不同 19 分段考虑 1 n 1时 x m 和h n m 相乘时处处为零 故y n 0n 1 2 时 x m 和h n m 有交叠相乘的非零项是从m 1到m n 序列的运算 卷积和 20 3 时 x m 和h n m 有交叠相乘的非零项的m下限的范围是变化的 n 3 4 5分别对应m的下限为m 1 2 3 m的上限为3 4 时 x m 和h n m 没有非零的交叠部分 故 序列的运算 卷积和 21 卷积的性质 卷积和与两序列的先后顺序无关 返回本节 序列的运算 卷积和 22 3 几种常用序列 单位抽样序列 如何表达 注意与连续时间信号与系统中单位冲激函数的区别 23 单位冲激信号 Drac函数 24 脉冲串 或写为 1 1 1 将用来替换 冲激串 离散序列 25 单位抽样序列移位加权和的形式 用单位抽样序列表示任意序列 两种表述方式 和的卷积和 3 几种常用序列 26 单位阶跃序列 注意与连续时间信号与系统中单位冲激函数的区别 3 几种常用序列 27 单位抽样序列与单位阶跃序列之间的关系 后向差分 累加 令n m k 3 几种常用序列 28 矩形序列 3 几种常用序列 29 矩形序列与单位抽样序列及单位阶跃序列之间的关系 3 几种常用序列 30 实指数序列 实数 序列收敛 序列发散 3 几种常用序列 31 指数信号 32 复指数序列 或 是数字域频率 3 几种常用序列 33 正弦型序列 是幅度 是数字域频率 是起始相位 返回本节 3 几种常用序列 34 正弦型序列 Hz 0 rad s 抽样频率 Hz 定义 数字频率 3 几种常用序列 35 36 4 序列的周期性和能量 如果对于所有n 存在一个最小的正整数N 满足 则称x n 为周期性序列 周期为N 序列的周期性 下面讨论正弦型序列的周期性 37 如果 且 正弦序列为周期性序列 其周期满足 为整数时 N k为整数 4 序列的周期性和能量 38 分情况讨论 1 当为整数时 则当时 为最小正整数 正弦序列的周期为 为最小正整数 2 当不是整数 而是有理数时 设 其中 Q P为互素的整数 要使得是最小正整数 只有使 3 当为无理数时 任何k均不能使N为正整数 正弦序列不是周期的 4 序列的周期性和能量 39 无周期 4 序列的周期性和能量 40 序列的能量 定义 序列的能量是序列各抽样值的平方和 返回本节 4 序列的周期性和能量 41 1 2线性移不变系统 1 离散时间系统的定义2 什么是线性移不变系统3 线性移不变系统的单位抽样响应表示法4 线性移不变系统的性质5 系统的稳定性与因果性 返回本章 42 1 离散时间系统的定义 离散时间系统 离散系统在数学上定义为将输入序列x n 映射成输出序列y n 的惟一性变换或运算 亦即将一个序列变换成另一个序列的系统 记为 43 连续系统的描述 微分方程 卷积 转移函数 Laplace变换 频率响应 Fourier变换 本课程讨论的 线性移不变系统 是离散时间系统 返回本节 1 离散时间系统的定义 44 2 什么是线性移不变系统 线性移不变系统 是指具有线性和移不变特性的系统 1 系统的线性特性满足叠加原理的系统具有线性特性 这里包含了两个性质 可加性和比例性 齐次性 45 含意 该系统满足迭加原理 2 什么是线性移不变系统 46 2 系统的移不变特性 系统的移不变是指系统的参数不随时间而变化 用数学表示为 即不管输入信号作用的时间先后 输出信号响应的形状均相同 仅是出现的时间不同 如下图所示 2 什么是线性移不变系统 47 离散系统的移不变特性 含意 移不变性质保证对给定的输入 系统的输出和输入施加的时间无关 2 什么是线性移不变系统 48 3 线性移不变系统 线性移不变系统就是既满足迭加原理又具有移不变特性的系统 将其描绘如图所示 线性移不变系统模型 返回本节 2 什么是线性移不变系统 49 3 线性移不变系统的单位抽样响应表示法 线性移不变系统可用它的单位抽样响应来表示 1 单位抽样响应 是指输入为单位抽样序列时 系统的输出 一般用h n 来表示 即 知道h n 就可以求出系统的输出 50 3 线性移不变系统的单位抽样响应表示法 2 线性移不变系统的表示 设输入为x n 输出为y n 系统的输出y n 可以表示成输入x n 与单位抽样响应h n 的卷积和的形式 即 下面我们来推导一下这个公式 非常重要的公式 51 3 线性移不变系统的单位抽样响应表示法 我们知道序列x n 可以用单位抽样序列来表示 系统的输出y n 为 叠加性线性 移不变性 返回本节 52 4 线性移不变系统的性质 1 交换律 2 结合律 53 这就是说 两个线性移不变系统级联后仍构成一个线性移不变系统 其单位抽样响应为两系统单位抽样响应的卷积和 且线性移不变系统的单位抽样响应与它们的级联次序无关 4 线性移不变系统的性质 54 3 对加法的分配律 返回本节 这就是说两个线性移不变系统的并联 等式右端 等效于一个系统 此系统的单位抽样响应等于两系统各自的单位抽样响应之和 等式左端 4 线性移不变系统的性质 55 5 系统的稳定性与因果性 1 稳定性 对于一个系统 当输入序列是有界时 其输出也是有界的 则称它是稳定系统 用数学描述则为 如果 x n 对于一切n 则 y n 对于一切n 