管理运筹学-第2章-线性规划的图解法.ppt

第二章线性规划的图解法一、线性规划问题及其数学模型,在生产管理和经营活动中经常需要解决：如何合理地利用有限的资源，以得到最大的效益。,例1.1某工厂可生产甲、乙两种产品，需消耗煤、电、油三种资源。现将有关数据列表如下：试拟订使总收入最大的生产方案。,解：设安排甲、乙产量分别为,总收入为，则模型为：,目标函数：总收入，记为z,则，为体现对其追求极大化，在z的前面冠以极大号Max；,决策变量：甲、乙产品的计划产量，记为；,约束条件：分别来自资源煤、电、油限量的约束，和产量非负的约束，表示为,线性规划模型的三要素,3.约束条件：为实现优化目标需受到的限制，用决策变量的等式或不等式表示。,1.决策变量：需决策的量，即待求的未知数；,2.目标函数：需优化的量，即欲达的目标，用决策变量的表达式表示；,线性规划模型的一般形式：（以MAX型、约束为例）,决策变量：目标函数：约束条件：,则模型可表示为,模型一般式的矩阵形式,记,回顾例1.1的模型,其中表示决策变量的向量；表示产品的价格向量；表示资源限制向量；表示产品对资源的单耗系数矩阵。,一般地其中称为决策变量向量，称为价格系数向量,称为技术系数矩阵,称为资源限制向量。,问题：为什么A称为技术系数矩阵？,二、线性规划模型的图解法,图解法是用画图的方式求解线性规划的一种方法。它虽然只能用于解二维（两个变量）的问题，但其主要作用并不在于求解，而是在于能够直观地说明线性规划解的一些重要性质。,2020/4/26,例1用图解法求解线性规划问题,maxZ=50X1+100X2X1+X23002X1+X2400s.t.X2250X1，X20,2020/4/26,（1）分别取决策变量X1，X2为坐标向量建立直角坐标系。在直角坐标系里，图上任意一点的坐标代表了决策变量的一组值，例1的每个约束条件都代表一个半平面。,X20,X10,2020/4/26,13,13,（2）对每个不等式（约束条件），先取其等式在坐标系中作直线，然后确定不等式所决定的半平面。,X1+X2300,X1+X2=300,100,100,200,2X1+X2400,2X1+X2=400,300,200,300,400,100,200,300,x1,x1,100,200,300,x2,x2,2020/4/26,14,（3）把五个图合并成一个图，取各约束条件的公共部分，如图2-1所示。,100,100,X2250,X2=250,200,300,200,300,x1,x2,2020/4/26,15,（4）目标函数Z=50X1+100X2，当Z取某一固定值时得到一条直线，直线上的每一点都具有相同的目标函数值，称之为“等值线”。平行移动等值线，当移动到B点时，z在可行域内实现了最大化。A，B，C，D，E是可行域的顶点，对有限个约束条件则其可行域的顶点也是有限的。,x1,x2,z=20000=50 x1+100 x2,z=27500=50 x1+100 x2,z=0=50 x1+100 x2,z=10000=50 x1+100 x2,C,B,A,D,E,由图可知：顶点B为最优解。X1=50,X2=250Z=50 x50+250 x100=27500,（1）做约束的图形先做非负约束的图形；再做资源约束的图形。以例1.1为例，其约束为,各约束的公共部分即模型的约束，称可行域。,1.图解法的步骤,(2)做目标的图形,做出相应的二直线，便可看出增大的方向。,对于目标函数,便可做出相应的二组任给Z不同的值，形成二直线，用虚线表示。以例1.1为例，其目标为,分别令,（3）求出最优解将目标直线向使目标优化的方向移，直至可行域的边界为止，这时其与可行域的“切”点即最优解。如在例1.1中，是可行域的一个角点，经求解交出的二约束直线联立的方程可解得,由图解法的结果得到例1.1的最优解还可将其代入目标函数求得相应的最优目标值。说明当甲产量安排20个单位，乙产量安排24个单位时，可获得最大的收入428。,2.由图解法得到线性规划解的一些特性,（1）线性规划的约束集（即可行域）是一个凸多面体。凸多面体:把多面体的任何一个面伸展成平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体就叫做凸多面体。凸多面体的任何截面都是凸多边形。,（2）线性规划的最优解（若存在的话）必能在可行域的角点（顶点）获得。,因为，由图解法可知，只有当目标直线平移到边界时，才能使目标z达到最大限度的优化。,问题：本性质有何重要意义？,本性质重要意义：,这样，问题就转化为从有限多个角点中寻找最优点，使原来从所有可行解中去寻找最优解的工作大大简化。线性规划的单纯形解法的依据就是这两个性质。,（3）线性规划解的几种情形,唯一最优解,多重最优解,无解,无有限最优解（无界解）,重要结论：如果线性规划有最优解，则一定有一个可行域的顶点对应一个最优解；无穷多个最优解。无界解。即可行域的范围延伸到无穷远，目标函数值可以无穷大或无穷小。一般来说，这说明模型有错，忽略了一些必要的约束条件；无可行解。则可行域为空域，不存在满足约束条件的解，当然也就不存在最优解了。,小结,线性规划LP(linearprogramming)的定义：LP是在有限资源的条件下，合理分配和利用资源，以期取得最佳的经济效益的优化方法。LP有一组决策变量，一个目标函数，一组约束条件，目标函数和约束方程都是线性的。,重要性：,要想在工农业生产、交通运输、商业贸易等各方面提高效益，有两种途径：一是革新技术，二是改进生产组织与计划，即合理安排有限的人力和物力资源，最合理地组织生产过程。