分类计数原理和分步计数原理

分类计数原理和分步计数原理 授课人 yang 问题一 从甲地到乙地 可以乘火车 也可以乘汽车 一天中 火车有3班 汽车有2班 那么一天中 乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法 变式 从甲地到乙地 可以乘火车 也可以乘汽车 还可以乘飞机 一天中 火车有3班 汽车有2班 飞机有2班 那么一天中 乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法 分类计数原理和分步计数原理 3 2 5 3 2 2 7 完成一件事 有n类办法 在第1类办法中有m1种不同的方法 在第2类办法中有m2种不同的方法 在第n类办法中有mn种不同的方法 那么完成这件事共有 种不同的方法 分类计数原理 问题二 从甲地到乙地 要从甲地先乘火车到丙地 再于次日从丙地乘汽车到乙地 一天中 火车有3班 汽车有2班 那么两天中 从甲地到乙地共有多少种不同的走法 变式 从甲地到乙地 要从甲地先乘火车到丙地 再于次日从丙地乘汽车到丁地 第三天乘飞机从丁地到乙地 一天中 火车有3班 汽车有2班 飞机有2班 那么三天中 从甲地到乙地共有多少种不同的走法 3 2 6 3 2 2 12 完成一件事 需要分成n个步骤 做第1步有m1种不同的方法 做第2步有m2种不同的方法 做第n步有mn种不同的方法 那么完成这件事共有 种不同的方法 分步计数原理 思考 分类计数原理与分步计数原理有什么相同点和不同点 相同点 分类计数原理与分步计数原理都是涉及到完成一件事的不同方法的种数 不同点 分类计数原理与 分类 有关 各种方法相互独立 用其中任何一种方法都可以完成这件事 分步计数原理与 分步 有关 各个步骤相互依存 只有各个步骤都完成了 这件事才算完成 分类则加 分步则乘 例1书架的第1层放有4本不同的计算机书 第2层放有3本不同的文艺书 第3层放有2本不同的体育书 1 从书架上任取1本书 有多少种不同的取法 2 从书架的第1 2 3层各取1本书 有多少种不同的取法 解 1 从书架上任取一本书 有3类办法 第1类办法是从第1层取1本计算机书 有4种方法 第2类办法是从第2层取1本文艺书 有3种方法 第3类是从第3层取1本体育书 有2种方法 根据分类计数原理 不同取法的总数是 4 3 2 9答 从书架上任取1本书 有9种不同的取法 2 从书架的第1 2 3层各取1本书 可以分成3个步骤完成 第1步从第1层取1本计算机书 有4种方法 第2步从第2层取1本文艺书 有3种方法 第3步从第3层取1本体育书 有2种方法 根据分步计数原理 不同取法的总数是 4 3 2 24答 从书架的第1 2 3层各取1本书 有24种不同的取法 练习 1 填空 1 一件工作可以用2种方法完成 有5人会用第1种方法完成 另有4人会用第2种方法完成 从中选出1人来完成这件工作 不同选法的种数是 2 从A村去B村的道路有3条 从B村去C村的道路有2条 从A村经B村去C村 不同走法的种数是 9 6 2 现有高中一年级的学生3名 高中二年级的学生5名 高中三年级的学生4名 1 从中任选1人参加接待外宾的活动 有多少种不同的方法 2 从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动 有多少种不同的选法 答案 1 3 5 4 12 2 3 5 4 60 例2一种号码锁有4个拨号盘 每个拨号盘上有从0到9共10个数字 这4个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码 解 由于号码锁的每个拨号盘有从0到9这10个数字 每个拨号盘的数字有10种取法 根据分步计数原理 4个拨号盘上各取1个数字组成的四位数字的号码的个数是N 10 10 10 10 10000答 可以组成10000个四位数字号码 练习 1 一城市的某电话局管辖范围内的电话号码由八位数字组成 其中前四位数字是统一的 后四位数字都是0到9之间的一个数字 那么不同的电话号码最多有多少个 乘积 a1 a2 a3 b1 b2 b3 b4 c1 c2 c3 c4 c5 展开后共有多少项 答案 10 10 10 10 10000 答案 3 4 5 60 例 要从甲 乙 丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班 有多少种不同的选法 解 从3名工人中选1名上日班和1名上晚班 可以看成是经过先选1名上日班 再选1名上晚班这两个步骤完成 先选1名上日班 共有3种选法 上日班的工人选定后 上晚班的工人有2种选法 根据分步计数原理 所求的不同的选法数是N 3 2 6答 从3名工人中选出2名分别上日班和晚班 有6种不同的选法 练习 从5位同学中产生1名组长 1名副组长 有多少不同的选法 答案 5 4 20 小结 分类计数原理与分步计数原理体现了解决问题时将其分解的两种常用方法