1.1函数和映射

欢迎同学们,登高必自,高等数学,主讲教师：苏本堂,联系地点文理大楼719电子邮件sbtmath办公室电话8242504手机号数学课开课漫谈,走好成才之路数学的重要性如何学好高等数学几点要求,老师寄语,人生起步，我们不是第一，幸运的是我们还在第一团队,多思多学，做好自己的人生规划,走好成才之路,团结宽容，自尊自爱自律,走好成才之路,学会学习积极进取远离网吧努力成才,走好成才之路,数学的重要性,（高等）数学是科学的大门和钥匙。,高科技本质上就是数学技术,数学是物理、化学、天文学、生物学等学科的基础,电子计算机是数学与工程技术相结合的产物,数学在经济、财政和金融等社会活动中，有重要意义,著名数学家华罗庚指出：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，地球之变，生物之迷，日用之繁”无一能离开数学。,著名数学家高斯的说“数学是科学的女王”,数学的重要性,（高等）数学是思维的体操,培根说“数学使人严密”,数学给予人们的更重要的是能力：观察实验、收集信息、归纳类比、直觉判断、逻辑推理、建立模型和精确计算。这些能力和培养，将使人终身受益。,数学能力就是管理力、领导力、致富力、成功力、竞争力。,想要在竞争激烈的社会中生存，必须具备数学的逻辑力、联想力、实践力等基本“工作能力”，这是职场必然的法则。,数学的重要性,（高等）数学是考研的必考科目，分量极重,考研一般考试4门课程：英语100分，政治100分，数学150分，专业150分数学课试卷内容结构高等教学56线性代数22%概率论与数理统计22,如何学好高等数学,理解概念数学中有很多概念。概念反映的是事物的本质,弄清楚了它是如何定义的、有什么性质，才能真正地理解一个概念。,掌握定理定理是一个正确的命题，分为条件和结论两部分。对于定理除了要掌握它的条件和结论以外，还要搞清它的适用范围，做到有的放矢。,如何学好高等数学,在弄懂例题的基础上作适量的习题、课本上的例题都是很典型的，有助于理解概念和掌握定理，要注意不同例题的特点和解法在理解例题的基础上作适量的习题。作题时要善于总结-不仅总结方法，也要总结错误。这样，作完之后才会有所收获，才能举一反三。,理清脉络要对所学的知识有个整体的把握，及时总结知识体系，这样不仅可以加深对知识的理解，还会对进一步的学习有所帮助。,如何学好高等数学,做好预习,适当做好课堂笔记,选择合适的课外指导书,几点要求,遵守课堂纪律按时上课，有事请假，杜绝旷课上课请关闭手机认真听讲，不许交头接耳,按时交作业，独立完成。交作业时间：每周第一次上数学课的时间作业纸购买时间：本周二、四晚上7:009:00地点：教学楼大厅,学习出现的问题和老师及时交流,初等数学研究对象：常量初等方法：有限的方法初等数学是用有限的方法研究常量的数学高等数学研究对象：变量（函数）研究方法：极限的方法高等数学是用极限的方法研究变量的数学,绪,一元微分学,一元积分学,多元微分学,空间解析几何,多元积分学,级数,常微分方程,高等数学,第一章函数与极限,第一节映射与函数,第二节数列的极限,第三节函数的极限,第四节无穷小与无穷大,第五节极限运算法则,第六节极限存在准则两个重要极限,第七节无穷小的比较,第八节函数的连续性与间断点,第九节连续函数的运算与初等函数的连续性,第十节闭区间上连续函数的性质,第一节映射与函数,一、集合,二、映射,三、函数,一、集合,集合与元素之间的关系aM：若x是集合的元素；,1.集合概念,(1)集合：具有某种特定性质的事物的总体，集合的元素通常用A，B，S，T等表示.,元素:组成这个集合的事物集合的元素通常用a，b，x，y等表示.,集合分为有限集和无限集.,aM:若x不是集合的元素.,(2)集合的表示法,列举法:将集合的元素一一列举出来,描述法:,如:,N=全体自然数，Z=全体整数，Q=全体有理数，R=全体实数.,(3)常用的集合记号,如果，必有,则称A是B的子集，记为,不含任何元素的集合，则称为空集记为.是任何集合的子集.,(4)集合的关系,若，且,则称A是B的真子集,记为.,若，且,则称A与B相等,记为.,2.集合的运算,设A、B是二个集合，定义,(A与B的并集),(A与B的交集),(A与B的差集),设I表示我们研究某个问题的全体,则其他集合A都是I的子集,称I为全集或基本集.,A的余集或补集记为:,例如:在实数集R中,则有,设A、B、C为任意三个集合，则有下列法则成立：,（1）交换律,（2）结合律,（3）分配律,（4）对偶律,以上这些法则都可以根据集合相等的定义验证.,集合的运算法则,3.区间和邻域,设a,bR,且ab,开区间,闭区间,半开区间,称a,b为区间的端点，称ba为这些区间的长度.,以上这些区间都称为有限区间.,无限区间,用数轴可以表示区间,区间常用I表示.,(2)点a的去心邻域：,注若不强调的大小，点a的去心邻域记为,邻域,点a的左邻域:开区间(a-,a),点a的右邻域:开区间(a,a+),(1)设是任一正数，称开区间(a-,a+)为点a的邻域，记为U(a,)，即,点a称为该邻域的中心，称为该邻域的半径.,二、映射,1、映射的概念,定义设X、Y是二个非空集合，如果存在一个法则f,使得对X中每个元素x,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应,则称f为从X到Y的映射,记为,其中y称为元素x(在映射f下)的像,记作f(x),即y=f(x),元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像;,集合X称为映射f的定义域,记作Df,即Df=X;,X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域,记作Rf或f(X),即,注意:,(1)一个映射必须具备以下三个要素:,集合X,即定义域Df=X,集合Y,即值域的范围:,与之对应.,(2)对每个,元素x的像y是唯一的;,对每个,元素y的原像不一定是唯一的;,映射f的值域是Y的一个子集,即,不一定.,例1设,对每个,.,显然,f是一个映射,f的定义域,值域,它是R的一个真子集.