第五章特征值和特征向量简版2010.8.doc

第五章 特征值和特征向量111历年试题分类统计及考点分布考点分值年份特征值和特征向量的定义、性质及计算相似矩阵的概念及性质、一般方阵的相似对角化实对称矩阵的特征值和特征向量的性质实对称矩阵的正交相似对角化相似对角化的应用其他合计8788888988909192437939495437969733698339983110053801028803101004990544064590743411084409441044合计524075116结构图正交矩阵若是正交阵，则(或)也是正交阵若，是正交阵，则也是正交阵若是正交阵，则为正交阵的充要条件是的个列（行）向量构成的一个规范基方阵对应于不同的特征值向量线性相关相似矩阵若与相似，则与也相似若与相似，且，则与相似若与相似，则若与相似，则若与相似，则，且有相同的特征值若与相似的充要条件是具有个线性无关的特征向量任给二次型，总有正交变换，使化为标准型正定二次型的判定惯性定理对称矩阵为正定的充要条件实对称矩阵的特征值为实数实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量正交设为阶实对称矩阵，则必有正交矩阵，使实对称矩阵合同矩阵若为对称矩阵，则亦为对称矩阵且考点分析1特征值与特征向量的概念及计算式这部分试题的一个重点.利用定义可以推出特征值和特征向量的其它一些性质,例如由的特征值和特征向量可以推出以及的多项式的特征值和特征向量;对于带参数问题,常常通过比较定义式两端的对应分量建立方程,以便定出或中的待定参数及特征值.在方阵的全部特征值都已知时,利用这些特征值的乘积可求出该方阵的行列式.2方阵的相似对角化是这部分试题的另一重点,这不仅是由于理论和应用上的需要,而且在判定能否对角化时,常常需要利用方阵可相似对角化的条件及齐次线性方程组飞基础解系等概念,在对角化的过程中,要求特征值(计算特征方程的根)和特征向量(求对应齐次线性方程组的基础解系),进行多种运算,所以,方阵的相似对角化,更应熟练掌握,因为用正交变换二次型为标准型(这是二次型中的基本问题之一)的实质就是用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵.方阵的相似对角化还可以用来计算的幂,以及利用为对角阵(在和已知时)反解出来.大纲要求考试内容矩阵的特征值和特征向量的概念、性质 相似变换、相似矩阵的概念及性质 矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵 实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵考试要求1 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量。2 理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法。3 掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质。一问题的提出在解决工程技术问题中经常需要计算方阵的幂.当m很大时，直接计算的计算量很大，为了简化计算，可找一个可逆矩阵P使 则而为了找到上述的矩阵P，令则即于是则我们称为方阵的特征值，称为的属于的特征向量.如果能找到可逆矩阵P使，则称方阵可对角化.所以的可对角化问题就转化为是否可以找到n个线性无关的特征向量的问题.二特征值和特征向量定义，求法和性质1.定义 若非零向量X满足，则称X是属于特征值的特征向量.2.求法 满足齐次组有非零解(1) 解,求A的特征值 (2) 解齐次组，求其全部非零解.3.特征多项式是的全部阶主子式之和.(1) 的迹(2) (3) 当时，于是 ，的特征值为 ，4.性质(1) 若是的属于的特征向量，则也是，,，,属于，的特征向量，其中是的多项式.(2) 若和都是的属于的特征向量，则当时，也是的属于的特征向量.(3) 设分别属于的特征向量.若则不是的特征向量. 证 用反证法，若是的特征向量，它所对应的特征值，则 由题设，以上两式相减得 ，由于与线性无关，故有，这与假设矛盾！ (4)若，则为的一个特征值，且的基础解系即为属于的线性无关的特征向量.(5)若，则的全部特征值为零.(6) 和具有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量.三相似矩阵及其性质定义 若存在可逆矩阵使则称方阵与相似，记作定理 相似关系具有反身性，对称性，传递性.性质 如果，则有(1)(2)（若、均可逆）(3)(4)(5)，从而、有相同的特征值.（但时，、不一定相似）（注意：与不一定可以对角化）(6) 从而、同时可逆或同时不可逆.(7)四、矩阵可相似对角化的充要条件定理1 阶方阵有个线性无关的特征向量.定理2 方阵的不同特征值对应的特征向量线性无关.（可用数学归纳法证明）推论 若阶方阵有个互不相等的特征值，则.定理3 设阶方阵有个互不相等的特征值，的属于的线性无关特征向量为 , 则,线性无关.证 设令，,则 若某个，则由上式至少有一个 .不妨设上式非零向量为 ，则它们分别是对应的特征向量，于是有 . 这说明线性相关，与各不相等矛盾！故所有的 即，由线性无关，知 故结论成立.定理4 若是方阵的重特征值，则的属于的线性无关的特征向量的个数.或者说的几何重数的代数重数.定理5 的每个特征值的线性无关的特征向量的个数等于特征值的重数. 或的每个特征的几 何重数的代数重数.注意 任意的方阵不一定都可相似对角化，例 判断矩阵是否可相似对角化.解 由 对特征值，解齐次组求特征向量.对，系数矩阵 故，对应的线性无关的特征向量个数为.对，系数矩阵故，对应的线性无关的特征向量的个数. 是2重特征根，却只有一个线性无关的特征向量，故不可能相似对角化，或者说是3阶方阵，却只有2个线性无关的特征向量，故不可能相似对角化.五矩阵相似对角化的步骤设方阵可相似对角化，即可逆矩阵使.(1) 解得特征值.(2) 解齐次组得相应的线性无关的特征向量(3) 得和对角阵 六实对称矩阵的相似对角化1.性质 设为实对称矩阵，则(1)的特征值为实数.(2)的不同特征值对应的特征向量必正交.(3)的每个特征值的重数和这个特征值对应的线性无关的特征向量的个数相同.(4)必能相似对角化，且存在正交矩阵使.2.对实对称阵，求正交矩阵使的步骤(1)解得特征值；(2) 解齐次组得相应的线性无关的特征向量；(3) 对特征值重根对应的特征向量进行正交规范化.对特征值单根对应的特征向量进行规范化，得；(4) 得正交阵和对角阵 典型题一判定矩阵是否可以对角化5.1 设是阶实对阶矩阵，是阶可逆矩阵.已知维列向量是的属于特 征值的特征向量，则矩阵属于特征值的特征向量是 .(023) (A) (B) (C) (D) 5.2 设为三阶方阵，为三维线性无关列向量组，且有， .(1)求的全部特征值(2)问是否可对角化？5.3 设矩阵的特征方程有一个二重根，求的值，并讨论是否相似对角化.(041)5.4 设矩阵，已知有三个线性无关的特征向量，是的二重特征值，试求可逆矩阵，使为对角矩阵.(004) 5.5 若矩阵相似于对角矩阵，试确定常数的值；并求可逆矩阵使.(032)5.6 设，其中且为非零实数，为的转置矩阵.(1) 证明，并求数（为正整数）(2) 求可逆矩阵，使为对角阵，并写出该对角阵.5.7 设求(1)的特征值与特征向量(2)一正交矩阵，使得为对角矩阵.5.8设是整数，若矩阵的伴随矩阵的特征值是4， 试求正交矩阵，使为对角形。分析 因为是正交矩阵，有，故，即。为此应当求矩阵的特征向量。 二求矩阵的特征值、特征向量5.9 设方阵满足条件，其中是的转置矩阵，为单位矩阵.试证明的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1.(904)5.10 已知，则矩阵有一个特征值 .5.11 已知是阶可逆矩阵，则与必有相同特征值的矩阵是（ ）(A) (B) (C) (D) 5.12 设阶矩阵与的特征多项式相同，则(A)、同时可逆或不可逆.(B)和有相同特征值与特征向量.(C)、与同一对角阵相似.