数学规划能够为更好地配置资源、组织生产提供理论与方法，包括线性规划、非线性规划、整数规划、多目标规划等很多分支。其中线性规划是在现代管理中运用最广、理论比较完善的一个部分。随着电子计算机的发展，数学规划在现代管理中的重要性日益明显。,线性规划的标准化内容之一：引入松驰变量（含义是资源的剩余量）例1.1中引入s1，s2，s3模型化为目标函数：Maxz=7x1+12x2+0s1+0s2+0s3约束条件：9x1+4x2+s1=3604x1+5x2+s2=200s.t.3x1+10 x2+s3=300 x1,x2,s1,s2,s30对于最优解x1=20 x2=24，s1=84s2=0s3=0说明：生产20单位甲产品和24单位乙产品将消耗完所有可能的电和油，但对煤则还剩余84个单位。,线性规划的标准化一般形式目标函数：Max（Min）z=c1x1+c2x2+cnxn约束条件：a11x1+a12x2+a1nxn（=,）b1a21x1+a22x2+a2nxn（=,）b2s.t.am1x1+am2x2+amnxn（=,）bmx1，x2，xn0标准形式目标函数：Maxz=c1x1+c2x2+cnxn约束条件：a11x1+a12x2+a1nxn=b1a21x1+a22x2+a2nxn=b2s.t.am1x1+am2x2+amnxn=bmx1，x2，xn0，bi0,可以看出，线性规划的标准形式有如下四个特点：目标最大化；约束为等式；决策变量均非负；右端项非负。对于各种非标准形式的线性规划问题，我们总可以通过以下变换，将其转化为标准形式:,1.极小化目标函数的问题：设目标函数为Minf=c1x1+c2x2+cnxn(可以)令z-f，则该极小化问题与下面的极大化问题有相同的最优解，即Maxz=-c1x1-c2x2-cnxn但必须注意，尽管以上两个问题的最优解相同，但它们最优解的目标函数值却相差一个符号，即Minf-Maxz,2.约束条件不是等式的问题：设约束条件为ai1x1+ai2x2+ainxnbi可以引进一个新的变量s，使它等于约束右边与左边之差s=bi(ai1x1+ai2x2+ainxn)显然，s也具有非负约束，即s0，这时新的约束条件成为ai1x1+ai2x2+ainxn+s=bi,当约束条件为ai1x1+ai2x2+ainxnbi时，类似地令s=(ai1x1+ai2x2+ainxn)-bi显然，s也具有非负约束，即s0，这时新的约束条件成为ai1x1+ai2x2+ainxn-s=bi,为了使约束由不等式成为等式而引进的变量s，当不等式为“小于等于”时称为“松弛变量”；当不等式为“大于等于”时称为“剩余变量”。如果原问题中有若干个非等式约束，则将其转化为标准形式时，必须对各个约束引进不同的松弛变量。3.右端项有负值的问题：在标准形式中，要求右端项必须每一个分量非负。当某一个右端项系数为负时，如bi0，则把该等式约束两端同时乘以-1，得到：,例：将以下线性规划问题转化为标准形式Minf=2x1-3x2+4x33x1+4x2-5x362x1+x38s.t.x1+x2+x3=-9x1,x2,x30解：首先,将目标函数转换成极大化：令z=-f=-2x1+3x2-4x3其次考虑约束，有2个不等式约束，引进松弛变量与剩余变量x4，x50。第三个约束条件的右端值为负，在等式两边同时乘-1。,通过以上变换，可以得到以下标准形式的线性规划问题：Maxz=-2x1+3x2-4x33x1+4x2-5x3+x4=6s.t.2x1+x3-x5=8-x1-x2-x3=9x1,x2,x3,x4,x50*4.变量无符号限制的问题*：在标准形式中，必须每一个变量均有非负约束。当某一个变量xj没有非负约束时，可以令xj=xj-xj”其中xj0，xj”0即用两个非负变量之差来表示一个无符号限制的变量，当然xj的符号取决于xj和xj”的大小。,36,三、图解法的灵敏度分析,灵敏度分析：建立数学模型和求得最优解后，研究线性规划的一个或多个参数（系数）ci,aij,bj变化时，对最优解产生的影响。3.1目标函数中的系数ci的灵敏度分析考虑例1的情况，ci的变化只影响目标函数等值线的斜率，目标函数z=50 x1+100 x2在z=x2(x2=z斜率为0)到z=x1+x2(x2=-x1+z斜率为-1)之间时，原最优解x1=50，x2=100仍是最优解。一般情况：z=c1x1+c2x2写成斜截式x2=-(c1/c2)x1+z/c2目标函数等值线的斜率为-(c1/c2)，当-1-(c1/c2)0（*）时，原最优解仍是最优解。,37,假设产品的利润100元不变，即c2=100，代到式（*）并整理得0c1100假设产品的利润50元不变，即c1=50，代到式（*）并整理得50c2+假若产品、的利润均改变，则可直接用式（*）来判断。假设产品、的利润分别为60元、55元，则-2-(60/55)-1那么，最优解为z=x1+x2和z=2x1+x2的交点x1=100，x2=200。,38,3.2约束条件中右边系数bj的灵敏度分析当约束条件中右边系数bj变化时，线性规划的可行域发生变化，可能引起最优解的变化。考虑例1的情况：假设设备台时增加10个台时，即b1变化为310，这时可行域扩大，最优解为x2=250和x1+x2=310的交点x1=60，x2=250。变化后的总利润-变化前的总利润=增加的利润(5060+100250)-(5050+100250)=500500/10=50元。说明在一定范围内每增加（减少）1个台时的设备能力就可增加（减少）50元利润，称为该约束条件的对偶价格。,39,假设原料A增加10千克时，即b2变化为410，这时可行域扩大，但最优解仍