对于Rf中的元素y,除y=0外,它的原,像不是唯一的.如y=4的原像就有x=2和x=-2两个.,例2设,对每个,有唯一确定的,与之对应.,显然,f是一个映射,f的定义域,值域,这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x轴的区间-1,1上.,这里f是一个映射,其定义域,值域,f称为X到Y上的满射：若Rf=Y.即Y中任一元素y,f为X到Y上的单射:若对X中任意两个不同元素,满射单射一一映射,都是X中某元素的像.,f为一一映射(或双射):若映射f既是单射又是满射.,如:例1既非单射,又非满射;,例2不是单射,是满射;,例3既是单射,又是满射,因此是一一映射.,它们的像,映射又称为算子.,根据集合X、Y的不同情形,在不同的数学分支中,映射又有不同的惯用名称.,如:从非空集合X到数集Y的映射又称为X上的泛函.,从非空集合X到它自身的映射又称为X上的变换.,从实数集(或其子集)X到实数集Y的映射称为定义在X上的函数.,2.逆映射与复合映射,设f是X到Y上的单射,定义一个从Rf到X的新映射g,即,这个映射g称为f的逆映射,记作其定义域,值域,注意:只有单射才存在逆映射.,例1,2,3中,只有例3有逆映射:,设有两个映射,注意:,(1)映射g和f构成复合映射的条件:,两者也不同时有意义.,例4设有映射,对每个,对每个,三、函数,1.函数概念,对每个,按对应法则f,总有唯一确定的值y与之对应,这个值称为函数f在x处的函数值,记作f(x),即y=,函数值f(x)的全体所构成的集合称为函数f的值域,定义设数集,则称映射为定义D上的,函数，通常简记为,f(x).D称为定义域,记作,即,记作或f(D),即,函数是从实数集到实数集的映射,其值域总在R内.,函数的两要素:,定义域与对应法则f.,如果两个函数的定义域相同,对应法则也相同,那么这两个函数就是相同的,否则就是不同的.,约定:定义域是自变量所能取的使算式有(实际)意义的一切实数值.,如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数,例如:,对于多值函数,往往只要附加一些条件,就可以将它化为单值函数,这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支.,表示函数的主要方法有三种:表格法、图形法、解析法（公式法）.,定义:点集,称为函数,的图形.,常见的几种函数,例5函数y=2,例6函数,例7函数,称为符号函数,定义域D=(,+),值域=1,0,1.,注:对任意的x,有,阶梯曲线,x表示不超过x的最大整数,例8取整函数y=x,如-3.4=-4,1=1,定义域D=(,+),值域=Z.,例9函数,是一个分段函数.它的定义域D=0,+).,如:,2.函数的几种特性,(1)函数的有界性:,(2)有界与否是和X有关的.,(1)当一个函数有界时，它的界是不唯一的.,注意:,使,(3)证明无界的方法:对于任意正数M,总存在,(2)函数的单调性:,设函数f(x)的定义域为D,区间,如果对于区间I上任意两点x1和x2,当x1x2时,恒有,则称函数f(x)在区间I上是单调增加的(单调减少的);,(3)函数的奇偶性:,设函数f(x)的定义域为D关于原点对称,对于,有f(-x)=f(x)恒成立,则称f(x)为偶函数;,偶函数的图形关于y轴对称.,函数y=cosx是偶函数.,设函数f(x)的定义域为D关于原点对称,对于,有f(-x)=-f(x)恒成立,则称f(x)为奇函数.,奇函数的图形关于原点对称.,函数y=sinx是偶函数.,函数y=sinx+cosx既非奇函数,又非偶函数.,(4)函数的周期性:,函数sinx,cosx的周期是,函数tanx的周期是,（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.,则称f(x)为周期函数,l称为f(x)的周期.,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个正数l,使得,例10狄利克雷函数,它是一个周期函数,任何有理数都是它的周期,但它没有最小正周期.,3.反函数与复合函数,反函数的定义:,设函数,是单射,则它存在,若函数f(x)在D上是单调函数,则f-1也是f(D)上的单调函数.,直接函数与反函数的图形关于直线y=x对称.,复合函数,定义:设函数y=f(u)的定义域为D1,函数u=g(x)在D上有,称为由函数u=g(x)和函数y=f(u)构成的复合函数,它的定义域为D,变量u称为中间变量.,函数g与函数f构成的复合函数通常记为,注:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;,2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,如:,如:,4.函数的运算,设函数f(x),g(x)的定义域依次为,则可以定义这两个函数的下列运算：,和(差),积,商,例11设函数f(x)的定义域为(-l,l),证明必存在(-l,l)上的偶函数g(x)和奇函数h(x),使得,证先分析如下:假若这样的g(x)、h(x)存在,使得,(1),且,利用(1)、(2)式,就可作出g(x),h(x).,作,则,证毕.,5.初等函数,基本初等函数,(2)指数函数,(5)反三角函数y=arcsinx;y=arccosx;y=arctanx;y=arccotx;y=ar