一个线性移不变系统是稳定系统的充分必要条件是 输入有界输出也有界 56 5 系统的稳定性与因果性 其中假设 x n M 因为 57 5 系统的稳定性与因果性 2 因果性 非因果系统 因果系统 含意 一个实际的物理系统 其当前时刻的输出只能和当前时刻的输入 过去时刻的输入与输出有关 而不能和将来时刻的输入与输出有关 58 一个线性非移变系统当n 0时的因果充要条件是其单位抽样响应等于零 即h n 0n 0这个充要条件可以从y n x n h n 的解析式中导出 5 系统的稳定性与因果性 59 例1 如何判断 线性 移不变 因果 稳定 线性 则 60 所以 系统对的输出是 对的输出是 而 由于 所以 本系统不具备移不变性 61 另外 系统 是因果的 但不是稳定的 例2 本系统是线性系统 非移不变系统 因果系统 如果则该系统是稳定的 边界条件 62 例3 所以本系统是非线性系统 63 例4 系统 均为非因果 线性 移不变性 因果性 稳定性是对系统的基本要求 希望能掌握判断的方法 非线性系统的研究不在本课的范围 返回本节 64 1 3常系数线性差分方程 1 常系数线性差分方程的表示及求解方法2 用迭代法求差分方程 求单位抽样响应 返回本章 65 1 常系数线性差分方程的表示及求解方法 1 常系数线性差分方程用来表示离散时间线性移不变系统的输入输出关系 常用以下形式表示 常系数 ak bm是常数 阶数 未知序列y n 的变量序号的最高值和最低值之差 线性 y n k x n m 各项都只有一次幂 且不存在相乘项 66 2 求解方法序列域 离散时域 求解法 a 迭代法 b 时域经典解法 c 卷积和计算法 变换域求解法 z变换法 67 2 用迭代法求差分方程 求单位抽样响应 差分方程在给定输入和给定边界 起始 条件下 可用迭代的办法求系统的响应 如果输入是这一特定情况 响应就是单位抽样响应h n 例 假设该系统是因果系统 试求其单位抽样响应 解 设 对于因果系统 必有 68 依次迭代求得 所以系统的单位抽样响应为 若 a 1 则系统是稳定系统 69 一个常系数线性差分方程 并不一定代表因果系统 例如边界条件假设不同 则可得到非因果系统 仍以上例为例 仍设 但边界条件设为 这样的系统是非因果系统 若 a 1 则系统是稳定的 70 同样 个常系数线性差分方程 只有当边界条件选的合适时才相当于一个线性移不变系统 仍考虑上面给出的例题当边界条件选为y 0 1时 则系统不是移不变系统 也不是线性系统 当边界条件选为y 0 0时 则相当于线性系统 但不是移不变系统 当边界条件选为y 一1 0时 则该系统才相当于线性移不变系统 返回本章 71 1 4连续时间信号的抽样 1 抽样2 理想抽样与实际抽样3 抽样定理 奈奎斯特定理4 抽样的恢复 重构 返回本章 72 1 抽样 抽样 将连续信号变成离散信号是通过抽样来完成的 抽样就是利用周期性抽样脉冲序列p t 从连续信号xa t 中抽取一系列的离散值 得到离散时间信号用表示 设p t 的周期为T 则T称为抽样周期 T的倒数称为抽样频率或抽样率 记为 fS 1 T 73 1 抽样 连续信号的抽样 返回本节 74 2 理想抽样与实际抽样 在对连续时间信号的抽样中 我们选取周期为T 脉宽为的周期性脉冲序列p t 作为抽样序列 1 当脉宽时 抽样序列p t 就变成冲激函数序列 各冲激函数准确地出现在抽样瞬间上 这种情况下的抽样就是理想抽样 冲激函数序列为 75 2 理想抽样与实际抽样 理想抽样输出为 76 2 理想抽样与实际抽样 2 当脉宽不趋于零时 抽样序列p t 是有一定宽度的矩形周期脉冲序列 这种情况下的抽样就是实际抽样 3 当脉宽时 这种情况下的抽样可以近似看成理想抽样 77 2 理想抽样与实际抽样 连续时间信号的抽样 返回本节 78 3 抽样定理 奈奎斯特定理 问题 信号被抽样后 频谱有什么变化 在什么条件下 能够由抽样数据信号恢复出原来的信号xa t 79 3 抽样定理 奈奎斯特定理 设信号xa t 为限带信号 最高频率为 式中各项的傅里叶变换 傅里叶变换 80 3 抽样定理 奈奎斯特定理 由于是周期函数 所以可以表示成傅里叶级数 有 此级数的基频即为抽样频率 系数Ak可以表示为 81 3 抽样定理 奈奎斯特定理 所以 将的值代入式 中 得到 82 3 抽样定理 奈奎斯特定理 由此可以看出 连续时间信号经抽样后所得到的离散时间信号 其频谱以抽样频率为间隔而重复 这就是频谱产生周期延拓 83 84 3 抽样定理 奈奎斯特定理 抽样定理 奈奎斯特定理任一连续信号xa t 设其频谱的最高频率分量为 则当对它进行抽样时 只要选择抽样频率等于或大于 就可以由这个抽样序列xa nT 来唯一准确地恢复xa t 要想抽样后能够不失真的还原出原信号 则抽样频率必须等于或大于两倍信号谱的最高频率 我们将抽样频率的一半称为折叠频率 85 实际抽样中 抽样脉冲不是冲激函数 而是一定宽度的矩形周期脉冲p t 这时乃奎斯特抽样定理是否仍然有效 由于p t 是周期函数 故仍然可以展成傅里叶级数 3 抽样定理 奈奎斯特定理 86 如果 T一定 则随着k而变化 Ck的幅度 Ck 将按照 3 抽样定理 奈奎斯特定理 而变化 作类似于前面的推导 可以得到实际抽样时 抽样数据信号的