§3.2厄米算符(讲稿).doc

13 3.2 厄米算符 3.2 厄米算符设为厄米算符，其本征问题的解可分为分立谱和连续谱两种情况。 分立谱：，例如无限深方势阱中粒子的哈密顿量为厄米算符，本征值问题的解为 连续谱：例如动量是厄米算符，本征值问题的解为 一、 厄米算符的本征值为实数 以连续谱为例证明 因为厄米算符，则 二、 厄米算符的本征波函数正交 分立谱：，当； 连续谱：，当 以连续谱为例证明 因为厄米算符，则 所以 ，当 如果把本征波函数归一化或归格化到函数，那么厄米算符的本征波函数就构成一个正交、归一的函数系分立谱： 连续谱： 三 、本征波函数构成完备集合1、分立谱情况 可以证明：对于分立谱情况，厄米算符的本征波函数构成完备的函数系。 设为厄米算符任何一个满足适当边界条件和连续性要求的波函数，均可作向展开展开系数按下式计算： 为证明上式，只要用与展开式两边作内积 综上所述：厄米算符的本征波函数构成一个正交、归一、完备的函数系。m 正交、归一、完备的函数系 基底 矢量代数中的基底：m 展开系数 态矢在基矢上的投影 矢量在基矢 上的投影m 集合 态矢在基底上的表示 在基底上的表示m 用展开系数表示态的归一化 证明： 模方 态 中包括的百分比m 用展开系数表示在态上的平均值 证明：模方 在态上测量所得结果中出现的概率展开系数 概率幅概率幅的集合 态在表象上的表示其实，概率幅 在坐标表象上的表示而已！合理的假定：在任意状态上对力学量进行测量，所有可能出现的测量值都是该力学量的本征值。 由表达的力学量在态上的平均值用展开系数表示为例题1 证明1.3列出的定态特征（3）：在定态上，任何不显含时间的力学量的测量值的概率分布不随时间变化。 设定态为力学量的本征函数系为把定态中的向展开在定态上测量得到的测值为的概率为显然不随时间变化。思考 如果 不是定态，例如那么在上的测量值的概率分布如何随时间变化?m 封闭关系本征函数系的完备性用封闭关系表示因为，如果完备，则对任意态都有展开式代入因态任意，则有封闭关系2、 连续谱情况 在连续谱情况下，要证明一个算符的本征函数系是否完备，有时是很困难的。但经常用到的坐标和动量算符的本征函数系都是完备的。 下面列出的是分立谱和连续谱情况的对照表。对照分立谱情况，容易推导连续谱情况的计算公式（课下推导）。分立谱和连续谱对照表分立谱连续谱本征方程正交归一封闭关系展开式展开系数归一化平均值测量值概率（1）坐标本征方程： 本征值为的本征波函数： 因为: 正交归一化条件：封闭关系： 完备性，任何波函数都可以向“展开”：（2）动量 因为动量算符的本征函数系是定义在整条实轴上的平面波，作为Fourier 变换的基底，其完备性是显然的。 四 、简并 若本征问题的解为一个本征值对应一组线性无关的波函数本征值 度简并波函数 简并波函数当 时，但当时？简并波函数集合中的波函数不一定正交。例题2 设两个态函数和不正交，试由它们构造两个正交的态函数和 用代表在上的投影由和构造容易验证 三、 量子力学的基本假设1、 物理体系的状态由希尔伯特空间中的态矢量描述，体系的每一个力学量由对这些态矢量作用的线性厄米算符表达。2、 在任意状态上，对力学量进行足够多次