(D)矩阵与相等.5.13设为阶矩阵的一个特征值, 求(为正整数), 的特征值; 当可逆时,求的特征值.5.14设是非奇异矩阵的一个特征值,则矩阵有一个特征值等于( )(A) (B) (C) (D) 5.15 设为阶矩阵, 0, 为的伴随矩阵, 为阶单位矩阵,若有特征值,则必有特征值( ) (199801)5.16 设矩阵，求的特征值与特征向量，其中为的伴随矩阵，为3阶单位矩阵.(031)5.17 设,都是非零向量，且满足条件，记阶矩阵，求 (1) ；(2) 矩阵的特征值和特征向量.(983)5.18设为2阶矩阵, 为线性无关的2维向量, ,则的非零特征值为 . (08,4分)5.19 设是阶方阵，是的两个不同的特征值，是的对应于的线性无关特征向量，是的对应于的线性无关特征向量.证明(1)，线性无关；(2)不是的特征向量.5.20已知,若矩阵与相似，那么的特征值是（ ）评注：本题涉及的知识点有：（1）如果，则；（2）如果，则， 有相同的特征值；，（3）若A 的特征值是，则与的特征值是5.21 设是秩为的阶实对称矩阵，满足=0, 那么的个特征值是（ ）5.23 3阶实对称矩阵的特征值是，是的属于的特征向量，（1）验证是的特征向量，并求出的全部特征值与特征向量；（2）求矩阵。5.24已知，是矩阵属于特征值的特征向量，和是矩阵属于的线性无关的特征向量，如果（1）=（2）=（3） （4）= 那么正确的矩阵是（ C ）（A ） （1）（2） （ B） （1）（3） （C） （2）（3） （ D） （2）（4）5.25如果阶矩阵的秩为，则 (A) 0是的特征值，重数不好确定.(B) 0不是的特征值.(C) 0是的特征值，重数大于一.(D) 0是的一重特征值.(891)5.26 是2阶矩阵，判断能否对角化并说明理由。5.27已知是的特征值，判断能否对角化，并说明理由。5.28设是矩阵的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则，线性无关的充分必要条件是(B) (A) ；(B) ；(C) ；(D) . 5.29三阶矩阵有特征值和2，证明可对角化，并求的相似对角形。5.30是n阶矩阵, ,，证明能对角化，并求的相似标准形。5.31 设有四阶方阵满足条件，其中是四阶单位阵，求方阵的伴随矩阵的一个特征值.(964)练习：1. 设(1)试求矩阵的特征值.(2)利用(1)小题的结果，求矩阵的特征值，其中是三阶单位矩阵.(893)2. 设矩阵是3阶矩阵，特征值是1，2，3，则(1)+2E的特征值是 (2) 的特征值是 (3)伴随矩阵的特征值是_ (4) 的特征值是_ (5) 的特征值是_5.32是阶矩阵，与都是非零矩阵，且，求的特征值、特征向量。 5.33已知均是3阶非零矩阵，且，证明0和1必是与的特征值，并且X若是A关于的特征向量，则X必是的的特征向量。5.34 设、为三阶矩阵，且的三个特征值为，则矩阵的特征值为 .练习：1. 设为3阶方阵,为的三个特征值，为的伴随矩阵，则矩阵的特征值为 .2.设是三阶方阵,则的全部特征值是 .(A) (B) (C) (D) 5.35若3维列向量满足,其中为的转置,则矩阵的非零特征值为 . (09,4分)5.36 设、为两个阶方阵，已知(1) 有个互异的特征值.(2) 的特征向量也是的特征向量.求证：.5.37已知是四阶方阵的三个不同特征值的特征向量，则的取值为(A) (B) (C) (D) 且5.38已知是矩阵的一个特征向量，(1)试确定参数及特征向量所对应的特征值.(2)问能否相似于对角阵？说明理由(972)5.39 设阶矩阵 () 求的特征值和特征向量；() 求可逆矩阵，使得为对角矩阵.(041) 5.40均是阶方阵，且秩,证明：有公共的特征向量。分析 （注意以下几种方法）1.，所以，故0是公共的特征值2.基础解系是关于0的特征向量.3.如何找公共的特征向量三 计算行列式的值5.41若四阶矩阵与相似,矩阵的特征值为,则行列式 .(003)练习：设是阶方阵,是的特征值，是阶单位阵，计算行列式的值.