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1 第一章实数集与函数 第一节实数 2 一实数及其性质 有理数 为整数 实数也可用有限十进小数或无限十进循环小数表示无理数 无限十进不循环小数目的 为了讨论需要 将有限小数 包括整数 也表示为无限小数 并作如下规定 上一页 下一页 3 对于正有限小数 包括正整数 表示成无限小数 再将所得无限小数前加负号 1 当时 其中为非负整数 记 2 当为正整数时 记 例如 2 对于负有限小数 包括负数 先将 例如 3 对于 4 二实数的大小比较 定义设 为非负实数 称有理数 为的位不足近似 而有理数为的位过剩 近似 对于负实数 称 为的位不足近似 为的位过剩近似 5 注 实数的不足近似当增大不减 即有 而过剩近似当增大时不增 即有 对于非负实数有 均为实数 命题 设 与为实数 则 的等价条件是 存在非负整数 使得 其中表示 的位不足近似 表示的位过剩近似 起证明见附录 第八节 6 例1设为实数 证明 存在有理数满足 证明由于 故存在非负整数 使得 令 则为有理数 且有 即有 说明 任意两实数间都有有理数 实数的性质 1实数对四则运算的封闭性 2有序性 3传递性 4具有阿基米德 性 即对任何 若 则存在正整数 使得 7 实数的稠密性 即任何两实数之间必有另一实数 且既有有理数 见例 也有无理数 实数与数轴上点一一对应 例 设 证明 若对任何正数 有 则 证明 反证 若 取 有 矛 盾 所以必有 注 为常数 不能为变数 二绝对值与不等式 自看 8 第二节数集确界原理 定义设 为开区间 记为 数集 数集 都称为半开半闭区间 分别 记为和 以上这几类区间统称为有限区间 满足关系式的全体实数的集合记作 这里符号 读作 无穷大 读作 正无穷大 类似的地 我们记 一区间与邻域 9 其中读作 负无穷大 以上几类数集都称为无限区间 有限区间和无限区间统称为区间 设 满足绝对值不等式的全体实数的集合称为点的邻域 记作 或简单地写作即有 点的空心邻域定义为 或简单地记作 注意 与的差别在于 不包含点 此外 我们还常用到以下几种邻域 点的右邻域简记为 点的左邻域简记为 10 11 12 13
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