12.2 可分离变量的微分方程

12.2可分离变量的方程,SeparableDifferentialEquations,一阶微分方程,一般形式：,特殊一点的形式：,如,如,的几何意义：方向场（斜率场）,例如，,微分方程,表示：,曲线y=f(x)在点(x,y)处的切线斜率为2xy,方向场与积分曲线,方向场与积分曲线（大范围）,方向场与积分曲线（局部）,一阶微分方程,的解的存在性及唯一性,设函数f(x,y)在矩形区域,内连续，则初值问题,在x0的某个邻域内至少有一个解：y=y(x),设偏导数,在矩形区域内连续，则这个解是唯一的。,了解,存在性,唯一性,即便是一阶微分方程,也没有一种统一求解的方法。微分方程必须根据不同的类型，用不同的方法求解。所以判别微分方程的类型十分重要。下面几节将讨论几种常见类型的方程的解法。,最简单的微分方程：,通解：,例如,可分离变量的微分方程,分离变量：,积分：,通解：,隐式解,验：,原方程,可分离变量的微分方程,分离变量：,例1,求通解：,解,分离变量：,积分：,通解,方向场与积分曲线,方向场与积分曲线,例,求初值问题：,解,整理：,分离变量：,积分：,通解：,通解：,将x=0,y=1代入：,2=C,特解：,微分方程的解是局部存在，唯一的,双曲线,with(DEtools):wffc:=y(x)*(1+x2)*diff(y(x),x)=x*(1+(y(x)2):DEplot(wffc,y(x),x=-2.2,y=-2.4,y(0)=-1,y(0)=1,y(0)=3,y(0)=2,linecolor=blue,red,blue,blue,color=blue,stepsize=0.01,scaling=constrained);,一族双曲线,对一些不能分离变量的微分方程，可以作变量替换将其化为可分离变量的方程。,例,解方程：,解,方程不能分离变量,令,原方程化为：,可分离变量,分离变量：,积分：,通解：,将x=0,y=1代入通解：,特解：,可分离变量的微分方程的应用,指数模型,设某一物质（人口、细菌、放射性元素）的总量x是时间的函数：x=x(t)(未知)已知：该物质的增长（减少）速度与该物质的总量成正比，且已知在时刻t=0时，x(0)=x0求总量函数x=x(t),x的增长（减少）速度：,已知：该物质的增长（减少）速度与该物质的总量成正比，且已知在时刻t=0时，x(0)=x0,建立微分方程：,增长模型,减少模型,同理,TheLawofNaturalGrowth,TheLawofNaturalDecay,增长模型,这是一个可分离变量的微分方程,通解,将t=0,x=x0代入：x0=C,特解：,指数增长ExponentialGrowth,同理,指数减少ExponentialDecay,plot(3*exp(0.3*x),x=0.6,thickness=3,view=0.6,0.18,ytickmarks=4);,指数增长ExponentialGrowth,plot(3*exp(-0.3*x),x=0.10,thickness=3,view=0.10,0.4,ytickmarks=4);,指数减少ExponentialDecay,例2,铀的衰减,指数减少模型,自学,例3,降落伞的运动,降落伞所受外力：F=mgkv由牛顿第二定律：F=ma建立微分方程：,外力分析：重力：mg,阻力：kv,分离变量：,积分：,初始条件：v(0)=0,初始条件：v(0)=0,通解