(941)5.42 已知为三阶方阵，且满足，行列式，则行列式 .5.43 设是三阶矩阵，已知，,则 .5.44 (1)设，矩阵，n为整数，求：|(2)已知矩=的特征值之和为3，之积为-24，则b=_，(3)设是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维向量是的属于特征值的特征向量，则矩阵属于特征值的特征向量是_（004）5.45 设为三阶相似矩阵,且，为的两个特征值，则行列式 .5.46 设阶方阵、相似，且行列式，则行列式 .5.47设、为阶方阵，其中为可对角化矩阵且满足，秩，则行列式 .5.48 已知为三阶可对角化方阵，为其三个特征值，为的伴随矩阵，则行列式 .5.49已知是3阶实对称矩阵，满足，求行列式的值。5.50 已知线性方程组 有无穷多解，而是三阶方阵，分别是关于特征值，的三个特征向量. 求；计算行列式.四 由特征值、特征向量求矩阵5.51 设三阶矩阵的特征值为，对应的特征向量依次为 ，又向量 (1)将用，线性表示；(2)求（为自然数）.(921)5.52设为三阶方阵，为其三个特征值，对应特征向量依次为.若令则等于 (A) (B)(C) (D)5.53设是阶矩阵的一个特征值，为的伴随矩阵，证明：（1）当时，为的一个特征值；（2）当时，有重零特征值和一个等于的特征值。注意：当0是的特征值时，1.的基础解系是0的特征向量；2.则0是重根。5.54是3阶实对称矩阵，的特征值是1，-1，0，其中与的特征向量分别是及，求矩阵5.55已知3阶矩阵的第1行元素全是1，且，是的3个特征相量，求 分析 的特征相量已知现应求出A的特征值，可用定义处理。5.56已知矩阵的第一行三个元素是3，又是的特征向量，求矩阵 。5.57已知是实对称矩阵的三个特征值,且对应的特征向量为,求对应于的特征向量及矩阵.5.58已知有三个线性无关的特征向量，求5.59已知是3阶实对称矩阵，特征值是1，1，-2，若属于的特征向量是，求矩阵5.60已知是3阶实对称矩阵，满足，求矩阵 5.61 是阶正交矩阵，是的实特征值，是相应的特征向量。证明只能是，并且也是的特征向量。5.62 设三阶实对称矩阵的特征值是；矩阵的属于特值的特征向量分别是 ，(1)求的属于特征值的特征向量；(2)求矩阵.(973)5.63设三阶实对称矩阵的秩为，是的二重特征值.若都是的属于特征值的特征向量()求的另一特征值和对应的特征向量；()求矩阵.(044) 5.64设是3阶实对称矩阵, 是矩阵的三个不同的特征值, 是相对应的单位特征向量.证明= 5.65若任一维非零向量都是阶矩阵的特征向量，则是数量矩阵。5.66 是3阶矩阵，且有3个相互正交的特征向量，证明是对称矩阵。分析非零向量组是线性无关的，故有3个线性无关的特征向量，即可以对角化，并且可以用正交变换单位化为对角形。五 相似矩阵问题5.67设、为阶矩阵，且与相似，为阶单位矩阵，则 (A)(B)与有相同的特征值和特征向量(C)与都相似于一个对角矩阵(D)对任意常数，与相似.(993)5.68设矩阵与相似，则必有（ ）.(A)、同时可逆或不可逆(B)和有相同的特征向量(C)和均与同一个对角阵相似(D)矩阵与相等5.69（练习） 设矩阵、分别为，且.则、分别为 ， .5.70设、为阶方阵，且对，有，则(A)(B)与相似(C)与合同(D)、同时可对角化或、同时不可对角化.5.71设、为同阶可逆矩阵，则 (A)(B)存在可逆矩阵，使(C)存在可逆矩阵，使(D)存在可逆矩阵和，使(973)5.72设矩阵与相似，可逆，和分别为和的伴随矩阵，证明与相似。5.73 设，为同阶方阵，(1)如果，相似，试证，的特征多项式相等.(2) 举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立.(3) 当，均为实对称矩阵时，试证(1)的逆命题成立.(021)5.74 阶方阵具有个不同的特征值是与对角阵相似的 (A)充分必要条件(B)充分而非必要条件(C)必要而非充分条件(D)既非充分也非必要条件.(933)5.75设为阶方阵，为阶可逆方阵，且，证明：(1) 若是的特征向量，则也是的特征向量.(2) 若有个不同的特征值，是的特征向量，则也是的特征向量.5.76 设阶方阵，但对某个正整数，有 ，证明：(1)；(2)不可能与对角相似.5.77 （练习）已知与 相似，(1)求与；