2.5函数的值域与最值

第5讲函数的值域与最值,【学习目标】理解函数的最大(小)值的概念及几何意义，熟练掌握基本初等函数的值域，掌握求函数的值域和最值的基本方法,【基础检测】1设函数f(x)的定义域为R，有下列三个命题：若存在常数M，使得对任意xR，有f(x)M，则M是函数f(x)的最大值；若存在x0R，使得对任意xR，且xx0，有f(x)f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的最大值；若存在x0R，使得对任意xR，有f(x)f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的最大值这些命题中，正确命题的个数是()A0个B1个C2个D3个,C,【解析】根据最大值的定义，对于M可能是最大值，也可能是比最大值还大的数；则显然与最大值的定义是一致的，因此是正确的,2函数yx22x的定义域是0,1,2，则该函数的值域为()A1,0B0,1,2Cy|1y0Dy|0y2,A,【解析】当x0时，y0；当x1时，y1；当x2时，y0.故值域为1,0,B,B,5已知函数f(x)x22x3，若在0，m上有最大值为3，最小值为1，则m的取值范围是,2,4,【解析】f(x)(x2)21，由图可知：m2,4,【知识要点】1函数的值域函数f(x)的值域是的集合，记为y|yf(x)，xA，其中A为f(x)的定义域2常见函数的值域(1)一次函数ykxb(k0)的值域为.(2)二次函数yax2bxc(a0)，当a0时，值域为，)；当a0时，值域为(，,函数值y,R,(3)反比例函数y(k0)的值域为.(4)指数函数yax(a0且a1)的值域为.(5)对数函数ylogax(a0且a1)的值域为.(6)正、余弦函数ysinx，ycosx的值域为；正切函数的值域为.,(，0)(0，),(，0)(0，),R,3函数的最值一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M：(1)若xI，f(x)M且x0I，f(x0)M，则称M为f(x)的(2)若xI，f(x)M且x0I，f(x0)M，则称M为f(x)的,最大值,最小值,(3)单调性法和导数法：如求无理函数的值域，务必先考虑定义域，若为单调函数，则直接求解即可；若不是单调函数，往往通过换元转化为二次函数、三角函数等函数的值域问题或利用均值不等式求解换元时，务必注意新变量的取值范围，否则将会扩大取值范围,(4)判别式法：主要适用于可化为关于x的二次方程a(y)x2b(y)xc(y)0的函数yf(x)在由0且a(y)0,求出y的最值后，要检验这个最值在定义域内是否有相应的x的值(5)换元法：主要有三角代换、二元代换、整体代换等用换元法时，一定要注意新变量的取值范围(6)数形结合法：常用于解答选择题、填空题或探究解题思路,二、函数的最值例2已知二次函数f(x)ax2bx，f(x1)为偶函数，函数f(x)的图象与直线yx相切(1)求f(x)的解析式；(2)若常数k，存在区间m，n(m0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值等于()A2B3C6D9,D,(2)(2011北京)已知函数f(x)(xk)ex.()求f(x)的单调区间；()求f(x)在区间0,1上的最小值,()当k10，即k1时，f(x)在0,1上单调递增，f(x)minf(0)k；当0k11，即1k2时，由()知f(x)在0，k1上单调递减，k1,1上单调递增，f(x)minf(k1)ek1，当k11，即k2时，f(x)在0,1上单调递减，f(x)minf(1)(1k)e.综上所述：当k1时，f(x)mink；当1k2时，f(x)minek1；当k2时，f(x)min(1k)e.,【命题立意】(1)本题考查了用导数求极值，均值不等式等知识，题目难度中等，重在考查基础知识和基本计算能力(2)本题考查利用导数研究函数的单调性与极值、最值问题，考查分类讨论思想，考查学生转化与化归的能力，难度适中,1若函数f(x)loga(x1)(a0，a1)的定义域和值域都是0,1，则a的值等于()A.B.C.D2,D,【解析】0x1，1x12，而0f(x)1，可知a1且loga21，a2.,C,A,4若函数f(x)x33xa在区间0,3上的最大值和最小值分别是M、N，则MN()A10B20C30D40,B,【解析】f(x)3x233(x1)(x1)则x0,1时，f(x)0，f(x)为增函数f(x)minf(1)2a，即N2a.又f(0)a0时，f(x)0，f(1)，且f(x)在R上是减函数，求f(x)在3,3上的最大值和最小值,【解析】f(x)对于任意x，yR，总有f(x)f(y)f(xy)，令xy0得f(0)0.令y